CINEMATIQUE DU POINT OBJECTIFS Dcrire les principales grandeurs
CINEMATIQUE DU POINT OBJECTIFS : - Décrire les principales grandeurs cinématiques (position, vitesse, accélération). - Définir la trajectoire d’un point d’un solide ou le mouvement du solide. - Exprimer une loi qui permette d’exprimer la position, la vitesse et l’accélération d’un solide en mouvement de translation rectiligne.
I- CARACTERISTIQUES DU POINT D’UN SOLIDE : 1 - Sa position : c’est la distance depuis l’origine s = f(t) s parcourue sur la trajectoire
2 - Sa trajectoire : On appelle trajectoire du point (M) d’un solide (S) l’ensemble des positions occupées successivement par ce point au cours de son déplacement par rapport à un référentiel donné. TM S/R Notation : TM S/R = trajectoire du point M appartenant à S, par rapport au repère R.
Sa trajectoire en fonction du mouvement : Mouvement de S/R Trajectoire TM S/R Translation rectiligne Droite (point, axe) Translation circulaire Cercle (centre, rayon) Rotation à axe fixe Cercle (centre, rayon) Hélicoïdal Hélice (pas) Plan sur plan Courbe quelconque dans le plan
3 - Sa vitesse moyenne: s c’est le rapport de la distance parcourue par la variation de temps t correspondante V moyenne = s/t unités : [m/s] =[m]/[s] Exemple : un sprinter parcourt le 100 m en 10 s. Sa vitesse moyenne est de …
4 - Sa vitesse instantanée: c’est la dérivée de la position par rapport au temps. V = s’(t) unités : [m/s]
5 - Son accélération : elle s’oppose à l’inertie - l’accélération tangentielle : c’est la dérivée (variation) de la vitesse par rapport au temps at =V’ (t) unités : [m/s 2] - l’accélération normale : elle dépend du changement de direction du point M. an =V 2/r unités : [m/s 2]
II- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME: MRU 2. 1. Définition : - La trajectoire du point du solide est une droite (an = 0) - Son accélération tangentielle est nulle (at=0) donc sa vitesse est constante au cours du temps (v=constante). 2. 2 Conditions aux limites du mouvement : CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES t 0 = 0 s : instant initial t : instant particulier du mouvement x 0 : le déplacement initial x : le déplacement à l’instant t v = constante : la vitesse a = 0 m/s 2 : l’ accélération tangentielle
2. 3. Équations du mouvement ou horaires: a = 0 v = constante x = v. t + x 0 2. 4. Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer v et x 0 par les valeurs trouvées. Graphes du mouvement: Graphe des abscisses Graphe des vitesses Graphe des accélérations
III- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE : MRUV 3. 1. Définition : - La trajectoire du point du solide est une droite (an = 0) - Son accélération tangentielle est constante (at=constante). 3. 2 Conditions aux limites du mouvement : CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES t 0 = 0 s : instant initial t : instant particulier du mouvement x 0 : le déplacement initial x : le déplacement à l’instant t v 0 : la vitesse initiale v : la vitesse à l’instant t a = constante : l’ accélération tangentielle
3. 3. Équations du mouvement ou horaires: a = constante v = a. t + v 0 x = ½. a. t 2 + v 0. t + x 0 3. 4. Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer a, v et x 0 par les valeurs trouvées. Graphes du mouvement: Graphe des abscisses Graphe des vitesses Graphe des accélérations
Exercice 1: Départ arrêté, un dragster parcourt le 400 m en 10 s Déterminer les équations du mouvement et sa vitesse finale Réponses : MRUV Conditions Initiales Finales t 0=0 s t=10 s X 0=0 m X=400 m V 0=0 m/s V= 80 m/s a = 8 m/s 2 x = ½. a. t 2 + v 0. t + x 0 <=> 400 = ½. a. 102 + 0. t + 0 => a = 8 m/s 2 V = a. t + v 0 <=> V = 8. 10 + 0 => V = 80 m/s = 288 km/h
Exercice 1: suite Équations du mouvement : pour 0 <t < 10 s Il s’agit de donner les fonctions x(t), v(t) et a(t) en remplaçant x 0, v 0 et a par leur valeur) x = 4. t 2 m v = 8. t a=8 m/s 2
Exercice 2: Une Mercedes coupé sport passe de 0 à 100 km/h en 10 s Déterminer les équations du mouvement et la distance de la phase d’accélération Réponses : MRUV avec v=(100/3, 6)m/s à t=10 s CI CF t 0=0 s t=10 s X 0=0 m X= 139 m V 0=0 m/s V=27, 8 m/s a = 2, 78 m/s 2 v = a. t + v 0 <=> 27, 8 = a. 10 + 0 => a = 2, 78 m/s 2 x = ½. a. t 2 + v 0. t + x 0 <=> x = ½. 2, 78. 102 + 0. t + 0 => x = 139 m
Exercice 2: suite Équations du mouvement : pour 0 <t < 10 s Il s’agit de donner les fonctions x(t), v(t) et a(t) en remplaçant x 0, v 0 et a par leur valeur) x = 1, 39. t 2 v = 2, 78. t a = 2, 78 m m/s 2
Exercice 3: Une Mercedes coupé sport roule sur 300 m à 100 km/h sur une voie rapide Déterminer les équations du mouvement et sa durée Réponses : MRU avec v=(100/3, 6)m/s à x=300 m CI CF t 0=0 s t= 10, 8 s X 0=0 m X=300 m V 0=27, 8 m/s V=27, 8 m/s a = 0 m/s 2 Équations du mouvement : pour 0 <t < 10, 8 s x = v. t + x 0 <=>300=27, 8. t+0 => t = 10, 8 s x = 27, 8. t m v = 27, 8 m/s a=0 m/s 2
Exercice 4: Une Mercedes coupé sport roule à 100 km/h puis s’arrête sur 100 m Déterminer les équations du mouvement et sa durée Réponses : MRUV avec v 0=(100/3, 6)= 27, 8 m/s et x=100 m CI CF t 0=0 s t= X 0=0 m X=100 m V 0=27, 8 m/s V= 0 m/s a = v = a. t + v 0 <=> x=½. a. t 2+v 0. t+x 0 <=> 0 = a. t + 27, 8 (1) 100 =½. a. t 2 + 27, 8. t + 0 (2)
Exercice 4: suite Résolution : (1) => a. t = - 27, 8 Ds (2) => 100=½. (-27, 8 ). t + (27, 8). t t = 200 / 27, 8 = 7, 2 s Ds (1) => a = - 27, 8 / 7, 2 = -3, 86 m/s 2 ( Valeurs à indiquer dans le tableau des conditions limites du mouvement ) Équations du mouvement : pour 0 <t < 7, 2 s x = -1, 93. t 2 + 27, 8. t m v = -3, 86. t + 27, 8 m/s a = -3, 86 m/s 2
formule utile Afin de déterminer l’accélération sans connaître la durée du mouvement, on utilisera la formule : a = (v 2 – v 02) / [2(x-x 0)] Application à l’exercice précédent : a = [02 – (27, 8)2] / [2(100 - 0)] a = - 27, 82 / 200 a = - 3, 86 m/s 2 v = a. t + v 0 0 = -3, 86. t + 27, 8 t = -27, 8 / -3, 86 = 7, 2 s
Exercice 5: Tracer les graphes associés aux trois phases de mouvement de la Mercedes Graphe des abscisses Graphe des vitesses Graphe des accélérations
Exercice 6: (travail en autonomie) Le chariot d’une machine de découpage laser atteint la vitesse de 10 cm/s en 2 secondes. Le chariot évolue à vitesse constante pendant 8 secondes. Il s’arrête ensuite en l’espace de 12, 5 cm. Hypothèse : les accélérations et décélérations sont supposées constantes. 1/ Déterminer la durée totale de l’opération de découpage ainsi que la distance parcourue. Pour cela, évaluer, pour les trois phases de mouvement, les conditions aux limites ainsi que les équations horaires. 2/ Tracer les graphes du mouvement du chariot.
Corrigé Exercice 6: - Phase 1 : MRUV CI CF t 0=0 s t=2 s X 0=0 m X= 0, 10 m V 0=0 m/s V=0, 10 m/s a = 0, 05 m/s 2 => => V = a. t + V 0 0. 10 = a. 2 + 0 a = 0, 05 m/s 2 Distance parcourue phase 1 : x =½. a. t 2+v 0. t+x 0 => x = ½. 0, 05. 22 => x = 0, 10 m Équations du mouvement de la phase 1 : 0 <t < 2 s x = 0, 025. t 2 v = 0, 05. t a = 0, 05 m m/s 2
Corrigé Exercice 6: Phase 2 : MRU CI t 0=0 s CF t=8 s X= 0, 8 m V=V 0=0, 10 m/s X 0=0 m => => X = V t + X 0 X = 0, 10. 8 + 0 X = 0, 8 m a = 0 m/s 2 Équations du mouvement de la phase 2 : 0 <t < 8 s x = 0, 10. t m v = 0, 10 a=0 m/s 2
Corrigé Exercice 6: Phase 3 : MRUV CI t 0=0 s X 0=0 m CF t= 2, 5 s X=0, 125 m V 0=0, 10 m/s V=0 m/s a = - 0, 04 m/s 2 a=(v 2 – v 02) / [2(x-x 0)] => a = -0, 102 / [2. 0, 125] => a = - 0, 04 m/s 2 Durée de l’arrêt : V = a t + V 0 0 = -0, 04. t + 0, 10 => t = 2, 5 s Équations du mouvement de la phase 3 : 0 <t < 2, 5 s x = -0, 02. t 2 + 0, 10 t v = -0, 04 t + 0, 10 a = -0, 04 m m/s 2
Corrigé Exercice 6: - Durée totale de l’opération : t = 2 + 8 + 2, 5 = 12, 5 s - Distance totale parcourue : x = 0, 10 + 0, 8 + 0, 125 = 1, 025 m
Corrigé Exercice 6: Graphe des abscisses Graphe des vitesses Graphe des accélérations
Exercice 7: (travail en autonomie) Un canon tire un obus verticalement. On supposera que l’obus n’est soumis qu’à l’accélération de la pesanteur (g=9, 81 m/s 2). Conditions initiales du mouvement : v 0 = 400 m/s, y 0 = 0. 1) Quelle altitude atteint l’obus ? 2) Au bout de combien de temps touchera-t-il le sol ? 3) A quelle vitesse initiale aurait-il fallu tirer pour atteindre une altitude de 50 km ?
Corrigé Exercice 7: 1 - MRUV CI t 0=0 s Y 0=0 m 1/ calcul de l’altitude atteinte : a = (v 2 – v 02) / [2(y-y 0)] t= 40, 77 s -9, 81 = (02 – 4002) / [2(Y – 0)] Y = -4002 / 2. (-9, 81) Y= 8 155 m => Y = 8 155 m CF V 0=400 m/s V=0 m/s a = -9. 81 m/s 2 durée mouvement ascensionnel : V = a. t + V 0 => 0 = -9, 81. t + 400 => t = 40, 77 s
Corrigé Exercice 7: (suite) 2/ durée jusqu’au contact avec le sol : t = 2 x 40, 77 (aller retour) t = 81, 54 s 3/ vitesse initiale pour atteindre 50 km : a = (v 2 – v 02) / [2. (y-y 0)] -9, 81 = (02 – V 02) / [2. (50 000 - 0)] -V 02 = -9, 81 x 100 000 V 0 = 990 m/s = 3564 km/h
Exercice QCM 8: La position d’un solide animé d’un mouvement de translation rectiligne est définie en mètres, en fonction du temps en secondes, par la relation x = 3. t 2. A quelle position se trouvera-t-il après 3 secondes du départ ? q 18 m q 27 m q 81 m
Exercice QCM 9: La position d’un solide est définie par la relation : x = 20 + 2. t Son mouvement est donc : q q q uniforme uniformément accéléré uniformément décéléré
Exercice QCM 10: Un véhicule roule à 20 km/h. Il accélère et après 6 secondes atteint la vitesse de 84, 8 km/h. Calculer alors son accélération. q 3 m/s 2 q 6 m/s 2 q 9 m/s 2
Exercice QCM 11: Un véhicule roule à 72 km/h et s’arrête en 5 secondes. Quelle équation définie sa position en fonction du temps ? q q q x = 72. t – 2 t 2 x = 20. t – 2 t 2 x = 14, 4. t – 5 t 2
Exercice QCM 12: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4. t Quelle est la vitesse du solide au début du mouvement ? q 20 m/s 2 q 4 km/h q 72 km/h
Exercice QCM 13: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4. t Quel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ? q q q 80 s 16 s 5 s
Exercice QCM 14: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4. t Quelle est l’équation définissant la position du solide ? On commence à mesurer la longueur parcourue au début du mouvement : x 0 = 0 m q q q x = 20. t – 2 t 2 x = – 4 t
Exercice QCM 15: On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation. Quelle est la valeur de son accélération ? q 1 m/s 2 q 2 m/s 2 q 4 m/s 2 V (m/s) 2 t (s) 2 6 9
Exercice QCM 16: On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation. Combien de temps dure le mouvement uniforme ? q 2 s q 3 s q 4 s V (m/s) 2 t (s) 2 6 9
Exercice QCM 17: On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation. Quelle est l’équation de la vitesse dans la 3ème phase ? q v = 2 – (2/3). t q v = 9 + (2/3). t q v = -3. t V (m/s) 2 t (s) 2 6 9
Exercice 18: cascade de film Quelle est la vitesse mini du véhicule afin d’éviter le contact entre la voiture et le peintre cascadeur Pour cela, écrire les équations horaires de la voiture et celles du cascadeur. 1, 32 m 4 m 4, 29 m
Corrigé Exercice QCM 8: La position d’un solide animé d’un mouvement de translation rectiligne est définie en mètres, en fonction du temps en secondes, par la relation x = 3. t 2. A quelle position se trouvera-t-il après 3 secondes du départ ? x = 3. t 2 = 3. 32 = 27 m q 18 m 27 m q 81 m
Corrigé Exercice QCM 9: La position d’un solide est définie par la relation : x = 20 + 2. t soit x = x 0 + v 0. t + ½. a. t 2 donc x 0 = 20 m ; v 0 = 2 m/s ; a = 0 m/s 2 Son mouvement est donc : q q uniforme uniformément accéléré uniformément décéléré
Corrigé Exercice QCM 10: Un véhicule roule à 20 km/h. Il accélère et après 6 secondes atteint la vitesse de 84, 8 km/h. Calculer alors son accélération. Données : V 0 = 20 km/h ; V = 84, 8 km/h et t = 6 s. Calcul de son accélération : v = a t + v 0 => a =(v – v 0 ) / t CI => a =(64, 8/3, 6) / 6 = 3 m/s 2 q q 3 m/s 2 6 m/s 2 9 m/s 2 CF t 0=0 s t=6 s X 0= X= V 0=5. 5 m/s V=23. 5 m/s a = 3 m/s 2
Corrigé Exercice QCM 11: Un véhicule roule à 72 km/h et s’arrête en 5 secondes. Quelle équation définie sa position en fonction du temps ? Données : V 0 =72 km/h=20 m/s ; V = 0 km/h et t = 5 s. Calcul de son accélération : v = a t + v 0 => a =(v – v 0) / t => a =(-20) / 5 = -4 m/s 2 CI CF Équation : x = x 0 + v 0. t + ½. a. t 2 = 0 + 20. t + ½. (-4). t 2 t 0=0 s t=5 s q q x = 72. t – 2 t 2 x = 20. t – 2 t 2 x = 14, 4. t – 5 t 2 X 0=0 m X= V 0=20 m/s V=0 m/s a = -4 m/s 2
Corrigé Exercice QCM 12: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4. t Quelle est la vitesse du solide au début du mouvement ? soit v = v 0 + a. t donc v 0 = 20 m/s = 72 km/h ; a = -4 m/s 2 q q 20 m/s 2 4 km/h 72 km/h CI CF t 0=0 s t= X 0= X= V 0=20 m/s V= a = -4 m/s 2
Corrigé Exercice QCM 13: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4. t Quel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ? Soit l’arrêt effectif lorsque v = 0 donc 0 = 20 – 4 t => t = 5 s q q 80 s 16 s 5 s CI CF t 0=0 s t= 5 s X 0= X= V 0=20 m/s V=0 m/s a = -4 m/s 2
Corrigé Exercice QCM 14: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4. t Quelle est l’équation définissant la position du solide ? On commence à mesurer la longueur parcourue au début du mouvement : x 0 = 0 m soit v = v 0 + a. t donc v 0 = 20 m/s ; a = -4 m/s 2 Équation : x = x 0 + v 0. t + ½. a. t 2 = 0 + 20. t + ½. (-4). t 2 q q x = 20. t – 2 t 2 x = – 4 t CI CF t 0=0 s t= X 0=0 m X= V 0=20 m/s V= a = -4 m/s 2
Corrigé Exercice QCM 15: On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation. Quelle est la valeur de son accélération ? v = a. t + v 0 1 m/s 2 a =(v – v 0 ) / t = 2 / 2 = 1 m/s 2 q 2 m/s 2 q 4 m/s 2 V (m/s) 2 t (s) 2 6 9 CI CF t 0=0 s t=2 s X 0=0 m X= V 0=0 m/s V=2 m/s a = 1 m/s 2
Corrigé Exercice QCM 16: On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation. Combien de temps dure le mouvement uniforme ? q 2 s q 3 s 4 s CI CF V (m/s) 2 t (s) 2 6 9 t 0=0 s t=4 s X 0=0 m X= V 0=2 m/s a = 0 m/s 2
Corrigé Exercice QCM 17: On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation. Quelle est l’équation de la vitesse dans la 3ème phase ? 2 a =(v – v ) / t = -2/3 m/s v = 2 – (2/3). t 0 q q V (m/s) 2 v-v 0= -2 m/s 2 6 9 t (s) t. F-ti = 3 s v = 9 + (2/3). t v = -3. t CI CF t 0=0 s t=3 s X 0=0 m X= V 0=2 m/s V=0 m/s a = -2/3 m/s 2
Corrigé Exercice 18: cascade de film Équations horaires du peintre : MRUV CI CF y = ½. a. t 2+v 0. t+y 0 => y = 4, 905. t 2 t 0=0 s t= 0, 74 s => v = 9, 81. t Y 0=0 m Y=2, 68 m v = a. t+v 0 V 0=0 m/s V= a = constante => a = 9, 81 m/s 2 Calcul du temps pour chuter de 2, 68 m y = 4, 905. t 2 => 2, 68=4, 905. t 2 => t = 0, 74 s 1, 32 m 4 m 4, 29 m
Corrigé Exercice 18: cascade de film Équations horaires de la voiture : MRU CI CF x = ½. a. t 2+v 0. t+x 0 => x = v. t t 0=0 s t= 0, 74 s => v = ? x 0=0 m x=4, 29 m v = constante V 0 =V = a=0 => a = 0 m/s 2 Calcul de la vitesse nécessaire pour passer de 4, 29 m en 0, 74 s : x = v. t => 4, 29 = v. 0, 74 4 m => v = 5, 8 m/s = 20, 87 km/h 1, 32 m 4, 29 m
TD d’approfondissement Exercice n° 1 : On donne le graphe des vitesses suivant. l V (m/s) 20 15 5 0 t (s) 2 5 Déterminer les équations horaires pour chaque phase
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