CINEMATICA Moti non unidimensionali Grandezze scalari e grandezze

CINEMATICA Moti non unidimensionali

Grandezze scalari e grandezze vettoriali v Grandezze scalari misura (valore numerico + unità di misura) Esempi: lunghezza, tempo, massa, temperatura v Grandezze vettoriali o vettori misura (detta anche intensità o modulo) direzione verso Esempio: posizione di un punto materiale in un certo istante rispetto ad un punto fisso O z A A O A’ x A y

Rappresentazione dei vettori I vettori sono rappresentati da segmenti orientati aventi direzione e verso della grandezza vettoriale rappresentata e lunghezza proporzionale al modulo rispetto ad una scala di misura fissata ad arbitrio I vettori di modulo unitario si dicono versori r u u I vettori si possono indicare in diversi modi: • una lettera sormontata da una freccia • gli estremi del segmento sormontati da una freccia • una lettera in grassetto

Somma Operazioni elementari con i vettori - i metodi grafici B C A D Metodo punta-coda Metodo del parallelogramma Il vettore somma ha come primo estremo la coda di a e come secondo estremo la punta di b Il vettore somma è rappresentato dal segmento orientato AC del parallelogramma È importante osservare che IN GENERALE il modulo del vettore somma NON è uguale alla somma dei moduli dei vettori addendi, si può solo dire che è sempre minore o uguale alla somma dei moduli dei vettori addendi e maggiore o uguale alla loro differenza

Differenza B C A D Metodo punta-coda Metodo del parallelogramma Il vettore differenza ha come primo estremo la coda di a e come secondo estremo la punta di -b Il vettore differenza è rappresentato dal segmento orientato DB del parallelogramma Prodotto di un vettore a con uno scalare m Esempio: il vettore “ma” ha la stessa direzione di a, lo stesso verso di a o quello opposto a seconda che m sia positivo o negativo e modulo uguale al prodotto tra il numero m in valore assoluto e il modulo di a

Rappresentazione cartesiana di un vettore y A • i e j sono i versori degli assi x e y • ax e ay sono le componenti cartesiane del vettore : 0 x • α è l’angolo che il vettore forma con l’asse x Note le componenti di un vettore è sempre possibile Ø Ricavarne il modulo: Ø Determinare l’angolo α:

Il vettore spostamento Si definisce vettore spostamento la differenza tra la posizione finale e la posizione iniziale B A 0 v In generale lo spostamento non coincide con lo spazio percorso B A lo spazio percorso è una grandezza scalare corrispondente alla lunghezza del percorso compiuto tra la posizione iniziale e finale, a differenti percorsi può corrispondere lo stesso spostamento Lo spostamento coincide con lo spazio percorso solo se il moto è rettilineo

Il vettore velocità Nello studio di un moto curvilineo bisogna tenere conto del fatto che in ogni istante la direzione puo essere diversa, è necessario quindi introdurre la velocità come vettore Sia Δs lo spostamento di un corpo nell’intervallo di tempo Δt Il vettore velocità media ha stessa direzione e stesso verso di Δs e modulo pari a quello di Δs diviso per Δt BB A B B B 0 Il vettore velocità istantanea varia istante per istante e ha la stessa direzione della tangente alla traiettoria nella posizione occupata dal corpo nell’istante considerato (velocità tangenziale)

Il vettore accelerazione Sia Δv la variazione di velocità di un corpo nell’intervallo di tempo Δt Il vettore accelerazione media ha stessa direzione e stesso verso di Δv e modulo pari a quello di Δv diviso per Δt Il vettore accelerazione istantanea varia istante per istante. Se il moto è curvilineo uniforme l’accelerazione istantanea è una accelerazione centripeta, diretta perpendicolarmente alla traiettoria

Il moto di un proiettile Qualunque corpo lanciato lungo una certa direzione segue un moto curvilineo in due dimensioni detto moto di un proiettile Lancio diretto orizzontalmente y Mentre il corpo si muove orizzontalmente, è soggetto per effetto della gravità ad un moto verticale x Sperimentalmente si può evidenziare che: Ø Il moto orizzontale e quello verticale sono indipendenti e non si influenzano a vicenda Ø Il moto orizzontale è rettilineo uniforme Ø Il moto verticale è rettilineo uniformemente accelerato

Il moto di un proiettile Se v 0 è la velocità di lancio, all’istante iniziale t 0=0 si ha: mentre in un generico istante t successivo a t 0 si ha: e Da cui si ottiene , posto si ha L’ equazione che descrive la traiettoria del moto è l’equazione di una parabola simmetrica rispetto alla verticale passante per il punto di lancio

Il moto di un proiettile Lancio diretto secondo un angolo θ qualsiasi se v 0 è la velocità di lancio, all’istante iniziale t 0=0 si ha: mentre in un successivo istante t si ha: L’equazione della traiettoria e’ una parabola con l’asse di simmetria spostato rispetto alla verticale passante per il punto di lancio

Il moto di un proiettile Si definisce gittata (R) la massima distanza raggiunta in direzione orizzontale dove tv è il tempo di volo del proiettile Ø Come si può ottenere la massima gittata possibile? La gittata massima si ha in corrispondenza di sin 2θ = 1, cioè θ = 45º

Il moto circolare uniforme è il moto di un punto materiale P che descrive una circonferenza con velocità di modulo costante P(t) θ 0 o P θ r R r 0 Siano r 0 il vettore posizione iniziale di P θ 0 l’angolo che r 0 forma con l’asse x r il vettore posizione finale di P θ l’angolo che r forma con l’asse x Il vettore spostamento angolare è definito dalla differenza: Il vettore velocità angolare media è definito dal rapporto: essendo il moto uniforme la velocità angolare istantanea è, in ogni istante, uguale alla velocità angolare media:

Il moto circolare uniforme P o Δθ R P 0 Tra il modulo dello spostamento angolare Δθ e il cammino Δl percorso dal punto materiale sulla circonferenza di raggio R, ovvero la lunghezza dell’arco di circonferenza corrispondente, esiste la relazione: Da questa relazione è possibile ricavare la relazione tra il modulo della velocità angolare ω e il modulo della velocità tangenziale vt, infatti: IMPORTANTE Questa relazione vale solo tra i moduli dei vettori ma non tra i vettori stessi e in generale esprime la relazione tra velocita angolare istantanea e velocita tangenziale istantanea in un moto curvilineo qualsiasi

Il moto circolare uniforme In ogni intervallo di tempo Δt il modulo della velocità tangenziale è costante, ma direzione e verso cambiano P o Δθ R P 0 quindi è sempre presente una variazione di velocità Δvt e di conseguenza una accelerazione L’accelerazione media è definita dal rapporto Quando Δt → 0 inoltre Δvt è diretta esattamente verso il centro della circonferenza e si parla di accelerazione centripeta ac

Il moto circolare uniforme è un moto periodico in quanto si ripete ciclicamente, con le stesse caratteristiche, lungo la stessa traiettoria, dopo intervalli di tempo uguali Periodo(T): il tempo per completare un intero ciclo del P(t) moto dopo il quale il moto riassume le P θ r stesse proprietà r θ 0 o R 0 Frequenza(ν): il numero di cicli compiuti nell’unita di tempo, è legata al periodo dalla relazione: Nel moto circolare uniforme: Ø il periodo corrisponde al tempo che impiega il punto per compiere un intero giro Ø la frequenza corrisponde al numero di giri che il punto compie in un secondo ed è legata alla velocità angolare ω dalla relazione:

Il moto armonico è il moto di un punto materiale che oscilla attorno ad una posizione di equilibrio ed è un altro esempio di moto periodico y Spostamento o la distanza dalla posizione di equilibrio, elongazione: può essere una quantità positiva o negativa P B o R A x Ampiezza (A): Il valore assoluto dello spostamento massimo dalla posizione di equilibrio Nel moto armonico: Ø il periodo corrisponde al tempo che impiega il punto per compiere un’oscillazione completa Ø la frequenza corrisponde al numero di oscillazioni che il punto compie in un secondo

Il moto armonico È il moto della proiezione su uno degli assi di un punto P che si muove di moto circolare uniforme Se si considera la proiezione orizzontale, si ha: y x è l’elongazione al tempo t dove P r ω è detta pulsazione del moto armonico ωt o B Q A R ωt è la fase al tempo t x (t) • t=0 → x=R R • t = T/4 → x = 0 • t = T/2 → x = -R • t = 3 T/4 → x = 0 • t=T → x=R t 0 -R T/4 T/2 3 T/4 T x

Il moto armonico Se è la velocità tangenziale del punto che si muove di moto circolare uniforme, la velocità del punto che si muove di moto armonico sarà la proiezione del vettore vt sull’asse x: y P ωt B o R Q A v (t) • t=0 → v=0 ωR • t = T/4 → v = -ωR • t = T/2 → v = 0 t 0 • t = 3 T/4 → v = +ωR • t=T → v=0 -ωR T/4 T/2 T/2 3 T/4 T T x

Il moto armonico Se è l’accelerazione centripeta del punto che si muove di moto circolare uniforme, l’accelerazione del punto che si muove di moto armonico sarà la proiezione del vettore sull’asse x: y P ωt B Oppure, essendo R o Q A : a (t) • t=0 → a = -ω2 R • t = T/4 → a = 0 • t = T/2 → a = ω2 R 0 • t = 3 T/4 → a = 0 • t=T → a = -ω2 R t T/4 T/2 3 T/4 T

Limiti della cinematica classica Il moto e’ relativo all’osservatore, variando l’osservatore cambiano le caratteristiche del moto:

Limiti della cinematica classica

Limiti della cinematica classica