Chng III BI TON VN TI I NH

Chương III: BÀI TOÁN VẬN TẢI I. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT Định nghĩa 1 Btvt TQ có dạng:

Dạng bảng của btvt: T B 1 B 2 … Bj … Bn c 11 c 12 c 1 j c 1 n … Ai ci 1 ci 2 cij cin … Am cm 1 cm 2 Cmj cmn P A 1

Thu T 1 T 2 T 3 35 tấn hàng 25 tấn hàng 45 tấn hàng Phát P 1 5 30 tấn hàng 2 3 P 2 2 75 tấn hàng 1 1

Lưu ý: +Mỗi hàng Ai đại diện cho một trạm phát. +Mỗi cột Bj đại diện cho một trạm thu. +Ô(i, j) đại diện cho tuyến đường vận tải hàng từ trạm phát thứ i đến trạm thu thứ j. +Điều kiện cân bằng thu phát là đk:

+ PA của btvt viết dưới dạng ma trận: Định lý 1: Btvt cân bằng thu phát luôn có PATƯ.

Định nghĩa 2: • Tập hợp các ô của bảng vận tải mà cứ hai ô liên tiếp thì nằm trên cùng một dòng hay một cột và một dòng hay một cột đó không chứa quá hai ô được gọi là một đường đi. X X X

• Một đường đi khép kín được gọi là một chu trình. X X X Định lý 2: Một bảng vận tải m dòng, n cột thì tập hợp các ô không chứa chu trình có tối đa là (m+n-1) ô.

Định nghĩa 3: Trong một PA, ô có vận tải hàng đi qua ứng với xij>0 được gọi là ô chọn. Ô có xij=0 gọi là ô loại. Chú ý: ta thường dùng x để chỉ ô chọn. Định lý 3: X là PACB của btvt khi và chỉ khi X có tập hợp các ô chọn không chứa chu trình.

Định nghĩa 4: PACB gọi là không suy biến nếu số ô chọn =m+n-1. PACB gọi là suy biến nếu số ô chọn <(m+n-1). X X X * Đưa PACB suy biến về PACB không suy biến, ta bổ sung thêm các ô loại cho đủ (m+n-1) ô chọn không chứa chu trình. Các ô loại bổ sung đó được gọi là ô chọn 0.

Định lý 3. Cho bảng vận tải có m dòng, n cột, cho E={(m+n-1) ô không chứa chu trình}, ô. Khi đó, chứa duy nhất một chu trình V. sẽ không chứa chu trình. (Vậy: E là PACB cũ, E 2 là PACB mới).

II. Phương pháp tìm PACB 1. Phương pháp “min cước”: 2. nghĩa là ưu tiên phân phối hàng nhiều nhất vào ô có cước phí rẻ nhất! Ví dụ 1. Tìm PACB của bt sau: 30 40 50 80 1 5 7 45 5 7 4 55 12 2 3 60 2 9 6

Bằng “pp min cước” ta nhận được PACB: 30 80 1 x 40 5 50 7 60 2 x 30 45 5 55 12 50 7 2 4 x 9 35 x 3 x 6 40 15 x 10

Nghĩa là: + Chuyển 30 (đvh) từ t. phát 1 đến t. thu 1, + Chuyển 50 (đvh) từ t. phát 1 đến t. thu 4 , + Chuyển 35 (đvh) từ t. phát 2 đến t. thu 3, + Chuyển 10 (đvh) từ t. phát 2 đến t. thu 4, + Chuyển 40 (đvh) từ t. phát 3 đến t. thu 2, + Chuyển 15 (đvh) từ t. phát 3 đến t. thu 3. Cước phí f(x)=1. 30+2. 50+4. 35+9. 10+2. 40+3. 15 = 455(đvtt).

III. Phương pháp giải btvt 1. PP “qui 0 cước phí các ô chọn”. a. Định lí. b. Cho btvt ma trận cước phí C=(cij). Nếu cộng vào hàng thứ i của ma trận C một số tùy ý ri và cộng vào cột j một số tùy ý sj ta nhận được btvt mới với cước phí C’=(c’ij) với c’ij=cij+ri+sj. Hai btvt trên là tương đương.

b. Thuật toán: gồm 3 bước. B 1) “Qui 0 ô chọn” PACB x: dựa vào định lí trên để chọn một bộ (ri, sj) sao cho tại các ô chọn cước phí mới cij’đều =0. B 2) Điều kiện tối ưu. + c’ij≥ 0 với mọi i, j → PA x tối ưu. + Tồn tại một cước phí c’ij<0 → có PA mới tốt hơn PA x.

B 3) Tìm PA mới (trên bảng cước phí C’) + Ô đưa vào: ô có cước phí âm bé nhất. +Xác định chu trình V, đánh số chẵn lẻ cho V bắt đầu số 1 từ ô đưa vào: VC, VL là lượng hàng điều chỉnh PA mới và (i 0, j 0) là ô đưa ra. +PA mới:

Ví dụ 1: Giải btvt sau: j 30 40 50 60 i 80 1 5 7 2 45 5 7 4 9 55 12 2 3 6

Bằng pp min cước ta tìm PACB j i 80 30 40 1 50 60 5 7 2 X 30 45 5 7 4 9 55 12 2 3 6

j 30 i 80 40 1 5 50 7 60 2 X X 50 30 45 5 7 4 9 55 12 2 3 6

j 30 i 80 40 1 5 50 7 60 2 X X 50 30 45 5 7 4 9 55 12 2 3 6 X 40

j 30 i 80 40 1 5 50 7 60 2 X X 50 30 45 5 7 4 9 55 12 2 3 6 X 40 X 15

80 30 1 40 5 50 7 60 2 X X 30 45 5 50 7 4 X 9 X 35 55 12 2 3 X 6 X 40 10 15

Giải. • Bài toán thỏa ĐK cân bằng thu phát: Σhàng thu = Σ hàng phát = 180 • Tìm PACB ban đầu. Bằng “pp min cước” ta có PACB: có 6 ô chọn =m+n-1 nên X không suy biến.

Bước 1: “Quy không ô chọn” PA x: dựa vào định lí ta chọn một bộ (ri, sj) sao cho tại các ô chọn cước phí mới cij’đều =0. Nên ta có hệ p. trình: Hệ có 7 ẩn, 6 pt →hệ VSN. Chọn một nghiệm: cho r 1=0 ta có s 1=-1, s 4=-2, r 2=-7, s 3=3, r 3=-6, s 2=4.

1 5 7 2 r 1=0 x 5 7 4 9 x 12 2 3 ta có C’: r 2=-7 x 6 x x s 1=- s 2= s 3= s 4=1 4 3 2 r 3=-6 x -3 9 10 x 4 0 0 x 5 0 0 0 x x x -2

Bước 2: Kiểm tra ĐKTƯ. Từ ma trận cước phí mới C’ ta thấy tồn tại c’ 21<0 nên PA x chưa TƯ. Bước 3: Tìm PA tốt hơn. + Ô đưa vào chu trình V: ô (2, 1) (vì có cước phí âm bé nhất). + Xác định chu trình V và đánh số chẵn lẻ cho V bắt đầu số 1 từ ô (2, 1) như ghi trên bảng 1.

V={(2, 1); (2, 4); (1, 1)}. 0 -3 5 (4) 9 x (1) 4 x 0 10 0 x x 0 x -2 (3) x (2) x

→ Lượng hàng điều chỉnh là 10, ô(2, 4) đưa ra. + Xác định PA mới:

Bước 4: Xem Y là PA ban đầu ta quy không ô chọn PA Y. 0 9 10 0 x x -3 4 0 x 5 0 r 2=3 -2 r 3=3 x 0 0 x S 1=0 r 1=0 S 2=-3 x S 3=-3 S 4=0

Ta nhận được bảng cước phí mới C”: 0 6 7 0 x 4 0 x 8 3 x 0 0 x 1 x Từ C” ta thấy mọi cước phí cij”≥ 0. Vậy Y TƯ.

Nghĩa là: + Trạm phát 1 chuyển đến trạm thu 1: 20 t; + Trạm phát 1 chuyển đến trạm thu 4: 60 t; + Trạm phát 2 chuyển đến trạm thu 1: 10 t; + Trạm phát 2 chuyển đến trạm thu 3: 35 t; + Trạm phát 3 chuyển đến trạm thu 2: 40 t; + Trạm phát 2 chuyển đến trạm thu 3: 15 t. Cước phí fmin(Y)=1. 20+2. 60+5. 10+4. 35+2. 40+3. 15 = 455(đvtt).

Ví dụ 2: Giải bài toán vận tải cho bởi bảng vận tải sau: j 50 40 70 i 80 5 5 12 20 7 9 11 60 4 2 3

j i 80 50 40 5 5 70 12 50 20 7 30 9 11 20 60 4 2 3 40 20

Giải. • Bài toán thỏa ĐK cân bằng thu phát: Σhàng thu = Σ hàng phát = 160 • Tìm PACB ban đầu. Bằng “pp min cước” ta có PACB: có 5 ô chọn =m+n-1 nên X không suy biến.

Bước 1: “Quy không ô chọn” PA x: ta chọn một bộ (ri, sj) như ghi trên bảng 1. Bảng 1 5 5 12 r 1 =0 x x 7 9 11 r 2 =1 x 4 2 3 r 3 =9 x x S 1=-5 S 2= -11 S 3= -12

Ta có ma trận cước phí mới C’: 0 -6 0 x 3 x -1 0 x 8 0 0 x x Chứng tỏ X chưa tối ưu, vì C’ còn ô cước phí âm.

Bước 3: Xây dựng phương án mới. +ô đưa vào: ô (1, 2) (cước phí âm bé nhất). Xác định chu trình V trong bảng 2. Bảng 2: 0 -6 (1) 0 (2) x * x 3 -1 0 x 8 0 (4) 0 (3) x x

→ Lượng điều chỉnh là 30, ô(1, 4) đưa ra. + Xác định PA mới: Bước 4: Quy không ô chọn PA Y. …

IV. Các dạng đặc biệt của bt vận tải 1. Bt không cân bằng thu phát: + Σai hàng phát > Σbj hàng thu: thêm cột thu giả với lượng hàng bằng (Σai-Σbj). + Σai hàng phát < Σbj hàng thu: thêm hàng phát giả với lượng hàng bằng (Σbj-Σai). Lưu ý: +Các ô thộc cột thu giả, cột phát giả gọi là ô phụ và đều có cước phi bằng 0; khi hàng còn dư mới phân vào các ô phụ.

Ví dụ 1: Giải bài toán vận tải không cân bằng thu phát cho bởi bảng vận tải sau: j 40 50 80 i 90 6 1 1 40 5 7 4 70 4 11 3

+ Ta thêm trạm thu giả có lượng hàng là 30, khi đó bt trở thành cân bằng thu-phát và cước phí tại các ô phụ đều bằng 0. j 40 50 80 30 i 90 6 1 1 0 40 5 7 4 0 70 4 11 3 0

2. Bài toán có ô cấm. Những ô cấm đại diện cho tuyến đường không thể qua được. Chẳng hạn như : cầu gãy, phà hư… Để giải bài toán có ô cấm ta xem ô cấm như ô bình thường có cước phí vận chuyển thay bằng M (M là số vô cùng lớn) rồi giải bt bình thường. Lưu ý: Nếu bt(M) có PATƯ và tồn tại ô cấm được phân hàng thì bt gốc không có PATƯ.

Ví dụ 2: Giải bài toán vận tải có ô cấm cho bởi bảng vận tải sau: j 65 i 80 4 90 3 70 6 75 2 100 1 5 7 8

Ta thay cước phí của ô cấm bằng M, sau đó ta giải bt như trường hợp không có ô cấm. j 65 i 80 4 90 3 70 6 75 2 1 M 7 100 5 8

3. Bài toán vận tải có f(x) → max. Ta giải bình thường như bt có f(x)→min với lưu ý: +Tìm PACB ban đầu: Phân phối hàng nhiều nhất vào ô có “cước phí lớn nhất”! +ĐKTƯ: mọi c’ij ≤ 0 +Ô đưa vào : là ô có cước phí dương lớn nhất.

Ví dụ: Một phân xưởng có 2 công nhân nữ và 3 công nhân nam. Phân xưởng có một máy tiện loại I và 2 máy tiện loại II, 2 máy tiện loại III. Năng suất công nhân đứng trên mỗi loại máy được cho trong bảng (đơn vị là chi tiết/ngày):

Máy CN Nữ: 2 I: 1 10 Nam: 3 8 II: 2 III: 2 8 7 9 11 Tìm PA phân công nhân đứng máy để cuối ngày thu được nhiều sản phẩm nhất.

Bài tập: 1. Giải bài toán vận tải sau: j 40 50 80 30 i 90 2 4 4 2 40 5 7 1 1 70 4 8 3 6

2. Giải btvt sau: 35 25 45 30 5 2 3 75 2 1 1