CHNG 2 BIN NGU NHIN MT CHIU 1

CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU 1

2. 1 Khái niệm và phân loại • Khái niệm. Biến số gọi là biến ngẫu nhiên (random variable) nếu trong kết quả của phép thử nó sẽ nhận một và chỉ một giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên. • Ký hiệu: X, Y, Z … hay X 1, X 2, … • Giá trị có thể có của bnn: chữ thường x, y, z, … • {X≤x} {Y=y} là các biến cố ngẫu nhiên. 2

Ví dụ 1 • X: Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày • Y: Tuổi thọ của một chiếc điện thoại • Trả ngẫu nhiên 3 mũ bảo hiểm cho 3 người. Gọi Z: số mũ bảo hiểm được trả đúng người • T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới nhập về • U: Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên trong lớp này 3

Phân loại bnn 4

Phân loại Biến ngẫu nhiên Rời rạc - Hữu hạn giá trị - Vô hạn đếm được giá trị - Xác suất tập trung tại các điểm giá trị Liên tục - Giá trị lấp đầy một hay vài khoảng hữu hạn hoặc vô hạn - Xác suất tại từng khoảng giá trị - Xác suất không tập trung tại các điểm P(X=a)=0 với mọi a 5

Ví dụ 2 • Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bi vàng có trong 2 viên lấy ra. • Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên. • Ta có: • “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào? ? ? 6

Hai biến ngẫu nhiên độc lập • Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập nếu hai biến cố: • Độc lập nhau với mọi giá trị của x, y. • Nói cách khác mọi biến cố liên quan đến hai biến ngẫu nhiên X, Y luôn độc lập nhau. 7

2. 2 Quy luật phân phối xác suất • Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng. 8

Luật phân phối xác suất • Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng. • Thường gặp 3 dạng: Hàm phân bố xác suất (CDF) Rời rạc + Liên tục Hàm khối xác suất Rời rạc (PMF) Hàm mật độ xác suất (PDF) Xác suất bên trái Tỷ lệ bên trái F(x) Xác suất tại điểm p(x) f(x) Liên tục Mật độ xác suất f(x) 9

Hàm phân phối xác suất • Hàm phân phối xác suất (Cumulative Distribution Function), viết tắt CDF của biến ngẫu nhiên X là hàm xác định: • {X≤x} : biến cố “bnn X nhận giá trị nhỏ hơn hay bằng x” • Đôi khi ta còn gọi là hàm phân bố xác suất hay hàm tích lũy xác suất. 10

Tính chất 11

Hàm phân phối xác suất 12

Hàm khối xác suất • Probability Mass Function (PMF) • Tính chất: • Dạng bảng • Dạng đồ thị 13

Bnn Rời rạc - Bảng ppxs • Bảng phân phối xác suất của X. X x 1 …. x 2 …. xn P p 1 …. p 2 …. pn • xi : giá trị có thể có của bnn X • pi : xác suất tương ứng; 14

PMF và CDF 15

PMF và CDF • Hàm phân phối xác suất được xác định như sau: 16

Ví dụ 3 X P 0 1/4 1 1/2 2 1/4 • Hàm phân phối xác suất: 18

Ví dụ 4 • Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm đạt loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. • Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A lấy ra? • Xác định PMF, CDF? 19

Ví dụ 5 Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ kiện 2 ra 1 sản phẩm. a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra? b) Xác định PMF, CDF 20

Ví dụ 6 • Luật Benford phát biểu rằng trong một lượng rất lớn các số thực ngoài đời, chữ số đầu tiên tuân theo luật phân phối với 30% là số 1, 18% là số 2 và nói chung: • Với D là chữ số đầu tiên của một phần tử chọn ngẫu nhiên. • Luật phân phối trên có hợp lý không? 21

Chú ý về BNN liên tục • Nếu X là bnn liên tục thì: 22

Hàm mật độ xác suất • Probability Density Function • Viết tắt: PDF 23

Hàm mật độ xác suất 24

PDF và CDF 25

Ví dụ 7 • Cho biến ngẫu nhiên X có CDF dạng: • A) Xác định hệ số k • B) Tìm PDF 26

Ví dụ 8 • Cho biến ngẫu nhiên X có PDF dạng: • • A) Xác định hệ số k B) Tìm hàm CDF C) Tính P(2<X<3) D) Thực hiện 4 lần phép thử độc lập với bnn X. Tính xác suất bnn X không nhận giá trị trong khoảng (2; 3) 27

2. 3 Các tham số của biến ngẫu nhiên • • • Kỳ vọng (Expected Value) E(X) Phương sai (Variance) V(X), Var(X) Độ lệch chuẩn (Standard Deviation) Mốt (Mode) m 0 Trung vị (Median) me Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV Hệ số bất đối xứng (Skewness) Hệ số nhọn (Kurtosis) Giá trị tới hạn 28

Kỳ vọng (Expected Value) • Kỳ vọng toán học của bnn X được ký hiệu là E(X) hay và tính theo công thức sau: • E(X) là trung bình theo xác suất của X • E(X) là số xác định và có cùng đơn vị với X 29

Tính chất 30

Ví dụ 9 • Tung một cục xúc sắc nhiều lần. Gọi X là số chấm mặt ngửa của cục xúc sắc. • Tính kỳ vọng của X • Về lâu dài (in a long run) giá trị trung bình của những lần tung là bao nhiêu?

Ý nghĩa kỳ vọng • Là giá trị trung bình của bnn (trong một quá trình lâu dài); phản ánh giá trị trung tâm của ppxs của bnn • Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, nếu cần chọn phương án cho năng suất cao ta chọn phương án cho năng suất kì vọng cao 32

Ví dụ 10 • Một nhân viên bán hàng có 2 cuộc hẹn trong 1 ngày. Với cuộc hẹn thứ nhất, khả năng thành công (ký được hợp đồng) là 0, 7 và lợi nhuận dự kiến là 1000$. Với cuộc hẹn thứ 2, khả năng thành công là 0, 4 và lợi nhuận là 1500$. Giả sử kết quả các cuộc hẹn độc lập nhau. Lợi nhuận kỳ vọng của nhân viên bán hàng là bao nhiêu? 33

Ví dụ 11 • X là tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử • Tìm tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này. 34

Ví dụ 12 • Nhu cầu hàng ngày của một loại thực phẩm tươi sống ở 1 khu vực là bnn rời rạc có ppxs: X P 80 0, 2 100 0, 4 120 0, 3 150 0, 1 • Giả sử khu vực này chỉ có 1 cửa hàng và cửa hàng này nhập mỗi ngày 100 kg thực phẩm. • Giá nhập là 40 ngàn/kg; bán ra là 60 ngàn/kg. Nếu thực phẩm không bán được trong ngày thì phải bán với giá 20/kg ngàn mới hết hàng. • Muốn có lãi trung bình cao hơn thì cửa hàng có nên nhập thêm 20 kg mỗi ngày hay không 35

Ví dụ 13 • Cho bnn X có hàm mật độ: • A) Kiểm tra lại tính hợp lý của PDF trên • B) Tính E(X) • Biến ngẫu nhiên X như trên gọi là có phân phối mũ với tham số λ. Ký hiệu: X~E(λ) 36

Ví dụ 14 • Tính kỳ vọng của bnn X rời rạc có hàm mật độ: 37

Kỳ vọng của hàm của bnn • Cho bnn X và hàm (x). Đặt Y= (X) là bnn • Kỳ vọng toán học của Y: 38

Ví dụ 15 • Xét hai bnn sau: X P Y P 3 0, 3 1 0, 4 4 0, 4 2 0, 1 5 0, 3 6 0, 3 8 0, 2 • So sánh E(X) và E(Y) • Vẽ đồ thị và nhận xét về mức độ biến thiên của X, Y 39

Phương sai • Định nghĩa. Phương sai (variance) của bnn X, ký hiệu là V(X) được tính theo công thức: • Rút gọn: 40

Ý nghĩa của phương sai • Phương sai đo độ dao động của các giá trị của X xung quanh kỳ vọng toán E(X) • Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của X • Nếu X, Y cùng đơn vị, cùng ý nghĩa, V(X)>V(Y) thì: – X biến động, dao động, phân tán hơn Y – Y ổn định, đồng đều hơn X • Trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho sai số của thiết bị. Trong kinh tế, phương sai đo độ rủi ro của các quyết định. 41

Tính chất của phương sai 42

Ví dụ 16 • Tiền lãi khi đầu tư 1 tỷ đồng vào các ngành A, B là các bnn độc lập X, Y: X P 0 0, 3 15 0, 5 30 0, 2 Y P -2 0, 2 15 35 0, 45 0, 35 • Muốn lãi trung bình cao hơn thì đầu tư vào ngành nào? • Muốn rủi ro thấp nhất thì chia vốn đầu tư theo tỷ lệ nào? 43

Ví dụ 17 X P 0 0, 3 15 0, 5 30 0, 2 Y P -2 0, 2 15 35 0, 45 0, 35 • Đầu tư a tỷ vào ngành A và b tỷ vào ngành B trong 1 tháng. Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong 1 tháng? • Đầu tư 2 tỷ vào ngành A trong một tháng. Tìm trung bình và phương sai của tiền lãi thu được. • Mỗi tháng đầu tư vào ngành A 1 tỷ, độc lập nhau. Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong 2 tháng. Tính xác suất tổng tiền lãi không dưới 50 triệu. • Tìm xác suất đầu tư vào A được lãi cao hơn B? 44

Độ lệch chuẩn • Định nghĩa. Độ lệch chuẩn (standard deviation) của bnn X, ký hiệu (X) hay X, là căn bậc hai của phương sai. • Độ lệch chuẩn cũng đo mức độ phân tán, dao động của bnn X và có ý nghĩa tương tự phương sai. • Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với bnn X. 45

Ví dụ 18 46

Ví dụ 19 47

Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên • Cho X là bnn có kỳ vọng và độ lệch chuẩn >0. • Đặt: • Ta có: • Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X. 48

Ví dụ 20 Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: tháng) với PDF như sau: • Tìm hằng số k? • Xác định CDF? • Tính tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên. 49

Hệ số biến thiên • Định nghĩa. Hệ số biến thiên (coefficient of variation) của X ký hiệu là CV(X) được tính theo công thức: • Kí hiệu: CV(X). • Hệ số biến thiên có đơn vị là %. • Hệ số biến thiên đo độ phân tán tương đối. • Có thể so sánh hệ số biến thiên của nhiều bnn khác nhau, không cần cùng đơn vị, ý nghĩa, không có cùng kỳ vọng. 50

Median (Trung vị) • Định nghĩa. Trung vị của bnn X, ký hiệu Med. X, me là giá trị nằm ở chính giữa phân phối xác suất • Nếu X rời rạc: • Nếu X liên tục: 51

Mode X • Định nghĩa. Mốt (mode) của bnn X, ký hiệu mo là giá trị ứng với xác suất lớn nhất (X rời rạc) hoặc hàm mật độ f(x) lớn nhất (X liên tục). • BNN X có thể có 1 mod, nhiều mod hoặc không có mod • Nếu X rời rạc: • Nếu X liên tục: 52

Ví dụ 21 Cho bnn X Ta có: X 1 P 0, 1 X 1 F(X) 0, 1 2 3 4 5 0, 2 0, 15 0, 3 0, 25 2 3 4 0, 3 0, 45 0, 75 5 1 Vậy 53

Ví dụ 22 • Cho bnn X có hàm mật độ xác suất • Tìm Med. X và Mod. X? 54

Giá trị tới hạn • 56

Ví dụ 23 Tuổi thọ một loại côn trùng là X (tháng) có hàm mật độ a) Tìm hằng số k b) Tìm Mod(X) c) Tìm xác suất côn trùng chết trước khi nó được 1 tháng tuổi 57

Ví dụ 24 Cho bnn X có hàm mật độ và E(X)=0, 6; V(X)=0, 06 a) Tìm a, b, c? b) Đặt Y=X 3. Tính E(Y) 58

Ví dụ 25 • Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một số cuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm về loại sách này như sau: Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33 P 0, 3 0, 15 0, 3 0, 25 • Cửa hàng mua sách với giá 7 USD một cuốn, bán ra với giá 10 USD một cuốn nhưng đến cuối năm phải hạ giá với giá 5 USD một cuốn. 59

Ví dụ 25 Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33 P 0, 3 0, 15 0, 3 0, 25 • Nếu nhập về 32 cuốn thì lợi nhuận bán được trung bình là bao nhiêu? • Xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kì vọng là lớn nhất. 60

Bài tập chương 2 • • • 2. 1; 2. 2; 2. 6; 2. 7; 2. 9; 2. 10; 2. 11; 2. 14; 2. 15; 2. 17; 2. 18; 2. 10; 2. 23; 2. 24; 2. 25 2. 26; 2. 27; 2. 30; 2. 31; 2. 32 2. 33; 2. 34; 2. 37 • Tất cả 23 bài. 61

Anscombe's quartet I II IV x y x y 10. 0 8. 04 10. 0 9. 14 10. 0 7. 46 8. 0 6. 58 8. 0 6. 95 8. 0 8. 14 8. 0 6. 77 8. 0 5. 76 13. 0 7. 58 13. 0 8. 74 13. 0 12. 74 8. 0 7. 71 9. 0 8. 81 9. 0 8. 77 9. 0 7. 11 8. 0 8. 84 11. 0 8. 33 11. 0 9. 26 11. 0 7. 81 8. 0 8. 47 14. 0 9. 96 14. 0 8. 10 14. 0 8. 84 8. 0 7. 04 6. 0 7. 24 6. 0 6. 13 6. 08 8. 0 5. 25 4. 0 4. 26 4. 0 3. 10 4. 0 5. 39 19. 0 12. 50 12. 0 10. 84 12. 0 9. 13 12. 0 8. 15 8. 0 5. 56 7. 0 4. 82 7. 0 7. 26 7. 0 6. 42 8. 0 7. 91 5. 0 5. 68 5. 0 4. 74 5. 0 5. 73 8. 0 6. 89 62

Anscombe's quartet 63

Anscombe's quartet Property Value Accuracy Mean of x 9 exact Sample variance of x 11 exact Mean of y 7. 50 to 2 decimal places Sample variance of y 4. 125 ± 0. 003 Correlation between x and y 0. 816 to 3 decimal places y = 3. 00 + 0. 500 x to 2 and 3 decimal places, respectively 0. 67 to 2 decimal places Linear regression line Coefficient of determination of the linear regression 64