CHNG 2 BIN NGU NHIN mt chiu Bi

CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN một chiều Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 1

Định nghĩa • Biến ngẫu nhiên X là đại lượng nhận giá trị nào đó phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên. • Ký hiệu: chữ hoa X, Y, Z … • Giá trị của bnn: chữ thường x, y, z, … • Với mọi số thực x ta có {X<x} là một biến cố ngẫu nhiên. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 2

Ví dụ 1 • X: Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày • Y: Tuổi thọ của iphone 6 • Trả ngẫu nhiên 3 mũ bảo hiểm cho 3 người. Gọi Z: số mũ bảo hiểm được trả đúng người • T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới nhập về • U: Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên trong lớp này Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 3

Ví dụ 2 • Tung một đồng xu. Ta có các biến cố sau: – Đồng xu ngửa : “N” – Đồng xu sấp: “S” Đặt Khi đó X là một biến ngẫu nhiên. Lưu ý: “X=1” hay “X=0” là các biến cố. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 4

Ví dụ 3 • Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bi vàng có trong 2 viên lấy ra. • Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên. • Ta có: • “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào? ? ? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 5

Phân loại bnn Bnn X Rời rạc Liên tục Có hữu hạn giá trị Giá trị lấp đầy một hay vài khoảng hữu hạn hoặc vô hạn Có vô hạn đếm được giá trị Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 P(X=a)=0 với mọi a Nguyễn Văn Tiến 6

Hai biến ngẫu nhiên độc lập • Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập nếu hai biến cố: • Độc lập nhau với mọi giá trị của x, y. • Nói cách khác các biến cố liên quan đến hai biến ngẫu nhiên X, Y luôn độc lập nhau. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 7

Luật phân phối xác suất • Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng. – Xác suất để bnn nhận một giá trị bất kì – Xác suất để bnn nhận giá trị trong một khoảng bất kì • Dạng thường gặp: công thức, bảng ppxs, hàm mật độ Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 8

Hàm ppxs • Hàm phân phối xác suất hay hàm phân bố, ký hiệu F(x), định nghĩa như sau: • Hay Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 9

Hàm ppxs • Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x, x là một giá trị bất kì. • Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên trái số x. • Xác suất X thuộc [a, b) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 10

Tính chất Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 11

Hàm ppxs Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 12

Công thức ppxs Ví dụ 1. Một người nhắm bắn một mục tiêu cho đến khi nào bắn trúng một phát thì thôi (số phát bắn không hạn chế). Xác suất bắn trúng của mỗi phát đều bằng p. Tìm qui luật ppxs của số viên đạn được sử dụng Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 13

Bảng ppxs • Ví dụ 2. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm đạt loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A lấy ra? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 14

Bảng ppxs • Bảng phân phối xác suất của X. X x 1 …. x 2 …. xn P p 1 …. p 2 …. pn • xi : giá trị có thể có của bnn X • pi : xác suất tương ứng; pi=P(X=xi). • Chú ý: Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 15

Hàm khối xác suất • Probability mass function • Tính chất: • Dạng bảng • Dạng đồ thị Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 16

Bảng ppxs Ví dụ. Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ kiện 2 ra 1 sản phẩm. a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra? b) Xác định hàm ppxs tương ứng Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 17

Hàm ppxs • Cho X là bnn rời rạc có tập giá trị được sắp và • Khi đó: Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 18

Biến ngẫu nhiên liên tục • Cho X là bnn liên tục • Ta có: • Để thể hiện xác suất ta sử dụng hàm số. • Hàm mật độ xác suất hay mật độ xác suất Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 19

Hàm mật độ xác suất • Giả sử bnn liên tục X có hàm ppxs F(x). Nếu tồn tại hàm f(x) sao cho: • Thì f(x) gọi là hàm mật độ của bnn X • Viết tắt là: PDF (prob. density function) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 20

Hàm mật độ xác suất • Nếu X liên tục thì: Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 21

Tính chất iv) Tại những điểm mà f(x) liên tục ta có: Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 22

Hàm mật độ xác suất f(x) thỏa mãn 2 điều kiện: Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 23

Hàm mật độ xác suất Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 24

Ví dụ • Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất • A) Tìm k để f(x) là hàm mật độ xác suất • B) Tính xác suất P(1<X<1, 25) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 25

Ví dụ • Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất • A) Xác định hàm F(x) • B) Tính xác suất P(0<X<1) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 26

CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG • • • Kỳ vọng (Expected Value) E(X) Phương sai (Variance) V(X), Var(X) Độ lệch chuẩn (Standard Error) Trung vị (Median) me Mốt (Mode) m 0 Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV Hệ số bất đối xứng (Skewness) Hệ số nhọn (Kurtosis) Giá trị tới hạn Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 27

Tham số đặc trưng Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 28

Ví dụ • Tung một cục xúc sắc nhiều lần. Về lâu dài (in a long run) giá trị trung bình của những lần tung là bao nhiêu? • Giả sử ta có các kết quả tung như sau: • Thì giá trị trung bình là bao nhiêu. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Chú ý • Trong quá trình lâu dài thì mỗi mặt có tỷ lệ xuất hiện là 1/6. • Giá trị trung bình ở đây là trung bình số học có trọng số của X (trọng số là tỷ lệ, khả năng xuất hiện) • Giá trị trung bình của X, ghi là E(X), hay viết tắt là (đọc là muy) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 30

Kỳ vọng (Expected Value) • Ký hiệu: E(X) • Định nghĩa: • E(X) là trung bình theo xác suất của X • Có cùng đơn vị với X Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 31

Ví dụ 1 • Một nhân viên bán hàng có 2 cuộc hẹn trong 1 ngày. Với cuộc hẹn thứ nhất, khả năng thành công (ký được hợp đồng) là 0, 7 và lợi nhuận dự kiến là 1000$. Với cuộc hẹn thứ 2, khả năng thành công là 0, 4 và lợi nhuận là 1500$. Giả sử kết quả các cuộc hẹn độc lập nhau. Lợi nhuận kỳ vọng của nhân viên bán hàng là bao nhiêu? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 32

Ví dụ 2 • Nhu cầu hàng ngày của một loại thực phẩm tươi sống ở 1 khu vực là bnn rời rạc có ppxs: X P 80 0, 2 100 0, 4 120 0, 3 150 0, 1 • Giả sử khu vực này chỉ có 1 cửa hàng và cửa hàng này nhập mỗi ngày 100 kg thực phẩm. • Giá nhập là 40 ngàn/kg; bán ra là 60 ngàn/kg. Nếu thực phẩm không bán được trong ngày thì phải bán với giá 20/kg ngàn mới hết hàng. • Muốn có lãi trung bình cao hơn thì cửa hàng có nên nhập thêm 20 kg mỗi ngày hay không Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 33

Ví dụ 2 • X là tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử • Tìm tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 34

Hàm của bnn • Cho bnn X có ppxs: X P -1 0, 2 0 0, 1 1 0, 3 2 0, 4 • Đặt (X)=X 2 Phân phối xác suất của (X) Hướng dẫn • Giá trị của (X) • Xác suất nhận các giá trị đó Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 35

Kỳ vọng (tt) • Cho bnn X • Kỳ vọng toán học của hàm (X): Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 36

Tính chất Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 37

Ví dụ 3 • Tính kỳ vọng của bnn X rời rạc có hàm mật độ: Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 38

Ví dụ 4 • • Vòng quay roulett có 38 số 00, 0, 1 … 36. Gọi X là số mà quả bóng rơi vào Y là số tiền phải trả cho người chơi Nhà cái phải thu tiền mỗi người chơi bao nhiêu để có lợi. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 39

Ví dụ 5 • Cho X là biến ngẫu nhiên. Đặt Y=(X-c)2 • Giả sử E(Y) tồn tại. Tìm c sao cho E(Y) nhỏ nhất. Hướng dẫn: Đặt g(c)=E(Y) Đáp số: c=E(X) Ý nghĩa: ? ? ? ? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 40

Ví dụ • Xét hai bnn sau: X P Y P 3 0, 3 1 0, 4 4 0, 4 2 0, 1 5 0, 3 6 0, 3 8 0, 2 • So sánh E(X) và E(Y) • Vẽ đồ thị và nhận xét về mức độ biến thiên của X, Y Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 41

Phương sai (Variance) • Ký hiệu: V(X); Var(X) • Định nghĩa: Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 42

Phương sai (Variance) • Là kỳ vọng của bình phương sai lệch của bnn so với kỳ vọng toán của nó. • Đơn vị của phương sai trùng với đơn vị của X 2 • Phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro của các quyết định. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 43

Phương sai của hàm bnn Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 44

Tính chất của phương sai Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 45

Ví dụ 1 • Tiền lãi khi đầu tư 1 tỷ đồng vào các ngành A, B là các bnn độc lập X, Y: X P 0 0, 3 15 0, 5 30 0, 2 Y P -2 0, 2 15 35 0, 45 0, 35 • Muốn lãi trung bình cao hơn thì đầu tư vào ngành nào? • Muốn rủi ro thấp nhất thì chia vốn đầu tư theo tỷ lệ nào? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 46

Ví dụ 1 X P 0 0, 3 15 0, 5 30 0, 2 Y P -2 0, 2 15 35 0, 45 0, 35 • Đầu tư a tỷ vào ngành A và b tỷ vào ngành B trong 1 tháng. Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong 1 tháng? • Đầu tư 2 tỷ vào ngành A trong một tháng. Tìm trung bình và phương sai của tiền lãi thu được. • Mỗi tháng đầu tư vào ngành A 1 tỷ, độc lập nhau. Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong 2 tháng. Tính xác suất tổng tiền lãi không dưới 50 triệu. • Tìm xác suất đầu tư vào A được lãi cao hơn B? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 47

Độ lệch chuẩn • V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tập trung của X. • V(X) có đơn vị là bình phương đơn vị của X • (X) có đơn vị là đơn vị của X Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 48

Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa • Cho X là bnn có kỳ vọng và độ lệch chuẩn >0. • Đặt: • Ta có: • Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 49

Ví dụ 4 Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: tháng) với hàm mật độ như sau: • Tìm hằng số k? • Xác định hàm ppxs? • Tính tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 50

Hệ số biến thiên • Kí hiệu: CVx. • Đo mức độ thuần nhất của bnn. CVx càng nhỏ bnn càng thuần nhất. • So sánh độ phân tán của các bnn không có cùng đơn vị, không có cùng kỳ vọng. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 51

Median (Trung vị) • Ký hiệu Med. X, me là giá trị chia đôi hàm phân phối. • Hay Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 52

Median (Trung vị) • Nếu X liên tục thì: Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 53

Median (Trung vị) • Nếu X rời rạc thì: Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 54

Mod. X Ký hiệu: Nếu X rời rạc: Nếu X liên tục: Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 55

Ví dụ 1 Cho bnn X X 1 P 0, 1 2 3 4 5 0, 2 0, 15 0, 3 0, 25 Ta có: X 1 2 F(X) 0 0, 1 3 4 5 0, 3 0, 45 0, 75 Vậy Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 56

Ví dụ 4 • Cho bnn X có hàm mật độ xác suất • Tìm Med. X và Mod. X? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 57

Hệ số bất đối xứng • Kí hiệu: • Đo mức độ bất đối xứng của luật phân bố Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 58

Hệ số bất đối xứng • Đồ thị đối xứng Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 59

Hệ số bất đối xứng • Hàm mật độ lệch về bên trái. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 60

Hệ số bất đối xứng • Hàm mật độ lệch về bên phải. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 61

Hệ số nhọn • Kí hiệu: • Đặc trưng cho độ nhọn của hàm mật độ so với đồ thị của phân bố chuẩn. • Biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn thì 4=3 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 62

Hệ số nhọn • 4>3 đồ thị hàm mật độ nhọn hơn so với phân phối chuẩn • 4=3 đồ thị hàm mật độ tù hơn so với phân phối chuẩn Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 63

Hệ số nhọn • Đồ thị hàm mật độ của bnn pp chuẩn Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 64

Hệ số nhọn • Đồ thị hàm mật độ của bnn pp chuẩn Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 65

Bài tập 1. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi X là tổng số nốt xuất hiện trên 2 con xúc sắc. Tìm luật phân phối xác suất của X? Tính E(X), V(X) 2. Trong một hộp có 5 bóng đèn gồm 2 tốt và 3 hỏng. Chọn ngẫu nhiên từng bóng đem thử (thử xong không trả lại) cho đến khi thu được hai bóng tốt. Gọi X là số lần thử cần thiết. Tìm luật phân phối của X? Trung bình cần bao nhiêu lần thử. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 66

Bài tập 4. Tuổi thọ một loại côn trùng là X (tháng) có hàm mật độ a) Tìm hằng số k b) Tìm Mod(X) c) Tìm xác suất côn trùng chết trước khi nó được 1 tháng tuổi Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 67

Bài tập • Cho bnn X có hàm mật độ và E(X)=0, 6; V(X)=0, 06 a) Tìm a, b, c? b) Đặt Y=X 3. Tính E(Y) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 68

Bài tập 5 • Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một số cuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm về loại sách này như sau: Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33 P 0, 3 0, 15 0, 3 0, 25 • Cửa hàng mua sách với giá 7 USD một cuốn, bán ra với giá 10 USD một cuốn nhưng đến cuối năm phải hạ giá với giá 5 USD một cuốn. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 69

Bài tập 5 Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33 P 0, 3 0, 15 0, 3 0, 25 • Nếu nhập về 32 cuốn thì lợi nhuận bán được trung bình là bao nhiêu? • Xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kì vọng là lớn nhất. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 70

Bài tập 7 Cho bnn X có hàm mật độ: a) Tìm Med. X, Mod. X. b) Tìm E(X), Var(X) nếu có. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 71