CIFRAS SIGNIFICATIV AS Las cifras significativas de un

CIFRAS SIGNIFICATIV AS

• Las cifras significativas de un número son aquellas que tienen un significado real y, por tanto, aportan alguna información. Toda medición experimental es inexacta y se debe expresar con sus cifras significativas.

• Ejemplo: • supongamos que medimos la longitud de una mesa con una regla graduada en milímetros. El resultado se puede expresar, por ejemplo como: • Longitud (L) = 85, 2 cm • No es esta la única manera de expresar el resultado, pues también puede ser: • L = 0, 852 m • L = 8, 52 dm • L = 852 mm • Se exprese como se exprese el resultado tiene tres cifras significativas, que son los dígitos considerados como ciertos en la medida. Cumplen con la definición pues tienen un significado real y aportan información. Así, un resultado como L = 0, 8520 m

• No tiene sentido ya que el instrumento que hemos utilizado para medir no es capaz de resolver las diezmilésimas de metro. • Por tanto, y siguiendo con el ejemplo, el número que expresa la cantidad en la medida tiene tres cifras significativas. Pero, de esas tres cifras sabemos que dos son verdaderas y una es incierta, la que aparece subrayada a continuación: • L = 0, 852 m

• Esto es debido a que el instrumento utilizado para medir no es perfecto y la última cifra que puede apreciar es incierta. ¿Cómo es de incierta? Pues en general se suele considerar que la incertidumbre es la cantidad más pequeña que se puede medir con el instrumento, aunque no tiene por qué ser así pues puede ser superior a dicha cantidad. La incertidumbre de la última cifra también se puede poner de manifiesto si realizamos una misma medida con dos instrumentos diferentes, en nuestro caso dos reglas milimetradas. Por extraño que pueda parecer no hay dos reglas iguales y, por tanto, cada instrumento puede aportar una medida diferente. • Quedando claro que la última cifra de la medida de nuestro ejemplo es significativa pero incierta, la forma más correcta de indicarlo (asumiendo por ahora que la incertidumbre es de ± 1 mm), es • L = 0, 852 ± 0, 001 m

REGLAS PARA ESTABLECER LAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS DE UN NÚMERO DADO. Regla 1. En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos. Por ejemplo: • 3, 14159 → seis cifras significativas → 3, 14159 • 5. 694 → cuatro cifras significativas → 5. 694 Regla 2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos. Por ejemplo: • 2, 054 → cuatro cifras significativas → 2, 054 • 506 → tres cifras significativas → 506

Regla 3. Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven solamente para fijar la posición del punto decimal y no son significativos. Por ejemplo: • 0, 054 → dos cifras significativas → 0, 054 • 0, 0002604 → cuatro cifras significativas → 0, 0002604 Regla 4. En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos. Por ejemplo: • 0, 0540 → tres cifras significativas → 0, 0540 • 30, 00 → cuatro cifras significativas → 30, 00

Regla 5. Si un número no tiene punto decimal y termina con uno o más ceros, dichos ceros pueden ser o no significativos. Para poder especificar el número de cifras significativas, se requiere información adicional. Para evitar confusiones es conveniente expresar el número en notación científica, no obstante, también se suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son significativos. Por ejemplo: • 1200 → dos cifras significativas → 1200 • 1200, → cuatro cifras significativas → 1200, • Regla 6. Los números exactos tienen un número infinito de cifras significativas. • Los números exactos son aquellos que se obtienen por definición o que resultan de contar un número pequeño de elementos. Ejemplos: - Al contar el número de átomos en una molécula de agua obtenemos un número exacto: 3. - Al contar las caras de un dado obtenemos un número exacto: 6. - Por definición el número de metros que hay en un kilómetro es un número exacto: 1000.

NOTACIÓN CIENTÍFICA DE UN NÚMERO • La notación científica representa un número utilizando potencias de base diez. El número se escribe como un producto • A · 10 n • siendo A un número mayor o igual que uno y menor que 10, y n un número entero. La notación científica se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños. También es muy útil para escribir las cantidades físicas pues solo se escriben en notación científica los dígitos significativos. • Un número en notación científica se expresa de manera que contenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán después del separador decimal multiplicado por el exponente respectivo.

Ejemplos: · Distancia media Tierra-Luna = 384. 000 m · Distancia media Tierra-Luna = 3, 84 · 10 8 m (tres cifras significativas) · Radio del átomo de hidrógeno = 0, 0000053 m · Radio del átomo de hidrógeno = 5, 3 · 10 -11 m (dos cifras significativas) · Velocidad de la luz en el vacío = 299. 792, 458 km/s · Velocidad de la luz en el vacío = 2, 99792458 · 10 8 km/s (9 cifras significativas) · G = 0, 0000066742 N·m 2/kg 2 · G = 6, 6742 · 10 -11 N·m 2/kg 2 (5 cifras significativas)

CIFRAS SIGNIFICATIVAS EN CÁLCULOS NUMÉRICOS • Cuando se realizan cálculos aritméticos con dos o más números se debe tener cuidado a la hora de expresar el resultado ya que es necesario conocer el número de dígitos significativos del mismo. Teniendo en cuenta que los números con los que operamos son los mejores valores de las cantidades que se hayan medido, no es admisible que se gane o que se pierda incertidumbre mientras que se realizan operaciones aritméticas con dichos números. Se pueden establecer algunas sencillas reglas cuya aplicación intenta cumplir con esta condición aunque no siempre se consigue. Analizaremos tres situaciones: realización de sumas y diferencias; productos y cocientes; logaritmos y antilogaritmos.

• Regla 7. En una suma o una resta el número de dígitos del resultado viene marcado por la posición del menor dígito común de todos los números que se suman o se restan. • Por tanto, en una adición o una sustracción el número de cifras significativas de los números que se suman o se restan no es el criterio para establecer el número de cifras significativas del resultado. • Por ejemplo: (a) 4, 3 + 0, 030 + 7, 31 = 11, 64 ≌ 11, 6 (b) 34, 6 + 17, 8 + 15 = 67, 4 ≌ 67 (c) 34, 6 + 17, 8 + 15, 7 ≌ 68, 1

• En los ejemplos (a) y (c) el menor dígito común a los sumandos es la décima (primer decimal), por tanto el resultado debe venir expresado hasta dicho decimal. En el ejemplo (b) el menor dígito común a los tres sumandos es la unidad, por tanto el resultado debe venir expresado hasta la unidad. • Analicemos con más profundidad las consecuencias de la aplicación de la regla 7. De partida, se suele asumir que es incierto en una unidad el último dígito de cada número que interviene en una operación. Así, la mayor de las incertidumbres en los ejemplos (a) y (c) es ± 0, 1. En el ejemplo (b) la mayor de las incertidumbres en los sumandos es ± 1. ¿Son esas también las incertidumbres en los resultados? En principio es común asumir dichas incertidumbres pero es sencillo comprobar que esto no siempre es cierto como veremos a continuación.

• Según la teoría de propagación de errores la incertidumbre del resultado de una combinación lineal como la siguiente • es • donde Δa, Δb, … … son las incertidumbres absolutas de a, b, … • Para poder aplicar esta expresión las medidas a, b, . . . , deben ser independientes y sus errores, aleatorios. En los ejemplos anteriores las incertidumbres serían: • (a) • (b) • (c) • Luego, al aplicar el convenio de cifras significativas la tendencia sería asumir que la incertidumbre del resultado en el caso (c) es de ± 0, 1 cuando en realidad es del doble.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS EN PRODUCTOS Y COCIENTES • Regla 8. En un producto o una división el resultado debe redondearse de manera que contenga el mismo número de dígitos significativos que el número de origen que posea menor número de dígitos significativos. • Por tanto, a diferencia de la suma o la resta, en la multiplicación o la división el número de dígitos significativos de las cantidades que intervienen en la operación sí es el criterio a la hora de determinar el número de dígitos significativos del resultado.

• • Ejemplo: A) B) C)

CIFRAS SIGNIFICATIVAS EN LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS • Regla 9. En el logaritmo de un número se deben mantener tantos dígitos a la derecha de la coma decimal como cifras significativas tiene el número original. • Regla 10. En el antilogaritmo de un número se deben mantener tantos dígitos como dígitos hay a la derecha de la coma decimal del número original. • Veamos unos ejemplos con logaritmos de base 10: • (a) log 3, 53 = 0, 5477747 ≌ 0, 548 • (b) log 1, 200 · 10 -5 = - 4, 9208188 ≌ - 4, 9208 • (c) Anti log 8, 9 = 10 8, 9 = 7, 94328 · 10 8 ≌ 8 · 108 8 • (d) Anti log 8, 900 = 10 8, 9 = 7, 94328 · 10 8 ≌ 7, 94 · 10

• En el ejemplo (a) el número de cifras significativas del número 3, 53 es de tres y, por tanto, el número de decimales que tiene su solución es tres. El número del ejemplo (b) tiene cuatro cifras significativas y su logaritmo se expresa con 4 decimales. En cuanto a los antilogaritmos de los ejemplos (c) y (d), el primero tiene una sola cifra decimal y su solución se expresa con una cifra significativa; el segundo tiene tres cifras decimales y tres son las cifras significativas del resultado. • Con objeto de analizar cómo es la precisión de los resultados expresados por aplicación de las reglas 9 y 10, en la tabla nº 2 se recogen las incertidumbres absolutas y relativas de los números de partida

NOTACIÓN DE INGENIERÍA • La notación de ingeniería se parece a la notación científica, sólo que el exponente se expresa en múltiplos de 3. • Esto con el propósito de que concuerde con la unidades que comúnmente se utilizan. • A x 10 B • - A: Factor multiplicativo que está entre 1 y 1000. No es necesario poner más ceros, pues se arregla corrigiendo el exponente. • - B: Exponente que siempre es múltiplo de 3. (3, 6, 9, 12, etc. ) • Nota: cuando se expresan números menores que 1 (entre 0 y 1) el exponente tiene signo negativo, ejemplo: 0. 5 = 2 -1 o el peso del electrón expresado anteriormente.