CHNG 2 PHP TNH VI PH N HM

CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH VI PH N HÀM MỘT BIẾN Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm tại một điểm • Định nghĩa: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệu f’(a) là: (nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn). • Chú ý: đặt h=x-a, ta có: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tìm đạo hàm của hàm: tại a=2 theo định nghĩa. Ta xét giới hạn sau: Vậy: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm phải – trái • Đạo hàm trái của f(x) tại a là: • Đạo hàm phải của f(x) tại a là: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định lý • Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và hai đạo hàm này bằng nhau. • Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm số liên tục tại a. Chiều ngược lại có thể không đúng. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Cho hàm số: Tìm Ta có: Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số đạo hàm • Với a cố định ta có: • Thay a bằng x ta có: • Với mỗi giá trị khác nhau của x ta tính được f’(x) nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. Như vậy giá trị của f’(x) phụ thuộc vào biến độc lập x nên có thể xem f’ là một hàm theo x và gọi là đạo hàm của hàm f. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số đạo hàm • Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x). • Ký hiệu: • Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho f’(x) tồn tại. Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x). Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 1 • Tìm hàm số đạo hàm của hàm y=x 2. • Ta có: • Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc TXĐ. • Vậy đạo hàm của hàm số: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 2 • Tìm đạo hàm của hàm: • Ta có: • Vậy: • Chú ý: tập xác định của hàm f(x) là: [0; ) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Qui tắc tính đạo hàm 1 • Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đó đạo hàm theo x của các hàm sau là: • Đạo hàm dạng: uv • Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Qui tắc tính đạo hàm 2 • Đạo hàm của hàm hợp: • Ví dụ: Hàm là hàm hợp của 2 hàm: Vậy: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Công thức tính đạo hàm 1 Đạo hàm hợp Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Công thức tính đạo hàm 2 Đạo hàm hợp Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tìm f’(x) biết: • Ta có: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tìm f’(x) biết: • Ta có: • Vậy: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số cho bởi tham số • Hàm số y=f(x) thỏa điều kiện: • Khi đó hàm số đã cho gọi là hàm cho bởi phương trình tham số. • Ví dụ: Cho hàm Đặt: ta có dạng tham số sau: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Công thức đạo hàm tham số • Cho hàm y=f(x) dạng tham số: • Khi đó: • Ví dụ: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm của hàm ngược • Hàm số có hàm ngược là: • Khi đó: • Ví dụ 1: Hàm y=arctanx có hàm ngược x=tany Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm của hàm ngược • Ví dụ 2: Hàm y=arcsinx có hàm ngược x=siny • Ví dụ 3: Hàm y=arccosx có hàm ngược x=cosy Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm ẩn • Hàm y=f(x) với x (a; b) là hàm ẩn cho bởi phương trình F(x, y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng thức đúng. • Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x (a; b). • Ví dụ: Phương trình: xác định hai hàm ẩn: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm ẩn • Cho phương trình: F(x; y)=0 • Để tính: y’x • B 1. Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x. Chú ý y là hàm theo x. • B 2. Giải phương trình tìm y’. • B 3. Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình. Ví dụ: Cho phương trình: Tính đạo hàm của y theo x. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm ẩn • B 1. Lấy đạo hàm theo x • B 2. Giải tìm y’ Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm ẩn • B 3. Tính y’(0). • Ta có: • Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm cấp cao • Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm (nếu có) của f’ gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x). • Ký hiệu: • Đạo hàm cấp 3 của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp 2. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm cấp cao • Đạo hàm cấp n của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1). • Ví dụ: Cho hàm: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số. Giải: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm cấp cao • Ta có: • Tương tự: • Tổng quát: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm cấp cao thường gặp Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Chú ý Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tính đạo hàm cấp n của: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm cấp cao hàm ẩn • Biết: . CM: • Đạo hàm 2 vế theo x: • Do đó: • Thay y’ vào: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm cấp cao tham số • Ta đã biết: • Theo công thức đạo hàm hợp: • Do đó: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tìm y’’ biết: • Ta có: • Vậy: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Công thức Leibnitz • Dễ thấy: • Mở rộng: Gần giống khai triển nhị thức Newton Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tính đạo hàm: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

VI PH N • Vi phân tại một điểm • Vi phân trên một khoảng • Ứng dụng vi phân tính gần đúng Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vi phân tại một điểm • Định nghĩa. Hàm số f(x) gọi là khả vi tại x 0 nếu: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vi phân tại một điểm • Cho hàm f khả vi tại x 0. Khi đó A. h gọi là vi phân của hàm số f(x) tại x 0. Ký hiệu: Định lý: Hàm y= f(x) khả vi tại x 0 khi và chỉ khi tồn tại f’(x 0). Ta chứng minh được: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vi phân tại một điểm • Vi phân của hàm số f(x) tại x 0. • Tính chất: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vi phân của hàm hợp • Cho hàm hợp: • Vi phân: • Hai công thức này có dạng giống nhau • Vậy vi phân cấp 1 có tính bất biến. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ứng dụng vi phân Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ứng dụng vi phân tính gần đúng • Cho hàm f(x) khả vi trong lân cận của x 0. Ta có: • Hay công thức: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Cho hàm số: a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x 0=1 b) Tính gần đúng: Giải: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Cho hàm số: a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x 0=1 b) Tính gần đúng: Giải: Nếu tính bằng máy tính: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vi phân cấp cao • Vi phân cấp 1: • Là một hàm theo x. Nếu hàm số này có vi phân thì vi phân này gọi là vi phân cấp 2 của hàm f(x). • Vậy: • Tương tự vi phân cấp n là vi phân của vi phân cấp (n-1). Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vi phân cấp cao của hàm hợp • Cho hàm hợp: f(g(x)). • Vi phân cấp 2: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI • Định lý về giá trị trung bình (tham khảo) • Công thức Taylor • Qui tắc L’ Hospitale Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định lý Fermat • Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận x 0. • Nếu f(x) đạt cực đại tại x 0 và có đạo hàm tại x 0 thì: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định lý Rolle • Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và f(a)=f(b) thị tồn tại điểm c thuộc (a, b) sao cho f’(c)=0 • Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle có nghĩa giữa hai nghiệm của hàm số có ít nhất một nghiệm của đạo hàm. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định lý Lagrange • Nếu f(x) liên tục trên [a, b], khả vi trong (a, b) thì tồn tại c thuộc (a, b) sao cho: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định lý Cauchy • Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a, b], khả vi trong (a, b) và g(x) khác 0 trên (a, b) thì tồn tại c thuộc (a, b) sao cho: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Công thức Taylor • Khai triển một hàm số phức tạp thành dạng đơn giản • Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức. • Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Công thức Taylor Cho hàm số f(x): • Liên tục trên [a, b] • Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a, b) • Xét x 0 (a, b). Khi đó trên [a, b] ta có: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Phần dư trong công thức Taylor • Dạng Lagrange: • Dạng Peano: (thường dùng hơn) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Công thức Maclaurin Cho hàm số f(x): • Liên tục trên [a, b] • Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a, b) • Xét x 0=0 (a, b). Khi đó trên [a, b] ta có: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Công thức L’Hospital • Áp dùng tìm giới hạn dạng: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ứng dụng hàm liên tục • Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ứng dụng hàm liên tục • Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ứng dụng hàm liên tục • Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ứng dụng hàm liên tục • Cho mô hình cân bằng thị trường QS=QD. Trong đó: • Chứng minh rằng mô hình trên có giá cân bằng thuộc khoảng (3; 5) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM • • 1. Ý nghĩa của đạo hàm 2. Giá trị cận biên 3. Hệ số co dãn 4. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

1. Ý nghĩa của đạo hàm • Cho hàm số y=f(x) • Tại x 0 khi x thay đổi một lượng Δx • Thì y thay đổi: Δy = f(x 0+ Δx)-f(x 0) • Tốc độ thay đổi của y theo x tại điểm x 0 chính là đạo hàm f’(x 0) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

1. Ý nghĩa của đạo hàm • Ví dụ 1. Hàm cầu của một loại hàng hóa là p=50 -Q 2 • Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi • Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

1. Ý nghĩa của đạo hàm • Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

2. Giá trị cận biên • Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giá trị cận biên của chi phí • Cho hàm chi phí C=C(Q) • Hàm cận biên của chi phí: MC(Q)=C’(Q) • Lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên 1 đơn vị Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Giả sử chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là: • A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q sản phẩm. • B) Tìm giá trị cận biên của hàm chi phí. Nêu ý nghĩa khi Q=50. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giá trị cận biên của doanh thu • Cho hàm doanh thu R=R(Q) • Hàm cận biên của doanh thu: MR(Q)=R’(Q) • Lượng thay đổi của doanh thu khi Q tăng lên 1 đơn vị Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Số vé bán được Q và giá vé p của một hãng xe bus được cho bởi công thức: • A) Xác định hàm tổng doanh thu • B) Xác định doanh thu cận biên khi p=30 và p=32 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Độ thay đổi tuyệt đối và tương đối • Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hệ số co dãn • Hệ số co dãn của y theo x là tỷ số giữa độ thay đổi tương đối của y và của x thay đổi một lượng Δx. • Ký hiệu: • Thể hiện % thay đổi của y khi x thay đổi 1%. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Cho hàm cầu Q=30 -4 p-p 2. Tìm hệ số co dãn khi p=3 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Lựa chọn tối ưu trong kinh tế • • Trong kinh tế ta quan tâm các bài toán sau: + Tìm p để sản lượng Q đạt tối đa + Tìm p hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa + Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu) • Ta đưa các bài toán trên về dạng tìm cực trị của hàm một biến số đã học. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 1 • Cho hàm cầu Q=300 -p, hàm chi phí C=Q 319 Q 2+333 Q+10 • Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 2 • Cho hàm cầu Q=100 -p, hàm chi phí C=Q 325 Q 2+184 Q+15 • Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến