Cincia da Computao Lgica Matemtica lgebra das Proposies

Ciência da Computação Lógica Matemática Álgebra das Proposições 1

LÓGICA MATEMÁTICA - CONTEÚDO Álgebra das Proposições Propriedades da Conjunção Propriedades da Disjunção Propriedades da Conjunção e Disjunção Negação da Condicional Negação da Bicondicional 2

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade IDEMPOTENTE: p^p p Assim, temos: X<0 ^ X<0 3

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade COMUTATIVA: p^q q^p Assim, temos: X<0 ^ X 1^X<0 4

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade ASSOCIATIVA: (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) Assim, temos: (a>=b ^ b c) ^ (c<d) (a>=b)^ (b c ^ c < d) 5

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade IDENTIDADE: p^t p e p^c c Assim, temos: (x 1)^|x|>=0 (x 1) e (x 1)^|x|<0 6

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO Propriedade IDENTIDADE: p^t p p V F e p^c c t c p ^ t p ^ c p^t <-> c p^c <-> c V F V V V F F F V V 7

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade IDEMPOTENTE: pvp p Assim, temos: X<0 v X<0 8

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade COMUTATIVA: pvq qvp Assim, temos: X<0 v X 1 v. X<0 9

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade ASSOCIATIVA: (p v q) v r p v (q v r) Assim, temos: (a>=b v b c) v (c<d) (a>=b) v (b c v c < d) 10

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade IDENTIDADE: pvt t e pvc p Assim, temos: (x 1)v|x|>=0 (x 1) e (x 1)v|x|<0 11

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO Propriedade IDENTIDADE: pvt t p V F e pvc p t c p v t p v c pvt <-> t pvc <-> p V F V V 12

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Propriedade DISTRIBUTIVA: p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r) p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r) 13

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Propriedade DISTRIBUTIVA: p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r) p q r VV V VV F VF V VF F FV V FV F FF V FF F qvr V V V F p^(q v r) V V V F F F p ^ q p ^ r (p^q)v(p^r) V V F F F F F 14

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Propriedade DISTRIBUTIVA: Por exemplo: “Carlos estuda e Jorge ouve música ou lê”. É EQUIVALENTE A: “Carlos estuda e Jorge ouve música ou Carlos estuda e Jorge lê”. 15

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Propriedade ABSORÇÃO: p ^ (p v q) p p v (p ^ q) p 16

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Propriedade ABSORÇÃO: p ^ (p v q) p p q VV VF FV FF p v q p^(p v q) p^ (p v q) <-> p V V V V F F V 17

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Propriedade REGRAS DE MORGAN: ~ (p ^ q) ~ p v ~ q ~ (p v q) ~ p ^ ~q 18

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Propriedade REGRAS DE MORGAN: ~ (p ^ q) ~ p v ~ q p q VV VF FV FF p^q V F F F ~ (p^q) F V V V ~p ~q F F F V V ~p v ~q F V V V 19

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Exemplo REGRAS DE MORGAN : “É inteligente e estuda”, por Morgan: “Não é inteligente ou não estuda”. “É médico ou professor”, por Morgan: “Não é médico e não é professor”. 20

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO As REGRAS DE MORGAN: Mostram como é possível definir a disjunção a partir da conjunção e da negação, ou a conjunção a partir da disjunção e da negação: p v q ~ (~p ^ ~ q) p ^ q ~(~ p v ~q) 21

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP. DA NEGAÇÃO DA CONDICIONAL Como p -> q ~ p v q, temos: ~ (p -> q) ~ (~p v q) ~~p ^ ~q Ou seja: ~ (p -> q) p ^ ~q p q VV VF FV FF p -> q ~ (p->q) V F F V V F ~q F V p^ ~q F V F F 22

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA CONDICIONAL A condicional p -> q NÃO tem as propriedades IDEMPOTENTE, COMUTATIVA E ASSOCIATIVA. As tabelas-verdade das proposições: p -> p e p, p -> q e q->p, (p -> q) -> r e p-> (q -> r) não são idênticas. 23

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP. DA NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL Como p <-> q (p->q) ^(q->p), temos: p <-> q (~p v q) ^ (~q v p) Portanto, ~(p <-> q) ~(~p v q) v ~(~q v p) Daí: ~(p <-> q) (~~p ^ ~q) v (~~q ^ ~p) Por fim: ~(p <-> q) (p ^ ~q) v (q ^ ~p) 24

LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA BICONDICIONAL A bicondicional p <-> q NÃO tem a propriedade IDEMPOTENTE. As tabelas-verdade das proposições: p -> p e p. A bicondicional tem as propriedades COMUTATIVA e ASSOCIATIVA. 25