CHNG 0 HM S GII HN LIN TC

CHƯƠNG 0 HÀM SỐ, GIỚI HẠN, LIÊN TỤC Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa hàm một biến • Cho D, E là tập con của tập số thực R. Hàm số f là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x trong tập D với duy nhất một phần tử f(x) trong tập E. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa hàm một biến • • D: miền xác định (domain) E: miền giá trị (range) x: biến độc lập (independent variable) f(x): biến phụ thuộc (dependent variable) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị hàm số • Cho hàm số: • Đồ thị của hàm f là tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa y=f(x) với x D. • Ký hiệu đồ thị hàm f là G(f). Ta có: • Biểu diễn tập G(f) lên mặt phẳng Oxy ta được một đường (cong hoặc thẳng), đường này gọi là đồ thị của hàm số f. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị hàm số • Đồ thị hàm số y=2 x+x 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị hàm số Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tiêu chuẩn đường thẳng đứng • Đường cong trong mặt phẳng Oxy là đồ thị của hàm f khi và chỉ khi không có đường thẳng đứng nào cắt đường cong nhiều hơn một điểm. • Chú ý: đường thẳng đứng trong Oxy có dạng: x=a Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ Đây là đồ thị của hàm một biến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ Đây không phải là đồ thị của hàm một biến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm xác định từng khúc • Được định nghĩa khác nhau trên mỗi tập con khác nhau của miền xác định. Ví dụ 1: Hàm giá trị tuyệt đối Ví dụ 2: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm xác định từng khúc Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm xác định từng khúc Đồ thị f(x) có màu đỏ. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tính đối xứng • Hàm số chẵn: f là hàm chẵn trên miền D nếu: • Hàm số lẻ: f là hàm lẻ trên miền D nếu: • Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy là trục đối xứng. • Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Hàm số sau đây là chẵn, lẻ hay không chẵn không lẻ? • Giải: • Vậy hàm f(x) là hàm lẻ. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ b) Ta có: Vậy g là hàm chẵn. c) Vậy hàm h không chẵn, không lẻ. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ d) Tập xác định: Vì: Nên hàm số đã cho có tập xác định không đối xứng. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số tăng, giảm • Hàm số f tăng trên khoảng I nếu: • Hàm số f giảm trên khoảng I nếu: • Đồ thị hàm số tăng đi lên từ trái sang phải. • Đồ thị hàm số giảm đi xuống từ trái sang phải. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ Hàm số đã cho tăng trên đoạn [a; b] và giảm trên đoạn [c; d] Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số ngược • Định nghĩa hàm 1 -1: Hàm số f gọi là hàm 1 -1 nếu nó không nhận cùng một giá trị nào đó 2 lần trở lên. Nghĩa là: • Tiêu chuẩn đường nằm ngang: Hàm f là hàm 11 khi và chỉ khi không có đường thẳng nằm ngang nào cắt đồ thị của nó tại nhiều hơn một điểm. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Hàm f là hàm 1 -1; hàm g không là hàm 1 -1. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Hàm số sau có là hàm 1 -1? • Ta có: • Theo định nghĩa f là hàm 1 -1. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Đồ thị hàm số f(x)=x 3 • Ta thấy mọi đường nằm ngang chỉ cắt đồ thị tại một điểm duy nhất. Không có đường nào cắt nhiều hơn một điểm. Vậy f là hàm 1 -1. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Hàm số: g(x)=x 2 có phải hàm 1 -1? • Đáp số: Vì 1 -1 nhưng g(1)=1=g(-1) nên hàm đã cho không là hàm 1 -1. Tuy nhiên xét riêng trên miền [0, + ) thì hàm g là hàm 1 -1. Vì: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Xét trên toàn trục số g không là 1 -1. • Xét trên miền [0; + ) hàm g là 1 -1. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số ngược Định nghĩa: • Cho f là hàm 1 -1, có miền xác định A và miền giá trị B. • Hàm ngược của hàm f kí hiệu là f -1, có miền xác định B, miền giá trị A. • Được xác định theo hệ thức sau: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Hàm số ngược của hàm f. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Chú ý • Miền xác định của f -1 = miền giá trị của f. • Miền giá trị của f -1 = miền xác định của f. • Ta thường ký hiệu y là biến phụ thuộc và x là biến độc lập nên hàm số ngược thường viết dạng: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Hàm ngược của hàm: • Là: • Vì: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Cách tìm hàm ngược 1. Viết: 2. Giải phương trình trên tìm x theo y (nếu được). 3. Hoán đổi x và y. Ta có kết quả: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tìm hàm ngược của hàm: • Giải: • Hoán đổi: • Vậy hàm ngược: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tìm hàm ngược của: • Chú ý: trên miền đã cho g là hàm 1 -1 nên có hàm ngược. • Ta có: • Hoán đổi: Bài giảng Toán cao cấp 1 Vậy hàm ngược: Nguyễn Văn Tiến

Chú ý • Từ định nghĩa ta có: • Đồ thị hàm ngược f-1 đối xứng với hàm f qua đường thẳng y=x (phân giác góc phần tư thứ nhất) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị hàm ngược f-1 đối xứng với hàm f qua đường thẳng y=x (phân giác góc phần tư thứ nhất) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Các phép toán hàm số • Cho hai hàm số f, g có miền xác định là A, B. Khi đó: • Tổng và hiệu của f và g: • Tích của f và g: • Thương của f và g: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số hợp • Cho hai hàm: • Thỏa: • Khi đó tồn tại hàm hợp: • Ta có: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Cho • Ta có: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Cho hai hàm số: • Xác định và chỉ ra miền xác định của các hàm sau: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giải • Ta có: • Vậy: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giải • Vậy: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giải Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giải Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Cho hàm số: • Tìm các hàm f, g, h sao cho: • Đặt: • Khi đó: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

CÁC LOẠI HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm tuyến tính • Ta nói y là hàm tuyến tính của x nếu: • Đồ thị hàm y là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ b, hệ số góc là a. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đa thức • Hàm P gọi là một đa thức nếu: • a 0, a 1, …, an: hệ số của đa thức • n: bậc của đa thức (an 0) • Miền xác định: D=R Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm hữu tỷ • Dạng: • Trong đó P, Q là các đa thức. • Miền xác định: là tập các giá trị x thỏa Q(x) 0. • Ví dụ: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm đại số • Sử dụng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, lấy căn các hàm đa thức ta được hàm đại số. • Ví dụ: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm lũy thừa • Dạng: • >0 : hàm số tăng. • <0 : hàm số giảm • Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1, 1) và đi qua gốc (0, 0) và không qua gốc nếu <0. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm lũy thừa • Miền xác định: tùy thuộc vào số mũ Giá trị của Bài giảng Toán cao cấp 1 Miền xác định Nguyễn Văn Tiến

Hàm số mũ • Dạng: • • • Miền xác định: D=R. Miền giá trị: (0; + ). Nếu a>1: hàm số tăng. Nếu 0<a<1: hàm số giảm. Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (0, 1), nằm phía trên và tiệm cận với trục hoành. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị hàm số 2 x và (1/3)x Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số mũ • Tính chất: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm logarit cơ số a • Dạng: • Miền xác định D= (0; + ), miền giá trị: R • Là hàm số ngược của hàm số mũ y=ax. • Logarit với cơ số e (e≈2. 71828) gọi là logarit cơ số tự nhiên. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Logarit là hàm ngược của hàm mũ Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị log 2 x và log 1/3 x Hàm số tăng nếu a>1 và giảm nếu 0<a<1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm logarit • Tính chất: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm logarit • Tính giá trị sau: • Giải: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm lượng giác • 1. Hàm sin, cos: • Tập xác định R, • Tập giá trị là [-1, 1] • Tuần hoàn với chu kỳ 2π. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm lượng giác • Đồ thị hàm sin x và cosx trên [-2 ; 2 ] Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm lượng giác • 2. Hàm tan: • • Điều kiện xác định: Tập giá trị là R. Tăng trên các khoảng: Tuần hoàn với chu kỳ π. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị hàm tan(x) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

4. Hàm lượng giác • 3. Hàm cot: • • Điều kiện xác định: Tập giá trị là R. Tăng trên các khoảng: Tuần hoàn với chu kỳ π. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Quan hệ hàm lượng giác • Ta hay dùng công thức sau: • Sinh viên tự ôn lại các kiến thức lượng giác. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm arcsinx • Đồ thị hàm sinx trên [- ; ] • Đồ thị y=sinx trên [- /2; /2] Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm lượng giác ngược 1. Hàm arcsin: (đọc là ác – sin) hay sin-1 Là hàm ngược của hàm y=sin(x) Tập xác định: [-1, 1]. Tập giá trị: Là hàm lẻ, tăng. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm arcsinx • Đồ thị hàm arcsin x: Tập xác định: [-1, 1]. Tập giá trị: [- /2; /2] Là hàm lẻ, tăng. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị hàm sin(x) và arcsin(x) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tính: • Giải: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tính: • Đặt: • Vậy: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tìm • Giải: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Ta có: • Tính trực tiếp: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm lượng giác ngược 2. Hàm arccos: (đọc là ác – cô sin) hay cos-1 Là hàm ngược của hàm y=cos(x) Tập xác định: [-1, 1]. Tập giá trị: [0; ] Là hàm giảm. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm arccos x y=cosx trên miền [0; 2 ] Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm arccos(x) và cos(x) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm lượng giác ngược 3. Hàm arctan: (đọc là ác – tang) Là hàm ngược của hàm y=tan(x) Là hàm lẻ, tăng. Tập xác định: R. Tập giá trị: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Đơn giản biểu thức: • Ta có: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm lượng giác ngược 4. Hàm arccot: (đọc là ác – cô tang) Là hàm ngược của hàm y=cot(x) Tập xác định: R. Là hàm giảm. Bài giảng Toán cao cấp 1 Tập giá trị: Nguyễn Văn Tiến

Hàm siêu việt • Các hàm không phải hàm đại số gọi là hàm siêu việt. • Các hàm siêu việt đã biết: hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược, hàm mũ, hàm logarit. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Một số hàm trong phân tích Kinh tế • • • Hàm sản xuất: Q=Q(L) Hàm doanh thu: R=R(Q) Hàm chi phí: C=C(Q) Hàm lợi nhuận: π= π(Q)=R(Q)-C(Q) Hàm cung: Qs=S(p), tăng theo p Hàm cầu: Qd=D(p), giảm theo p • Ghi chú: L là lao động; Q là sản lượng; p là giá Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ • • Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Tính chất Công thức giới hạn cơ bản Vô cùng lớn Vô cùng bé Ngắt bỏ vô cùng bé tương đương Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Dãy số • Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tự nhiên khác 0. • Ta thường ký hiệu dãy số là (un). • un gọi là số hạng thứ n của dãy. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Dãy số • Cho dãy số: • Ta có: • Hỏi: • Khi n rất lớn thì giá trị của dãy số là bao nhiêu? Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Dãy số • 10 giá trị đầu của dãy: Bài giảng Toán cao cấp 1 • Các giá trị tiếp theo: Nguyễn Văn Tiến

Dãy số • Nhận xét: • Giá trị của dãy càng ngày càng gần với số 0. 5. • Khi n càng lớn thì chênh lệch giữa dãy số và 0. 5 càng nhỏ (tại số hạng thứ 1 tỷ chênh lệch là 10 -9). • Độ chênh lệch này có thể nhỏ hơn nữa nếu tăng n lên và có thể nhỏ tùy ý miễn là n đủ lớn. • Vậy ta nói giới hạn của dãy số là 0. 5. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa giới hạn dãy số • Dãy số (un) có giới hạn là a nếu: • Chênh lệch (un) và a có thể nhỏ tùy ý khi n đủ lớn. nhỏ tùy ý n đủ lớn Chênh lệch • Ký hiệu: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Chứng minh: • Bước 1. Lấy >0 • Bước 2. Lập hiệu: • Bước 3. Tìm điều kiện của n để: (nếu có) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Bước 4. Chọn n 0, viết lại dưới dạng định nghĩa và kết luận. • Giải. • Với mọi >0. Ta có: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Chọn • Ta có: Vậy theo định nghĩa: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Chứng minh giới hạn sau bằng định nghĩa: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hệ quả • Số a không là giới hạn của dãy (un) nếu: • Tồn tại >0 sao cho với mọi n 0 đều tồn tại n 1>n 0 để chênh lệch giữa un 1 và a lớn hơn . • Nói cách khác luôn tồn tại một khoảng cách giữa dãy (un) và a. Độ chênh lệch giữa (un) và a không thể nhỏ tùy ý. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn vô cực của dãy số. • Ta nói dãy (un) tiến đến + khi và chỉ khi: • (un) có thể lớn hơn một số dương tùy ý khi n đủ lớn. • Ký hiệu: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn vô cực của dãy số. • Ta nói dãy (un) tiến đến - khi và chỉ khi: • (un) có thể nhỏ hơn một số âm tùy ý khi n đủ lớn. • Ký hiệu: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tính chất • 1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất. • 2. Cho tồn tại hữu hạn. Khi đó: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tính chất • Định lý giới hạn kẹp: Cho ba dãy số thỏa: • Nếu: thì Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Minh họa Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tìm giới hạn dãy số: • Ta có: • Vậy: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Công thức giới hạn Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Các dạng vô định • Có 7 dạng vô định: • Quy tắc cần nhớ: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tìm giới hạn dãy số • Biến đổi đại số (nhân liên hợp, các hằng đẳng thức …) • Chia tử và mẫu cho biểu thức khác 0 (thường chia cho n hay an…) • Dùng công thức giới hạn dãy số e. • Dùng định lý kẹp Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tìm các giới hạn sau: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tìm các giới hạn sau: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tìm các giới hạn sau: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tìm các giới hạn sau: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn hàm số • Để có cái nhìn trực quan về giới hạn hàm số ta xét ví dụ sau. • Cho hàm số: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn hàm số • Bảng giá trị của hàm số khi x gần 2 (nhưng không bằng 2) • Ta có: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn hàm số • Từ bảng giá trị và đồ thị ta thấy. Khi x dần về 2 (cả 2 phía) thì giá trị của f(x) dần về 4. Có nghĩa là giá trị f(x) có thể gần 4 một cách tùy ý nếu ta chọn x đủ gần 2. • Ta nói: Giới hạn của hàm số f(x)=x 2 -x+4 khi x dần đến 2 bằng 4. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa • Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a bằng L nếu giá trị của f(x) có thể gần L một cách tùy ý khi lấy giá trị của x đủ gần a nhưng x không bằng a. • Ký hiệu: • Dạng toán học: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • CMR: • B 1. Lấy >0 tùy ý. • B 2. Lập hiệu: • B 3. Khi x gần 2. Từ bất phương trình trên giải: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • B 3. Vì x gần 2 nên ta có thể giả sử: • Ta có: • Vậy: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • B 4. Viết lại theo định nghĩa: • Kết luận: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa • Ta chỉ quan tâm đến giá trị hàm số f(x) khi x gần a nhưng x a. Do đó ta không quan tâm việc hàm số có xác định tại a hay không. • Chẳng hạn hàm f(x)=sinx/x không xác định tại 0. Nhưng ta có: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn bên trái • Định nghĩa: Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a từ bên trái bằng L nếu giá trị của hàm số f(x) có thể gần L một cách tùy ý khi giá trị của x đủ gần a và x nhỏ hơn a. • Ký hiệu: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn bên trái Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn bên phải • Định nghĩa: Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a từ bên phải bằng L nếu giá trị của hàm số f(x) có thể gần L một cách tùy ý khi giá trị của x đủ gần a và x lớn hơn a. • Ký hiệu: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn bên trái Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định lý • Hàm số f có giới hạn L khi x tiến tới a khi và chỉ khi: • f có giới hạn trái và giới hạn phải tại a. • Hai giới hạn đó bằng nhau • Bằng L Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Luật tính giới hạn • Cho các giới hạn sau tồn tại hữu hạn: • Ta có: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Luật tính giới hạn (tt) Với điều kiện các biểu thức có nghĩa Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tính chất • Nếu f là một đa thức hay một hàm hữu tỷ và a nằm trong tập xác định của f thì: • Nếu và tồn tại giới hạn: thì: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tính: • Giải: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tính: • Ta có: • Mà: • Vậy: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn vô cực • Xét: • Khi x gần 0, f(x) có thể lớn một cách tùy ý chứ f(x) không dần đến một số nào đó. • Ta nói: giới hạn hàm số tại x=0 không tồn tại và viết: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn vô cực • Cho hàm f xác định về 2 phía điểm a, trừ điểm a. • Nếu giá trị f(x) có thể lớn tùy ý khi x đủ gần a, x a. Ta nói: • Nếu giá trị f(x) có thể nhỏ tùy ý khi x đủ gần a, x a. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn vô cực Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định lý kẹp • Nếu điểm a) và: khi x gần a (có thể trừ • Thì: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Công thức giới hạn Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Công thức giới hạn Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Nhận dạng và tính giới hạn sau Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Nhận dạng và tính giới hạn: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Nhận dạng và tính giới hạn: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vô cùng bé • Định nghĩa: hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x a nếu: • Ví dụ: sinx là VCB khi x 0 vì: 1/x là VCB khi x vì: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tính chất 1. Tổng hữu hạn các VCB là một VCB. 2. Tích hai VCB là một VCB. 3. Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB. 4. Thương của hai VCB có thể không là một VCB. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa • Cho f(x); g(x) là hai VCB khi x a. Giả sử: 1. Nếu k=0 thì f(x) là VCB bậc cao hơn g(x). Ký hiệu: f(x)=0(g(x)) 2. Nếu k hữu hạn, khác 0 ta nói f(x) và g(x) là hai VCB cùng cấp 3. Nếu k=1 thì f(x) và g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu: f(x) ~ g(x) 4. Nếu k= ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x). Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Các VCB tương đương khi x 0 • Đây là các VCB khi x 0. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao • Các VCB bậc cao bị ngắt bỏ. • Giới hạn có dạng 0/0 • Các dạng khác ta biến đổi để xuất hiện dạng 0/0. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tính: • Ta có: • Vậy: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tính: • Ta có: • Vậy: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tính: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vô cùng lớn • Định nghĩa: hàm số f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x a nếu: • Ví dụ: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa • Cho f(x); g(x) là hai VCL khi x a. Giả sử: 1. Nếu k= thì f(x) là VCL bậc cao hơn g(x). 2. Nếu k hữu hạn, khác 0 ta nói f(x) và g(x) là hai VCL cùng cấp 3. Nếu k=1 thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. Ký hiệu: f(x) ~ g(x) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp • Các VCL bậc thấp bị ngắt bỏ. • Giới hạn có dạng /. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Tính: • Ta có: • Vậy: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Liên hệ VCB và VCL • Định lý: Xét quá trình x a: • Nếu f(x) là VCB thì: là VCL. • Nếu f(x) là VCL thì: là VCB. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Chú ý khi thay thế hàm tương đương • Cho f(x)~f 1(x) và g(x)~g 1(x) • Khi đó: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Thay thế sai Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Liên tục • • • Liên tục tại một điểm Liên tục trái Liên tục phải Điểm gián đoạn Liên tục trên khoảng Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số liên tục tại một điểm • Định nghĩa 1. Hàm y=f(x) được gọi là liên tục tại x 0 nếu xác định tại điểm này và: • Định nghĩa 2. Hàm số f(x) liên tục tại x 0 khi và chỉ khi: Nếu hàm không liên tục tại x 0 ta nói hàm gián đoạn tại điểm này. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Liên tục trái – Liên tục phải • Hàm số f(x) liên tục trái tại x 0: • Hàm số f(x) liên tục phải tại x 0: • Định lý: f(x) liên tục tại x 0 khi và chỉ khi f(x) liên tục trái và phải tại x 0. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Điểm gián đoạn • Cho x 0 là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số 1. Điểm gián đoạn loại 1: • Tồn tại hữu hạn: 2. Điểm gián đoạn loại 2: nếu không là điểm gián đoạn loại 1 - Một trong hai giới hạn không tồn tại. - Hoặc tồn tại nhưng bằng . Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Liên tục trên khoảng • f liên tục trên (a; b) nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc(a; b). • f liên tục trên [a; b) nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc(a; b) và liên tục phải tại a. • f liên tục trên (a; b] nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc(a; b) và liên tục trái tại b. • f liên tục trên [a; b] nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc(a; b); liên tục phải tại a và liên tục trái tại b. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tính chất hàm số liên tục • Cho f(x) và g(x) là 2 hàm liên tục tại x 0. Khi đó: • Cho f(x), g(x) là hai hàm liên tục trên [a, b]. Khi đó: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm sơ cấp • Hàm sơ cấp cơ bản: • Hàm sơ cấp: là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, khai căn và phép hợp Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Sự liên tục của hàm sơ cấp Định lý. Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó. Ví dụ: Tìm các khoảng liên tục của hàm số: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 1 • Tìm các giới hạn sau đây Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 2 • Tìm các giới hạn sau: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 3_Giới hạn một phía Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 4 • Sử dụng VCB tương đương tìm giới hạn Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 5 • Xét tính liên tục của hàm số sau tại x=0 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 6 • Xét tính liên tục của hàm số sau trên TXĐ Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến