Clase 4 Dispersion y Difusion Radiativa 1 Dispersion

Clase 4. Dispersion y Difusion Radiativa 1. Dispersion pura. En este caso la radiacion emitida por un elemento de material depende solamente de la radiacion que incide sobre el. Note que en el caso de radiacion termal esto no es asi, la radiacion solo depende de la temperatura local. Consideremos el caso de dispersion isotropica, i. e. cuando la radiacion dispersada es emitida por igual en todos los angulos solidos. Asumamos ademas que la dispersion es coherente , i. e. que la energia emitida por unidad de frecuencia es igual a la energia absorbida en ese mismo rango de frecuencia. Igualando las potencias absorbidas y emitidas por unidad de volumen y frecuencia: donde es el coeficiente de absorcion para el proceso de dispersion.

Por lo tanto, para la dispersion pura, y Ecuacion de transferencia para la dispersion pura es entonces: 2. Dispersion y absorcion. Para un medio con un coeficiente de absorcion k , asociado con la emision termal, y un coeficiente de dispersion , asociado con la dispersion, la ecuacion de la transferencia es: o

donde k + se denomina coeficiente de extincion. 3. Difusion radiativa. En un medio que presenta gradientes en temperatura habra un flujo de energia radiativo. 3. 1 Flujo de energia en la aproximacion de Rosseland. Asuma que el medio tiene una geometria plano-paralela, o equivalentemente que las propiedades del material solo dependen de la profundidad. Por simetria la intensidad dependera solo del angulo y de la profundidad z. Usando la relacion,

y haciendo el cambio de variable =cos , tenemos La ecuacion de la transferencia es Arreglando terminos, Cuando el punto en consideracion esta localizado muy profundamente en el medio la intensidad cambia muy lentamente en escalas de distancia del orden del camino libre medio. El termino de la derivada es pequeño, y tenemos que a orden 0: Ya que en este orden I es independiente de , la intensidad media a orden 0 es:

Usando la expresion (1), obtenemos Reemplazando esta expresion en la derivada que aparece en la ecuacion (2) obtenemos que I , al primer orden, es En este orden el flujo F (z) es, y reemplazando (3),

Evaluando las integrales, tenemos o Flujo total, Por otro lado, tenemos que

Definiendo el coeficiente de absorcion de Rosseland , k. R, mediante la relacion: obtenemos, expresion denominada aproximacion de Rosseland para el flujo de energia.

Clase 5. Coeficientes de Einstein Ley de Kirchhoff relaciona las emisiones con las absorciones en un sistema en equilibrio termal relacion entre las emisiones y absorciones a nivel microscopico. Considere una cavidad con atomos con niveles discretos de energia E 1 y E 2 y pesos estadisticos g 1 y g 2. El sistema cambia de un estado a otro mediante la absorcion o emision de un foton con energia h. Einsten identifico tres procesos: Emision espontanea: Sistema en el nivel E 2 decae espontaneamente al nivel E 1 emitiendo un foton =(E 2 - E 1)/h. Ocurre en ausencia de un campo de radiacion. Se define la probabilidad de transicion por unidad de tiempo para la emision espontanea como: A 21

Absorcion: Sistema sufre una transicion del nivel 1 al 2 mediante la absorcion de un foton. Ocurre en presencia de fotones con energia h =(E 2 - E 1). Se define la probabilidad de transicion por unidad de tiempo debido a una absorcion como: donde J es la intensidad media de la radiacion, dada por y es el perfil de la linea. Emision estimulada: Sistema sufre una transicion del nivel excitado 2 al nivel 1 al ser estimulado por la presencia de un foton con frecuencia , emitiendo un foton con iguales caracteristicas a las del foton estimulante. Se define la probabilidad de transicion por unidad de tiempo debido a una emision estimulada como:

Relaciones entre los coeficientes de Einstein. Sean n 1 y n 2 las densidades de poblacion de los niveles 1 y 2. En un estado estacionario hay balance detallado entre las transiciones por unidad de tiempo y de volumen desde el estado 1 y hacia el estado 1: En equilibrio termodinamico se cumplen dos condiciones: Los niveles atomicos estan poblados de acuerdo a la distribucion de Boltzmann : donde T es la temperatura del sistema.

Reemplazando en (1), La intensidad media J es igual a la funcion de Planck: Comparando las expresiones (2) y (3) obtenemos las relaciones de Einstein: Estas expresiones relacionan propiedades atomicas. Son independientes de la temperatura.

Relaciones entre los coeficientes de emision y absorcion y los coeficientes de Einstein. j y k deben estar relacionadas con las propiedades atomicas de la materia. Consideremos emisiones espontaneas del nivel 2 al nivel 1. Cada atomo contribuye con un energia h distribuida sobre el angulo solido 4 , por lo tanto: Con respecto al coeficiente de absorcion, tenemos que la energia total absorbida en el tiempo dt y volumen d. V esta dada por: La energia absorvida del haz en los intervalos de frecuencia d , de tiempo dt, y volumen d. V es por lo tanto:

Para el elemento de volumen que se muestra en la figura d. V=d. Ads, y la energia absorbida del haz es Por otro lado la perdida de energia sufrida por el haz al atravesar la distancia ds esta dada por: Comparando las expresiones (4) y (5):

Note que no hemos tomado en cuenta la emision estimulada! Resulta mas conveniente considerar este proceso como una absorcion negativa, que un proceso de emision. El coeficiente de absorcion corregido por las emisiones estimuladas es: Ecuacion de balance detallado y temperatura de excitacion. Para calcular los coeficientes de emision y absorcion se necesita conocer las densidades de poblacion de los niveles n 1 y n 2. En el caso de equilibrio termodinamico local (LTE) la razon de poblaciones esta dada por la funcion de Boltzman. Sin embargo en general LTE no es aplicable y hay que considerar todos los procesos que pueblan y despueblan los niveles de energia. Estos procesos fisicos son: • choques entre los atomos • campo de radiacion

Supongamos que: • Atomos tienen una distribucion en velocidad Maxwelliana a la temperatura cinetica TK • Campo de radiacion tiene una temperatura de brillo Tr. En estado estacionario el numero de atomos que entra al nivel 2 es igual al numero de atomos que sale del nivel 2 donde C 12 y C 21 corresponden a las probabilidades de transicion debidas a choques. Estos coeficientes estan relacionadas por la condicion: Definamos la temperatura de excitacion entre los dos estados, Tex, tal que Note que la temperatura de excitacion no corresponde a la temperatura cinetica.

Substituyendo las expresiones (7) y (8) en (6) se encuentra que expresion que relaciona la temperatura de excitacion con la temperatura de brillo de la radiacion y la temperatura cinetica del gas. En el caso en que Tex, Tr y TK >> h /k, donde To h /k. • Si la radiacion domina la poblacion de los niveles (ie. C 21 << A 21): Tex Tr • Si los choques dominan la poblacion de los niveles (ie. C 21 >> A 21): Tex TK