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Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Chapitre II : Notion d'hydrodynamique des eaux souterraines 1ère année (2007 -2008) Strasbourg – Février 2008 Adrien Wanko & Sylvain Payraudeau Chap 2 - 1

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Objectifs de ce cours Utilisation sur le terrain de la loi de Darcy et des solutions de la loi de diffusivité en première approximation : • prédire la distribution de la charge hydraulique sur toute une nappe à partir de points isolés (conditions stationnaires et transitoires) ; • prédire les directions de propagation de l’eau (direction d’écoulement) principales • analyser des données concernant le pompage dans un aquifère et estimer les réserves et la conductivité hydraulique d’un aquifère. Compétences d’un hydrogéologue. Chap 2 - 2

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Plan du chapitre Chapitre II : Notion d'hydrodynamique des eaux souterraines A - Relations échelle - lois et équations B - Loi de Darcy C - Équation de diffusivité générale D - Solutions en régime permanent E - Solutions transitoires (essais de pompage) F - Cartographie de l'aquifère Chap 2 - 3

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto A - Notion d'échelle en hydrogéologie KT KL P. Ackerer Chap 2 - 4

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto A - Notion d'échelle en hydrogéologie 10 -7 Échelle moléculaire Échelle des pores Q -5 Echelle (m) 10 1 -3 10 Échelle du VER KT KL -1 10 Échelle des structures 1 10 3 10 Échelle des modèles Échelle des réservoirs P. Ackerer Chap 2 - 5

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto A - Notion d'échelle en hydrogéologie 10 -7 Échelle moléculaire Physique moléculaire Échelle des pores Navier Stokes viscosité, diffusion moléculaire Échelle du VER Loi de Darcy, Loi de Fick Porosité, conductivité hydraulique -5 Echelle (m) 10 -3 10 -1 10 Échelle des structures 1 10 3 10 Échelle des modèles Loi de Darcy (? ), Loi de Fick (? ) Paramètres équivalents à l’échelle des mailles Échelle des réservoirs P. Ackerer Chap 2 - 6

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto A - Notion d'échelle en hydrogéologie Loi de Navier-Stockes : - applicable à l'échelle microscopique - connaissance parfaite de la géométrie des pores Loi macroscopique : loi empirique (ou expérimentale) de Darcy Chap 2 - 7

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Plan B - Loi de Darcy 1 - Expérience de Darcy (1856) 2 - Équations 3 - Généralisation de la loi en 3 D 4 - Limites de la loi 5 - Détermination de la conductivité hydraulique 6 - Application de la loi de Darcy sur le terrain Chap 2 - 8

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Soit le flux d’eau Q (m 3/s) mesuré à travers le filtre à sable ci-contre, h. A 1 - Q est proportionnel à la surface A du filtre, 2 - Q est proportionnel à (h. A-h. C), 3 - Q est inversement proportionnel à la longueur L du filtre, 4 - La constante de proportionnalité (K) dépend du matériau poreux. h. B= h. A h h. C Q = ? Chap 2 - 9

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto (h -h ) Q = K. A. A C L Q : débit sortant (m 3 s-1) K : conductivité hydraulique (ms-1) A : section (m²) h = (h. A-h. C) : perte de charge de l’eau entre le sommet et la base du massif sableux (m) L : longueur du massif sableux (m) (h. A-h. C) h i = = L L h. A h. B= h. A h h. C i : gradient hydraulique (adim) Chap 2 - 10

Échelle Q = K. A. Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto h L soit h i = L Q = K. A. i : gradient hydraulique (adim) En divisant les deux membres par A, on fait apparaître … Q VD = = K. i A q = Q = VD A Vitesse du fluide à la sortie du massif sableux (ms-1) Débit unitaire (m 3 s-1 m-2 = m/s) Chap 2 - 11

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Expérience de Darcy (1856) En régime permanent hamont haval Niveau de référence Montage de Darcy Débit de l'eau traversant une colonne (L : 3. 5 m et ø : 0. 35 m) Chap 2 - 12

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Expérience de Darcy (1856) Autre configuration h = P/g + z ou h = P/ g + z P : pression à la colonne d’eau [ML-1 T-2] Pascal (N. m-2) g : [ML-2 T-2] en N. m-3 r : masse volumique de l’eau [ML-3] g : constante de pesanteur [LT-2] Chap 2 - 13

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Équations Q = K. S. h L Eq 2. 1 Q : débit sortant [L 3 T-1] K : conductivité hydraulique [LT-1] S : section [L²] h : différence de charge amont et aval du massif sableux [L] L : longueur [L] Introduction de i : Q = K. i. S Eq 2. 2 i : ( h / L) gradient hydraulique [adim. ] (perte d'énergie résultant du frottement contre le matériau) Débit unitaire q : Q = K. i = VD q = S Eq 2. 3 q : débit unitaire [L 3 T-1 L-2] ou [LT-1] vitesse de filtration ou vitesse apparente de Darcy (VD) VD : vitesse fictive d'un flux d'eau en écoulement uniforme à travers un milieu aquifère saturé (égal au débit unitaire) Chap 2 - 14

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Équations : vitesse de filtration (VD) Q [L 3 T-1] Vmoy L Q [LT-1] VD = S Vitesse fictive ! S [L 2] Q [L 3 T-1] Spore < Stotale d'où Spore [L 2] L Stotale [L 2] Vitesse réelle moyenne > VD VD Vmoy = ne Eq 2. 4 ne : porosité efficace [adim. ] Chap 2 - 15

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Équations : vitesse de filtration (VD) Vitesse de filtration (VD) : permet d'évaluation du débit traversant un milieu poreux Vitesse moyenne (Vmoy) : permet de calculer le temps moyen (tmoy) pour parcourir L L tmoy = Vmoy Eq 2. 5 Chap 2 - 16

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Équations : Relation entre K et k (perméabilité intrinsèque) La conductivité hydraulique K est fonction 1 - de la géométrie des pores (k) 2 - de la densité et de la viscosité du fluide Rappel (cours 1) : k : perméabilité intrinsèque du matériau [L 3 L-1] volume par unité de charge hydraulique K et k liés par la relation suivante ki. . g K = Eq 2. 6 K : conductivité hydraulique [LT-1] ki : perméabilité intrinsèque [L 3 L-1] : masse volumique [ML-3] g : constante de pesanteur [LT-²] : viscosité [ML-1 T-1] Chap 2 - 17

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 3 : Généralisation de la loi en 3 dimensions hamont Expérience de Darcy : Ecoulement mono directionnel La charge décroît dans le sens des écoulements i = (hamont-haval)/L q grad h haval grad h = (haval-hamont)/L D'où i = - grad h q = VD = - K. grad h avec Eq. 2. 4 Ki. . g q = VD = - . grad h Eq 2. 8 Eq 2. 7 q : débit unitaire [L 3 T-1 L-2] vitesse de filtration (VD) K : conductivité hydraulique [LT-1] grad h : [adim. ] Chap 2 - 18

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 3 : Généralisation de la loi en 3 dimensions z q x y h x qx q = qy qz et grad h = h y h z Chap 2 - 19

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 3 : Généralisation de la loi en 3 D : Tenseur de perméabilité Forte anisotropie de la perméabilité (k) de certains matériaux (couches sédimentaires, argiles) hamont i Marnes calcaires feuilletées de l'Aalénien (Fressac – Robbez-Masson) haval h q Perméabilité >> Si k anisotrope alors K également (Eq 1. 3; 2. 6) Chap 2 - 20

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 3 : Généralisation de la loi en 3 D : Tenseur de perméabilité Mathématique : = Perméabilité = propriété tensorielle = k = Conductivité hydraulique = propriété tensorielle = K = Où K : tenseur du 2 ième ordre et symétrique / diagonale z Kxx Kxy Kxz Kxy = Kyx Kyy Kyz avec Kzx Kzy Kzz y x Kxz = Kzx Kyz = Kzy Chap 2 - 21

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 3 : Généralisation de la loi en 3 D : Tenseur de perméabilité q = VD = - K. grad h Eq 2. 7 q : débit unitaire [L 3 T-1 L-2] vitesse de filtration (VD) K : conductivité hydraulique [LT-1] grad h : [adim. ] = Calcul de q (ou VD) avec K : h h h qx = - Kxx. - Kxy. - Kxz. y z x h h h qy = - Kyx. - Kyy. - Kyz. y z x h h h qz = - Kzx. - Kzy. - Kzz. y z x Eq 2. 9 q : débit unitaire [L 3 T-1 L-2] vitesse de filtration (ou VD) Kyy : conductivité hydraulique dans le plan yy [LT-1] h/ x : Variation du gradient hydraulique en x [adim. ] Chap 2 - 22

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 3 : Généralisation de la loi en 3 D : Tenseur de perméabilité z Kxx Kxy Kxz = Kyx Kyy Kyz avec Kzx Kzy Kzz y z x x Kxx 0 0 = K = 0 Kyy 0 0 0 Kzz y (x, y et z) : Directions principales d'anisotropie du matériau (physique) Directions des vecteurs propres de la matrice K (mathématique) Chap 2 - 23

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 3 : Généralisation de la loi en 3 D : Tenseur de perméabilité h h h qx = - Kxx. - Kxy. - Kxz. y z x h qx = - Kxx. x h h h qy = - Kyx. - Kyy. - Kyz. y z x h qy = - Kyy. y h h h qz = - Kzx. - Kzy. - Kzz. y z x Eq 2. 9 Eq 2. 10 h qz = - Kzz. z q : débit unitaire [L 3 T-1 L-2] vitesse de filtration (ou VD) K : conductivité hydraulique [LT-1] En pratique : milieux sédimentaires avec stratification horizontale Conductivité hydraulique horizontale : Kxx = Kyy Conductivité hydraulique verticale : Kzz Rapport d'anisotropie : Kxx / Kzz [entre 1 et 100] Chap 2 - 24

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 4 - Limites de la loi de Darcy Loi établie à partir d'expériences de laboratoire : conditions strictes 1 - Continuité du milieu 2 - Isotropie 3 - Homogénéité du réservoir 4 - Écoulement laminaire 5 - Écoulement permanent En pratique : situations où la loi est inapplicable limitées à : Karst Voisinage des ouvrages de captages car : vitesse d'écoulement élevée Chap 2 - 25

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 4 - Limites de la loi de Darcy VD varie linéairement en fonction de i (Eq 2. 3) 1 – Faibles valeurs du gradient hydraulique (i) Ex : petits pores (argiles compactes) VD (ou q) [LT-1] loi de Darcy f(K) loi réelle f(K) io i 1 i 2 Darcy si i > i 2 i 0, i 1, i 2 variables (type et structure de l'argile) i 1 peut atteindre valeurs de plusieurs dizaines [adim. ] i [adim. ] Chap 2 - 26

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 4 - Limites de la loi de Darcy 2 – Fortes valeurs du gradient hydraulique (i) Darcy si i < ilim Eq 2. 3 VD (ou q) [LT-1] Si i > ilim loi de Darcy f(K) i = a. VD + b. VD² Eq 2. 11 Formule empirique de Sichardt : Domaine de validité ilim de la loi de Darcy i [adim. ] 1 ilim = 15. K Eq 2. 12 i [adim. ] K exprimé en m/s Dissipation d'énergie cinétique importante ! Chap 2 - 27

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 4 - Limites de la loi de Darcy 2 – Fortes valeurs du gradient hydraulique (i) suite… Le gradient-limite (ilim) dépend du milieu considéré Définition d'un "nombre de Reynolds en milieu poreux" limite Rappel : conduite cylindrique Re = Vc. d. = Milieu poreux Re = VD. d. Eq 2. 14 Eq 2. 13 Re : nombre de Reynolds [adim. ] Vc : vitesse critique [LT-1] d : diamètre du tube [L] : masse volumique [ML-3] : viscosité cinématique [L 2 T-1] : viscosité dynamique [ML-1 T-1] Re : nombre de Reynolds [adim. ] VD : vitesse de filtration [LT-1] d : diamètre moyen des grains ou diamètre efficace d 10 [L] : viscosité dynamique [ML-1 T-1] Chap 2 - 28

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 4 - Limites de la loi de Darcy Re Limite inférieure = échelle moléculaire Ecoulement laminaire loi de Darcy 10 Ecoulement transitoire (pertes de charge dues à l'inertie du fluide plus négligeable) loi de Darcy 100 Ecoulement turbulent (perte de charge encore plus importante) loi de Darcy Chap 2 - 29

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 5 - Détermination de la conductivité hydraulique Détermination de K Formule de Hazen : K f(granulométrie : D 10) Pourcentage d'éléments qui traverse le tamis Cf. cours n° 1 100% d 10 : paramètre caractéristique d'un matériau 50% 10% K = C. d² 10 d 10 Eq 2. 15 1 10 100 Log du diamètre du tamis (mm) K : conductivité hydraulique [LT-1] (m/s) C : constante (m. mm-2. s-1) d 10 : diamètre pour lequel 10% des grains sont plus petits [L] (mm) C = 0, 0116 [0, 0081 : 0, 0117] (Hazen) C = [0, 0041 : 0, 0150] (autres auteurs) Chap 2 - 30

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 5 - Détermination de la conductivité hydraulique Détermination de K Formule de Schlichter : K f(granulométrie et porosité) d² 10 K = 0, 0071. c Eq 2. 16 K : conductivité hydraulique [LT-1] (m/s) c : constante fonction de la porosité d 10 : diamètre pour lequel 10% des grains sont plus petits [L] (mm) c = f(porosité) Porosité [adim. ] C 0, 25 ~100 0, 30 53 0, 35 32 0, 40 20 Chap 2 - 31

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 5 - Détermination de la conductivité hydraulique Détermination de K Formule de Kozeny-Carman : K f(granulométrie et porosité) K = 7, 7. 106. c. d² 10. ne 3 (1 -ne)² Eq 2. 17 K : conductivité hydraulique [LT-1] (m/s) c : constante (entre 0, 1 et 0, 8) d 10 : diamètre pour lequel 10% des grains sont plus petits [L] (mm) ne : porosité efficace [adim. ] Chap 2 - 32

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 5 - Détermination de la conductivité hydraulique Détermination de K Perméamètre : Q = K. S. h L Eq 2. 1 Q Q' Q h h' Q( h) m h L m = K. S / L S Q' Q Chap 2 - 33

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 5 - Détermination de la conductivité hydraulique 1ère étape : détermination de K Pompage ou injection (régime permanent) : Méthode de type Lefranc Pompage ou Injection Scheebeli (1978) a Q K = . D h Eq 2. 18 h : différence de charge par rapport à l'état initial [L] D : diamètre de la poche [L] L : longueur de la poche [L] Q : débit imposé [L 3 T-1] a : coefficient de forme [adim. ] a f(D, L) Packers (joints en caoutchouc gonflables) Poche sphérique : Eq 2. 19 1 a = 2 p. L 1 + D 4 Poche ellipsoïde : ( ( ) ) ² L L Ln + 1 D D a = 2 p. L D Eq 2. 20 Chap 2 - 34

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 6 - Application de la loi de Darcy sur le terrain : in situ Détermination de i (gradient hydraulique) : 2 puits d'observation z 1 z 2 h h 1 L h 2 Niveau de base géographique h 1 – h 2 112. 9 – 111. 1 i = = 0. 0015 [adim. ] 1200 L D'après Castany Chap 2 - 35

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 6 - Application de la loi de Darcy sur le terrain : carte Détermination du gradient hydraulique (i) : carte piézométrique 10 h 1 5 104 103 L 102 101 h 2 D'après Castany 105 – 101 h 1 – h 2 i = = 0. 0012 [adim. ] 3250 L Chap 2 - 36

Échelle Darcy Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Eq. diffusivité 6 - Application de la loi de Darcy sur le terrain : in situ Calcul du débit d'une nappe : ici avec 2 puits L z 1 z 2 h h 1 e 1 K … h 2 e 2 Niveau de base géographique Q = K. S. i Eq 2. 2 e 1 + e 2 e 1 – e 2 Q = K. . Larg. 2 L Eq 2. 21 D'après Castany Q : débit sortant (m 3 s-1] K : conductivité hydraulique (ms-1) e 1 et e 2 : épaisseurs de la nappe (m) Larg : largeur de la nappe (m) i : gradient hydraulique [adim. ] L : longueur [L] Chap 2 - 37

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Plan C - Équation de diffusivité générale 1 - Loi de diffusivité générale 2 - Conditions aux limites et conditions initiales Chap 2 - 38

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Loi de diffusivité générale Equation de base décrivant l'écoulement tri-dimensionnel dans un milieu poreux saturé en eau Loi de Darcy : écoulement permanent Ecoulement non-permanent : (variation) - grandeur (Q) et direction des flux ( q ) - gradient hydraulique (i) Loi de diffusivité (ou loi de Laplace) : combinaison 1 - loi de conservation de la masse (ou loi de continuité) et 2 - loi de Darcy Introduction de la loi de conservation de la masse Chap 2 - 39

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Loi de diffusivité générale Loi de conservation de la masse : Petit élément de volume (cube) 4 6 z dz 3 Volume élémentaire : dx. dy. dz y 2 15 x dy dx Hypothèse : milieu poreux entièrement saturé en eau Chap 2 - 40

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Loi de diffusivité générale Variation du débit unitaire q (ou VD) (entrée – sortie) : expression en x 4 6 z M y M' 2 15 x dz 3 dy dx Hypothèse : VD en x dépend de la position VDx' = VDx + d. VDx = VDx + . dx x Eq 2. 22 VDx' : vitesse de filtration en M' VDx : vitesse de filtration en M d. VDx = variation de la vitesse entre M et M' Forme différentielle Chap 2 - 41

Échelle Darcy Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Eq. diffusivité 1 - Loi de diffusivité générale Variation de la masse (entrée – sortie) durant dt : expression en x : Avec : masse volumique [ML-3] Flux massique entrant par unité de temps : 4 6 dz 3 VDx. dy. dz [ML-3. LT-1. L. L] = [MT-1] 2 15 Flux massique sortant par unité de temps : ( VDx) ( VDx + . dx). dy. dz x dy dx Différence des masses fluides (entrant – sortant) par intervalle de temps : ( VDx) dt [ VDx]. dy. dz - [ VDx + . dx]. dy. dz = - . dx. dy. dz. dt x x Chap 2 - 42

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Loi de diffusivité générale Variation de la masse (entrée – sortie) : expression en x, y et z ( VDx) - . dx. dy. dz. dt x 6 4 3 2 15 6 ( VDy) - . dx. dy. dz. dt y 4 3 2 15 6 ( VDz) - . dx. dy. dz. dt z 15 4 3 2 Chap 2 - 43

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Loi de diffusivité générale Variation de la masse (entrée – sortie) : expression en x, y et z Différence des masses fluides (Entrant – Sortant) par intervalle de temps : - [ ( VDz) ( VDx) ( VDy) + . dx. dy. dz. dt z x y ] Eq 2. 23 Entrant – Sortant > 0 : emmagasinement Entrant – Sortant < 0 : déstockage Chap 2 - 44

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Loi de diffusivité générale Variation de la masse de l'eau dans l'élément durant dt : Masse d'eau de l'élément à t n. dx. dy. dz [ML-3. L. L. L] = [M] Avec n : porosité de l'élément [adim. ] Masse d'eau de l'élément à t + dt ( n) ( n + . dt). dx. dy. dz t D'où variation de la masse durant dt: ( n) . dt. dx. dy. dz t Eq 2. 24 Chap 2 - 45

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Loi de diffusivité générale Loi de conservation de la masse : expression en x, y et z Eq. 20 et Eq. 19 - ( n) ( VDz) ( VDx) ( VDy) . dt. dx. dy. dz + . dx. dy. dz. dt = t z x y ( VDz) ( VDx) ( VDy) ( n) - = z x y t Eq 2. 25 ( n) - ( VD) = t En développant les dérivés Eq 2. 25 bis Eq 2. 26 VDx n VDz VDy = n. + . - . VDz+ - . VDx+ - . VDy+ t x x z t z y y variable dans le temps (compression) mais peu variable dans l'espace VDx x >> . V x Dx Chap 2 - 46

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Loi de diffusivité générale n ( n) = n. + . t t t Eq 2. 27 1 - Introduction de la pression p (responsable de la variation de et n dans le temps ( n n p ( n) = n. + . = . n. + . t p t t ) Eq 2. 27 2 – Compressibilité de la porosité (variation de n dans le temps) Coefficient de compressibilité spécifique du milieu poreux : bm n bm = p Argiles : Sables : Graviers : bm = 10 -6 à 10 -8 (m²N-1) bm = 10 -7 à 10 -9 (m²N-1) bm = 10 -8 à 10 -10 (m²N-1) 3 – Compressibilité du fluide (variation de dans le temps) Coefficient de compressibilité du fluide : bf bf = Eau (15. 5°C) : bf = 4. 4. 10 -10 (m²N-1) p Chap 2 - 47

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Loi de diffusivité générale p n p ( n). (n. . bf + . bm) = . n. + . = t p p t t 4 – Introduction de la charge h en fonction de la pression p ( p = . g. h ) h z Si substratum = origine des z p h = . g. + g. h. . bf. t t t p h . g. t t h h ( n) = . g. . (n. . bf + . bm) = ². g. (n. bf + bm). t t t 5 – Introduction du coefficient d'emmagasinement spécifique S s [L-1] h ( n) = . Ss. t t Eq 2. 28 avec Ss = . g. (n. bf + bm) Chap 2 - 48

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Loi de diffusivité générale Combinaison des lois de conservation de masse et de Darcy Hypothèse : axes x, y et z orientés vers les directions principales du tenseur de conductivité Eq 2. 10 h VDx = - Kxx. x h VDy = - Kyy. y Eq 2. 27 + 2. 28 - VDy VDx VDz - - y x z = . Ss. h t h VDz = - Kzz. z h h K . Kxx. + = Ss. + zz yy z y t x z y x EQUATION DE DIFFUSIVITE Eq 2. 29 Chap 2 - 49

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Loi de diffusivité générale Introduction de Q terme puits/source par unité de volume [L 3 T-1 L-3] h h Kzz. = Ss. Kyy. + Kxx. + t z y x Eq 2. 29 Terme source ou puits : débit q qui débite la masse de fluide M Masse de l'élément pendant l'intervalle de temps dt dz . q. dx. dy. dz. dt dy dx [ML-3. L 3 T-1 L-3 L. L. L. T] = [M] : masse volumique [ML-3] q : débit / unité de volume [L 3 T-1 L-3] q > 0 si source et < 0 si puits h h K . S . K . Kxx. + + q = s + zz yy t z y x EQUATION DE DIFFUSIVITE avec terme puits/source Eq 2. 30 Chap 2 - 50

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Loi de diffusivité générale Si milieu poreux est ISOTROPE et HOMOGENE sans puits/source Perméabilité (et donc conductivité hydraulique) identique dans toutes les directions et constant dans l'espace Kxx = K h h Kzz. + q = Ss. Kyy. + Kxx. + t z y x ²h ²h ²h = + + y² x² z² Ss h. K t Eq 2. 30 Eq 2. 31 Simplification de l'équation de diffusivité Si en plus régime permanent (pas de variation de h au cours du temps) ²h ²h ²h = 0 + + y² x² z² Eq 2. 32 Simplification de l'équation de diffusivité Chap 2 - 51

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Conditions aux limites et conditions initiales Equation de diffusivité aux dérivées partielles Intégration nécessite de définition des conditions aux limites ? ? Cinit à t ? ? ? Notation : n porosité ? ! ? Clim n : direction normale d'entrée à travers la limite Conditions aux limites : 3 types (mathématique) 1 - Conditions de Dirichlet : charge (h) imposée : h lim = f(t) h 2 - Conditions de Neumann : première dérivée de la charge n h imposée donc flux imposé lim = f(t) n h h 3 - Conditions de Cauchy : h et a. h + b. lim = f(t) n n Chap 2 - 52

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Conditions aux limites et conditions initiales 1 - Conditions de Dirichlet (ou conditions de potentiel : ) Charge (h) imposée : h lim = f(t) On impose des conditions de Dirichlet sur une limite si : "Charge hydraulique (h) à la limite, indépendante des conditions de circulation du fluide dans le milieu poreux" En pratique : contact entre plan d'eau libre (mer, lac, rivière) et nappe Surface du sol Rivière Surface libre de la nappe Cote hr C Drainage de la nappe par la rivière Le long du contact (C) : charge hydraulique (h) constante et imposée par la cote de l'eau dans la rivière h lim = hr Chap 2 - 53

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Conditions aux limites et conditions initiales 2 - Conditions de Neumann (ou conditions de flux) : dérivée première de la charge imposée donc flux imposé Gradient de charge normal à la limite imposé h n lim = f(t) D'où selon loi de Darcy : flux imposé - K. h n 2. 1 Limites à flux imposé nul 2. 2 Limites à flux imposé non nul Chap 2 - 54

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Conditions aux limites et conditions initiales 2 - Conditions de Neumann : 2. 1 Limites à flux imposé nul h - K. = 0 n Surface du sol Surface libre de la nappe Roche imperméable Chap 2 - 55

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Conditions aux limites et conditions initiales 2 - Conditions de Neumann : 2. 2 Limites à flux imposé h - K. = f(t) lim n Ex. 1 : recharge de la nappe par la pluie : taux d'infiltration a Surface du sol a Surface libre de la nappe n h - K. = a n avec a = f(t) (durant une averse…) n : normale à la surface de contact orientée vers le milieu poreux Chap 2 - 56

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Conditions aux limites et conditions initiales 2 - Conditions de Neumann : 2. 2 Limites à flux imposé h - K. = f(t) lim n Ex. 2 : prélèvement à débit imposé (puits, tranchée) Q Puits VD VD n h Q = - K. . d. S n h Q n Milieu poreux Limite = surface S du tube perforé Chap 2 - 57

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Conditions aux limites et conditions initiales h 3 - Conditions de Cauchy (ou conditions a. h + b. lim = f(t) n mixtes de potentiel et de flux): Rivière, cote hr Charge h de la nappe B A n q Milieu poreux (K) e : épaisseur de la couche de vase peu perméable Kv : conductivité hydraulique de la vase h = (hr – h) perte de charge (écoulement à travers la vase) Selon loi de Darcy : hr – h h q = VD = Kv. VD = - K. e n Conservation du flux à la traversée de l'interface AB : Kv Kv h . hr - . h = - K e e n Eq 2. 33 Kv Kv h . h - K. = . h r e e n Eq 2. 34 f(t) Chap 2 - 58

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Conditions aux limites et conditions initiales Conditions initiales x h h K . Kxx. + = Ss. + zz yy z y t x z y Eq 2. 29 EQUATION DE DIFFUSIVITE (ou équation de Laplace) Pour tout problème transitoire : h 0 t Conditions initiales du problème : h (t = 0) sur le domaine Chap 2 - 59

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Plan D - Solutions en régime permanent de l'équation de diffusivité générale (ou loi de Laplace) 1 - Ecoulement selon plans horizontaux 1. 1 - Hypothèse de Dupuit-Forchheimer 1. 2 - Solution pour les nappes captives 1. 3 - Solution pour les nappes libres 1. 4 - Exemple d'application en nappe captive 1. 5 - Exemple d'application en nappe libre 2 - Ecoulement radial 2. 1 Solution pour les nappes captives (écoulement symétrique) 2. 2 Solution pour les nappes captives (écoulement dissymétrique) 2. 3 Solution pour les nappes libres 2. 4 Superposition et images Chap 2 - 60

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 1 - Hypothèse de Dupuit-Forchheimer Surface de suintement Ligne de crête Exutoire Ligne de crête Courbes piézométriques : égales charges Courbes de courant de l'écoulement Courbes piézométriques surface (sauf proximité des exutoires et lignes de crêtes) Si milieu isotrope : courbes de courant orthogonales aux courbes piézométriques Chap 2 - 61

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 1 - Hypothèse de Dupuit-Forchheimer VDz << VDx VDz << Vdy z y VD x Charge piézométrique varie peu sur la verticale h f(z) Eq 2. 35 HYPOTHESE de Dupuis-Forchheimer Problème tridimensionnel Problème bidimensionnel (plan) Limites d'application : proximité des exutoires et lignes de crêtes) Caractéristique en un point (perméabilité k) = moyenne sur la verticale Chap 2 - 62

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 2 - Application aux nappes captives Equation de diffusivité en nappe captive : z h (à t) h (à t + dt) y e e x dy dx Hypothèse de Dupuit : Vitesses horizontales Selon Darcy (Eq 2. 10) : si VDz 0 gradient de charge en z 0 Inconnu du problème : h(x, y) (problème bidimensionnel) Direction d'anisotropie (z, x et y) Chap 2 - 63

Échelle Darcy Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Eq. diffusivité 1. 2 - Application aux nappes captives Simplification de l'équation de diffusivité h h K . S . K . Kxx. + + q = s + zz yy t z y x 1 2 3 4 Txx = K Sub. Toit xxdz Tyy = K Sub. Cf Eq. 1. 4 T : transmissivité de la nappe [L²T-1] (m². s-1) yydz Q = q. dz = q. e Sub. Q : débit prélevé / infiltré par unité de surface de la nappe [L 3 T-1 L-2] (m². s-1) Eq 2. 30 Toit S = S. dz s Sub. Cf Eq. 1. 5 S : Coefficient d’emmagasinement [adim. ] Chap 2 - 64

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 2 - Application aux nappes captives Cas particulier : si Kxx, Kyy et Ss = constante sur e : Toit Txx = K Sub. xxdz Txx = Kxx. e Tyy = K Sub. Toit yydz S = s Sub. Tyy = Kyy. e S = Ss. e h h h K . Kxx. + + q = Ss. yy t y x Tyy h Txx h. . + y e y x e x S. dz Eq 2. 30 Q S h. + = e t e h h h T . Txx. + + Q = S. yy t y x Eq 2. 36 Equation de diffusivité dans le plan horizontal Chap 2 - 65

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 2 - Application aux nappes captives Cas particulier : si transmissivité ISOTROPE et CONSTANTE (x, y) Txx = Tyy = Constante = T h h h Tyy. + Q = S. Txx. + t y x Q ²h S h ²h. + = + T x² T t y² Eq 2. 36 Eq 2. 37 Cas particulier : si en plus pas de terme puits/source (Q = 0) ²h S h ²h. = + x² T t y² Eq 2. 38 Cas particulier : si en plus régime permanent ²h ²h = 0 + x² y² Eq 2. 39 Chap 2 - 66

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 2 - Application aux nappes captives Remarque : Eq 2. 36 et 2. 37 linéaire en h h h h Tyy. + Q = S. Txx. + t y x Q ²h S h ²h. + = + T x² T t y² Eq 2. 36 Eq 2. 37 D’où si (h 1, Q 1) et (h 2, Q 2) des solutions particulières de l’Eq. 2. 36 Alors a. H 1 + b. H 2 est également solution de l’Eq. 2. 36 avec les débits (a. Q 1 + b. Q 2) (Idem pour Eq 2. 37) Propriété de superposition : fondamentale pour analyser puits de pompage/injection multiples Chap 2 - 67

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 3 - Application aux nappes libres Equation de diffusivité en nappe libre : h h (à t) z h (à t + dt) y e x dy Substratum dx On néglige : Compressibilité de l’eau ( = constante) Compressibilité du milieu poreux (n = constante) Toute variation de charge mouvement de la surface libre Chap 2 - 68

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 3 - Application aux nappes libres h e dy dx Volume élémentaire : Surface libre variable Substratum = plan de référence pour la charge d’où e = hauteur piézométrique e = h(x, y) h représente la charge sur la verticale (h f(z)) h représente en particulier la cote de la surface libre de la nappe x, y dans les directions principales d’anisotropie Chap 2 - 69

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 3 - Application aux nappes libres En nappe libre, équation de diffusivité nappe captive : 2 modifications 1 – la transmissivité = f(hauteur piézométrique) T = Ks. e Eq 1. 4 or e = h d’où Txx = Kxx. h et Tyy = Kyy. h Eq 2. 40 2 – coefficient d'emmagasinement porosité efficace ne (porosité de drainage) S = ne Mécanismes de l'emmagasinement : Nappe libre : mouvement de la surface stockage/déstockage de l'eau Nappe captive : compressibilité de l'eau ( ), du matériaux (n) Chap 2 - 70

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 3 - Application aux nappes libres En nappe libre, équation de diffusivité nappe captive : 2 modifications h h h T . S. Txx. + + Q = yy t y x Eq 2. 36 Equation de diffusivité dans le plan horizontal (nappe captive) h h. Kyy. + Q = ne. h. Kxx. + t y x Eq 2. 41 Equation de diffusivité dans le plan horizontal (nappe libre) Chap 2 - 71

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 3 - Application aux nappes libres Cas particulier : si conductivité hydraulique ISOTROPE et Kxx = Kyy = Constante = K CONSTANTE (x, y) h h. K . n . h. Kxx. + + Q = e yy t y x ne h Q ²h² . + 2. = 2. + t k k x² y² Eq 2. 42 Eq 2. 41 Rappel : h 1 ²h² h. = . x x 2 x² Cas particulier : si en plus pas de terme puits/source (Q = 0) ne h ²h² . 2. = + k t x² y² Eq 2. 43 Cas particulier : si en plus régime permanent ²h² = 0 + x² y² Eq 2. 44 Chap 2 - 72

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 4 - Exemple d'application en nappe captive Exemple 1 : nappe captive Dessus Q 1 : Niveau piézométrique nappe ? Q 2 : VD ? y A' A x VD = constante Rivière 1 h 1 En coupe Niveau piézométrique z x e K L Rivière 2 Surface du sol h 2 Chap 2 - 73

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 4 - Exemple d'application en nappe captive Q ²h S h ²h. + = + T x² T t y² Eq 2. 37 Equation de diffusivité en nappe captive Cas donné : h = 0 Régime permanent : t Terme source ou puits inexistant : Q = 0 h = 0 Écoulement uniforme en direction de x : y h = 0 z (Hyp. de Dupuit) ²h = 0 x² Eq 2. 45 Equation de diffusivité à résoudre Chap 2 - 74

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 4 - Exemple d'application en nappe captive Résolution : Double intégration sur x : h VDx = - Kxx. x h(x) = Camont + Caval. x Eq 2. 46 h VDx = - K . x Camont ? Caval ? Première condition aux limites est (amont) : Charge imposée : condition de Dirichlet Pour x = 0 ; h(x = 0) = h 1 Camont = h 1 Deuxième condition aux limites est (aval) : Charge imposée : condition de Dirichlet Pour x = L ; h(x = L) = h 2 Chap 2 - 75

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 4 - Exemple d'application en nappe captive h(x) = Camont + Caval. x Eq 2. 46 h VDx = - K. x Réponse Q 2 : Vitesse de filtration Pour x = L h(L) = h 2 = h 1 + Caval + L h - h VDx = - K. 2 1 L D'où h 2 - h 1 Caval = L Eq 2. 48 Débit par mètre de largeur Réponse Q 1 : Niveau piézométrique nappe h(x) h 2 - h 1 h(x) = h 1 + . x L Eq 2. 47 h 2 - h 1 Eq 2. 49 q = - K. . e L h 2 - h 1 q = - T. L Eq 2. 50 Chap 2 - 76

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 4 - Exemple d'application en nappe captive Lignes de courant S : module d'espacement Courbe piézométrique Ou lignes équipotentielles de l'écoulement Rivière 1 h 1 Niveau piézométrique z x e K Rivière 2 Surface du sol h 2 L Chap 2 - 77

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 4 - Exemple d'application en nappe captive Variante : Conductivité hydraulique K est variable en x Ex : K 2 < K 1 Q : Niveau piézométrique ? h 1 z x e K 1 L 1 Domaine 1 K 2 Surface du sol h 2 L 2 Domaine 2 Chap 2 - 78

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 4 - Exemple d'application en nappe captive Équation de continuité : conservation de la masse à la limite (Domaine 1/domaine 2) q 1 (ou VDx 1 ) = q 2 (ou VDx 2 ) q : débit unitaire [L 3 T-1 L-2] ou [LT-1] vitesse de filtration ou vitesse apparente de Darcy (VD) q = VD = Q = K. i S (hlim- h 2) K 1 i 2 L = = 2 K 2 i 1 (h - h ) Eq 2. 3 1 L 1 Conditions géométriques h i 1 ? lim h 1 K 1 L 1 lim Eq 2. 51 si K 2 < K 1 alors i 1 < i 2 h 2 + de pertes de charge si faible conductivité K 2 L 2 i 1. L 1 + i 2. L 2 = (h 1 -h 2) Eq 2. 52 Chap 2 - 79

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 4 - Exemple d'application en nappe captive K 1 i 2 Eq 2. 51 = K 2 i 1 K 1 i 2 = . i 1 K 2 Combinaison avec l'Eq. 2. 52 i 1. L 1 + i 2. L 2 = (h 1 -h 2) Eq 2. 52 i 1 = (h 1 -h 2) K (L 1 + 1. L 2 ) K 2 Vitesse de filtration (VD) : (h 1 -h 2) VDx 2 = K 2. i 2 = VDx 1 = K 1. i 1 = K 1. K (L 1 + 1. L 2 ) K 2 Eq 2. 53 Chap 2 - 80

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 4 - Exemple d'application en nappe captive Lignes de courant S S 1 S 2 module d'espacement Courbe piézométrique Ou lignes équipotentielles de l'écoulement Rivière 1 i 1 < hlim h 1 i 2 Rivière 2 h 2 K 1 L 1 K 2 L 2 Chap 2 - 81

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 5 - Exemple d'application en nappe libre Exemple 2 : nappe libre Régime permanent dans massif homogène et isotrope Limite rectiligne à charge imposé Surface du sol h 1 Q 1 : h(x) ? Q 2 = VD(x) ? z h 2 K x L Substratum Chap 2 - 82

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 5 - Exemple d'application en nappe libre ne h Q ²h² . 2. + 2. = + k k t x² y² Eq 2. 42 Equation de diffusivité en nappe libre Cas donné : h = 0 équation linéaire en h² Régime permanent : t Terme source ou puits inexistant : Q = 0 h = 0 Écoulement uniforme en direction de x : y ²h² = 0 x² h = 0 z (Hyp. de Dupuit) Eq 2. 54 Equation de diffusivité à résoudre Chap 2 - 83

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 5 - Exemple d'application en nappe libre Résolution : Double intégration sur x : h²(x) = Camont + Caval. x Eq 2. 55 Camont ? Caval ? Première condition aux limites est (amont) : Charge imposée : condition de Dirichlet Pour x = 0 ; h(x = 0) = h 1 Camont = h 1² Eq 2. 56 Deuxième condition aux limites est (aval) : Charge imposée : condition de Dirichlet Pour x = L ; h(x = L) = h 2² = Caval. L + Camont et Eq. 2. 56 (h 1²- h 2²) (h 2²- h 1²) Caval = L L Eq 2. 57 Chap 2 - 84

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 5 - Exemple d'application en nappe libre h²(x) = Camont + Caval. x h²(x) = h 1² - (h 1²-h 2²). et Eq 2. 62 ; 2. 63 Eq 2. 55 x L Forme parabolique Eq 2. 58 ou : h(x) = h 1² - (h 1²-h 2²). x L h 1 Réponse Q 1 h 2 z x Chap 2 - 85

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1. 5 - Exemple d'application en nappe libre Réponse Q 2 : Vitesse de filtration VDx (x) = K. ( h VDx (x) = - K. x h 1²- h 2² x 2. h 1² - (h 1²-h 2²). . L L Débit par mètre de largeur ) (Darcy) Eq 2. 59 Rappel : (ax +b) a = x 2. (ax +b) Q = VDx (x). h(x) x h 1²- h 2² h 1² - (h 1²-h 2²). Q = K. . L x 2. h 1² - (h 1²-h 2²). . L L ( Q = K. h 1²- h 2² 2. L ) Eq 2. 60 Chap 2 - 86

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 1 Solution pour les nappes captives (écoulement symétrique) Lignes de courant Dessus A’ A Courbe piézométrique cône de dépression niveau piézo. au repos h 0 h(p) e En coupe VDR(r. T) h(r) niveau piézo. avec pompage VDR(r. T) z Chap 2 - 87

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 1 Solution pour les nappes captives (écoulement symétrique) ²h ²h + x² y² = 0 En coordonnées polaires (r, ) y x ²h 1 ²h = 0 + . . + r² r² ² r r x = r. cos y = r. sin r r = (x² + y²) = arctan (y/x) ²h = 0 Ecoulement symétrique : ² ²h 1 h + . = 0 r² r r Eq 2. 61 Intégration + condition aux limites résolution Chap 2 - 88

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 1 Solution pour les nappes captives (écoulement symétrique) Autre approche pour résoudre le même problème : Q cône de dépression niveau piézo. au repos h 0 e Darcy : Q = VDR(r). S VDR(r) z r. P : rayon du puits de pompage e dh S = (2. p. r). e VDR (r) = - K. dr dh Q = K. . (2. p. r). e Eq 2. 62 dr r : points situés à distance r du puits de pompage S : surface du cylindre situé à r du puits de pompage En pratique changement de signe Contrairement aux conventions VDR(r. T) Chap 2 - 89

Échelle Darcy Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Eq. diffusivité 2. 1 Solution pour les nappes captives (écoulement symétrique) dh Q = K. . (2. p. r). e dr Q dh = 2. p. e. K Eq 2. 62 r Q dh = 2. p. e. K r. P dr. r Eq 2. 63 r dr. r. P r h. P h(r) r r. P ( ) r Q h(r) – h. P = . ln r. P 2. p. e. K Eq 2. 64 Caractéristiques de la charge : h(r) augmente de façon logarithmique avec r (! Limite : h 0) Chap 2 - 90

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 1 Solution pour les nappes captives (écoulement symétrique) conditions aux limites Limite de l'équation : h(r) <= h 0 niveau piézo. au repos h 0 h(r) e h 0 Q VDR(r) h. P K VDR(r) R z R ( ) r Q h(r) – h. P = . ln r. P 2. p. e. K Eq 2. 64 R : rayon d'action fictif h 0 – h. P = ( ) Q R . ln 2. p. e. K r. P Eq 2. 65 Chap 2 - 91

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 1 Solution pour les nappes captives (écoulement symétrique) Calcul du rabattement s(r) en tout point à r du puits (avec r <= R) niveau piézo. au repos h 0 s(r) h 0 h(r) e h 0 Q h. P VDR(r) z R R h 0 – h. P = K ( ) Q R . ln 2. p. e. K r. P Formule de R Q Dupuit-Thiem h – h(r) = . ln = s(r) 0 r 2. p. T (régime permanent) ( ) Eq 2. 65 T (cf Eq 1. 4) Eq 2. 66 Chap 2 - 92

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 1 Solution pour les nappes captives (écoulement symétrique) Formule de Dupuit (régime permanent) ( ) R Q h 0 – h(r) = . ln = s(r) r 2. p. T Eq 2. 66 Solution exacte du Puits dans l'île circulaire R R h = h 0 Q r K mer ou lac h(r) z Chap 2 - 93

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 1 Solution pour les nappes captives (écoulement symétrique) Dans la pratique : valeur de R ? approche expérimentale niveau piézo. au repos h 0 Q h 0 h(r) h. P K e R ? P 2 P 1 P 3 h(r) h 0 PP s(r) P 3 P 1 PP P 2 PP ln(R) z ln(r) P 1 P 2 P 3 ln(r) ln(R) Chap 2 - 94

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 1 Solution pour les nappes captives (écoulement symétrique) Dans la pratique : valeur de R ? approche empirique Weber (1924) R = 2, 45. (ho. K. t / ne) Kusakin (1949) R = 575. Sp. (K. ho)1/2 Sichardt (1949) R = 3000. Sp. K 1/2 avec : R : rayon d'action fictif (m) K : (m. s-1) t : durée du pompage ne : porosité efficace (ou de drainage) Sp : rabattement dans le puits de pompage (m) Chap 2 - 95

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 2 Solution pour les nappes captives (écoulement dissymétrique) sans pompage y x e VDx h(x) = a. X + b K z x Eq 2. 67 a = Caval et b = Camont (cf intégration Eq 2. 46) Chap 2 - 96

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 2 Solution pour les nappes captives (écoulement dissymétrique) avec pompage y Front d'appel b Ligne de partage x A : point d'arrêt s(r) Q e VDx z h(r) K r x Cône de dépression dissymétrique Chap 2 - 97

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 2 Solution pour les nappes captives (écoulement dissymétrique) Rabattement s(r) en régime permanent selon formule de Dupuit Formule de Dupuit ( ) R Q h 0 – h(r) = . ln = s(r) r 2. p. T Eq 2. 66 Avec r = (x² + y²) En utilisant les propriétés d'additivité de l'équation de diffusivité en milieu isotrope (T 64) : ( Q R h(x, y) = (a. X + b) - . ln (x² + y²) 2. p. T ) (x² + y²) Q h(x, y) = (a. X + b) + . ln R 2. p. T ( ) Eq 2. 68 Chap 2 - 98

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 2 Solution pour les nappes captives (écoulement dissymétrique) Calcul de la vitesse de filtration VD en tout point (x, y) Darcy dh VDx = - K. dx (x² + y²) Q h(x, y) = (a. x + b) + . ln R 2. p. T Q. K VDx = - K. a - . 2. p. T ( ) Eq 2. 68 [ 1 (x² + y²) x Q VDx = u 0 - . (x² + y²) 2. p. e 1 (x² + y²)-1/2. 2 x 2 . . ] Eq 2. 69 dh VDy = - K. dy y Q VDy = 0 - . (x² + y²) 2. p. e Eq 2. 70 Chap 2 - 99

Échelle Darcy Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Eq. diffusivité 2. 2 Solution pour les nappes captives (écoulement dissymétrique) Points particuliers : A (point d'arrêt) y Front d'appel b Ligne de partage A : point d'arrêt x En A : composantes de la vitesse nulle Q x VDx = 0 = u 0 - . 2. p. e (x² + y²) y Q VDy = 0 = - . 2. p. e (x² + y²) Eq 2. 69 y. A = 0 Q XA = 2. p. e. u 0 Eq 2. 70 Chap 2 - 100

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 2 Solution pour les nappes captives (écoulement dissymétrique) Points particuliers : front d'appel (b) y Front d'appel b Ligne de partage A : point d'arrêt x À grande distance du puits, x - B, le front d'appel capte tout le débit de pompage Q Darcy : Q = - K. i. S Eq 2. 2 Avec S = b. e Q = - K. a. b. e = u 0. b. e h(x) = a. X + b Eq 2. 73 a = Caval et b = Camont b = Q U 0. e Eq 2. 71 Chap 2 - 101

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 3 Solution pour les nappes libres Ecoulement radial en régime permanent : nappe libre Q h 0 h(r) K z h. P h(r) x r Darcy dh Q = K. . (2. p. r). h(r) dr r. P Rappel : nappe captive Eq 2. 72 dh Q = K. . (2. p. r). e dr Eq 2. 62 Chap 2 - 102

Échelle Darcy Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Eq. diffusivité 2. 3 Solution pour les nappes libres Limite de l'équation : h(r) <= h 0 conditions aux limites Q s(r) h 0 h(r) h. P z K x r R R Rappel : nappe captive h 0 – h. P = ( ) Q R . ln 2. p. e. K r. P ( ) Q R h 0² – h. P² =. ln p. K r. P Eq 2. 65 Eq 2. 73 Chap 2 - 103

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 3 Solution pour les nappes libres h 0² – h. P² = ( ) Q R. ln p. K r. P Eq 2. 73 ( ) R Q h 0 – h. P = . ln r. P p. (h 0 + h. P). K Analogie avec formule de Dupuit (cf 2. 66) ( ) Q R (h 0 – h. P). (h 0 + h. P) = . ln p. K r. P Q R h 0 – h. P = . ln r. P (h 0 + h. P) 2. p. . K 2 ( ) Q R h 0 – hr = . ln r (h 0 + hr) 2. p. . K 2 ( ) Rappel : R Q Formule de Dupuit- s(r) = h 0 – h(r) = . ln r 2. p. T Thiem en nappe captive (régime permanent) ( ) Eq 2. 74 Eq 2. 66 Chap 2 - 104

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 3 Solution pour les nappes libres Q s(r) Profil piézométrique : h 0 h(r) z h. P x r R R ( ) Q R h 0² – h. P² =. ln p. K r. P Q h(r)² = h 0² - ln p. K ( ) R r Eq 2. 73 K Q h 0² – h(r)² = . ln p. K Q h(r)² = h 0² + ln p. K Formule de Dupuit en nappe libre (régime permanent) ( Rr) r R Eq 2. 75 Chap 2 - 105

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 3 Solution pour les nappes libres Q Dans la pratique : hauteur de suintement Décalage entre le niveau d'eau au contact du puits et hp dû à la crépine du puits hs hp rw hs – h. P = (h 0 – h. P ) - 3, 75. Q 2. p. K. h 0 Eq 2. 76 où hs : charge dans la nappe à une distance r = rw h. P : charge dans le puits K : conductivité hydraulique du matériau aquifère Q : débit de pompage h 0 : charge au delà du rayon d'action du rabattement Chap 2 - 106

Échelle Darcy Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Eq. diffusivité 2. 3 Solution pour les nappes libres Limites d'utilisation de l'équation de Dupuit (r. P < r < R ) Q s(r) h 0 h(r) h. P z x r R R h 0 s(r) h 0 K h 0 Q h(r) h. P z e x R r R K Chap 2 - 107

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 4 Superposition et images Principe de superposition : Repose sur les propriétés d'additivité de l'équation de diffusivité en milieu isotrope (T 67) : Q 2 Q 1 P 2 r 2 P 3 Q 3 r 3 P r 1 En nappe captive : (cf. 2. 66) n P 1 r 4 P 4 Ri Qi s(r) = . ln i = 1 ri 2. p. T ( ) Eq 2. 77 En nappe libre : (cf. 2. 75) Q 4 n ( ) Ri Qi h 0² - h(r)² = . ln Eq 2. 78 ri i = 1 p. K Chap 2 - 108

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 4 Superposition et images Intérêt des images (ou puits fictifs) : Précédemment : hypothèse milieu poreux "infini" Comment gérer les conditions aux limites à proximité de P ? Vue de dessus Vue en coupe s. M(r) ? h = h 0 P Q h 0 Charge imposée hlim = h 0 Chap 2 - 109

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 4 Superposition et images y Vue de dessus Q’ M(x, y) r’ r P’(-x 0, 0) Q P(x 0, 0) x Propriétés d'additivité de l'équation de diffusivité en milieu isotrope (T 64) : Hypothèse : Rayon d'action fictif R ( ) R Q s. M(x, y) = h 0 – h. M(x, y) = . ln r 2. p. T ( ) R Q' + . ln r' 2. p. T Eq 2. 79 Chap 2 - 110

Échelle Darcy Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Eq. diffusivité 2. 4 Superposition et images 1 er cas particulier : limite à charge imposée y Vue de dessus M(x, y) r’ Q -Q P’(-x 0, 0) ( ) R Q s. M(x, y) = h 0 – h. M(x, y) = . ln r 2. p. T ( ) r' Q s. M(x, y) = . ln r 2. p. T Eq 2. 80 r P(x 0, 0) R - Q + . ln r' 2. p. T x ( ) + h r Q h. M(x, y) = . ln r' 2. p. T Eq 2. 81 ou en coordonnées cartésiennes (r² = x² + y²) (x + x 0)² + y²) ((x + x 0)² + y²) Q Q s. M(x, y) = . ln = . ln (x - x 0)² + y²) ((x - x )² + y²) 4. p. T 2. p. T 0 ( ) ( 0 ) Chap 2 - 111

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 4 Superposition et images Soit M avec (r = r') médiatrice à PP' y Vue de dessus M(0, y) r’ -Q r P’(-x 0, 0) Q P(x 0, 0) ( ) r' Q s. M(x, y) = h 0 – h. M(x, y) = . ln r 2. p. T x Eq 2. 80 si x = 0 (médiatrice) alors r = r' h. M(0, y) = h 0 Sur médiatrice : charge constante et imposée Chap 2 - 112

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 4 Superposition et images Soit M avec (r = r') médiatrice à PP' y Vue de dessus M(0, y) r’ Q P’(-x 0, 0) Vue en coupe Q Q r P(x 0, 0) h. M(0, y) = h 0 x Q S(0, y) = 0 z x 0 Sur médiatrice : charge constante et imposée Chap 2 - 113

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 4 Superposition et images Solution exacte au problème : Vue de dessus P' P r' s. M(x, y) Vue en coupe r s. M(x, y) h = h 0 Q h 0 Charge imposée hlim = h 0 x 0 ( ) + h r Q h. M(x, y) = . ln r' 2. p. T 0 Eq 2. 81 Avec r = distance à P r' = distance à P' Chap 2 - 114

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 4 Superposition et images 2 ième cas particulier : limite à flux imposé nul (limite étanche) Vue de dessus P s. M(x, y) r Q Vue en coupe ? s. M(x, y) x 0 Chap 2 - 115

Échelle Darcy Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Eq. diffusivité 2. 4 Superposition et images y Vue de dessus Q M(x, y) r’ Q r P’(-x 0, 0) P(x 0, 0) ( ) R Q s. M(x, y) = h 0 – h. M(x, y) = . ln r 2. p. T ( ) R² Q s. M(x, y) = . ln r. r' 2. p. T x ( ) R Q + . ln r' 2. p. T Eq 2. 82 Chap 2 - 116

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 4 Superposition et images y M(0, y) Vue de dessus Q r’ r P’(-x 0, 0) Q P(x 0, 0) ( ) R² Q s. M(x, y) = . ln r. r' 2. p. T x Eq 2. 82 si x = 0 (médiatrice) alors r = r' = (x 0², y²) ( ) + h = constante r. r' Q h. M(0, y) = ln R² 2. p. T 0 d'où h x = 0 Analogie ligne de crête – altitude – pente nulle Sur médiatrice : flux nul Chap 2 - 117

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2. 4 Superposition et images h x Q = 0 x = 0 Q z x 0 Chap 2 - 118

Échelle Darcy Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Eq. diffusivité 2. 4 Superposition et images h x = 0 Q x 0 Chap 2 - 119

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Plan E - Solutions transitoires (essais de pompage) de l'équation de diffusivité générale (ou loi de Laplace) 1 - Équation de Theis 2 - Hypothèses et limites de l'équation de Theis 3 - Approximation de Jacob 4 - Superposition et images 5 - Interprétation d'un pompage (S et T) Chap 2 - 120

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Équation de Theis Ecoulement radial en régime transitoire : Puits unique nappe captive Q h 0 h(r) e h. P K z x r Cf équation (2. 61) permanent Équation de diffusivité Q ²h S h ²h. + = + T x² T t y² Eq 2. 37 h ²h 1 S h + . = . t r² r T r Eq 2. 83 ²h 1 h + . = 0 r² r r Conditions initiales : h(r, 0) = h 0 Conditions aux limites : h( , t) = h 0 et h lim(2 p. T. ) = Q r rp r Eq 2. 61 Chap 2 - 121

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Équation de Theis Solution de l'équation de diffusivité (écoulement radial transitoire) Equation de Theis : Q s(r, t) = h 0 - h(r, t) = . W(u) Eq 2. 84 4. p. T Avec W(u) = fonction de Theis e-x 4. T. t et u = W(u) = . dx x r². S 1/u Q h(r, t) = h 0 - . W(u) 4. p. T avec : u : variable de la fonction de Theis [adim. ] r : distance radiale à partir du centre du puits [L] S : coefficient d'emmagasinement [adim. ] T : transmissivité [L²T-1] t : temps depuis le début du pompage [T] x : variable muette (-1)n. 1/un W(u) = - constante d'Euler + ln(u) - n = 1 n. (n!) (1/u)² (1/u)3 (1/u)4 W(u) = - 0. 5772 + ln(u) + 1/u - + … 18 4 96 Chap 2 - 122

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Ecoulement radial en régime transitoire : Puits unique sur nappe libre Solution de l'équation de diffusivité (écoulement radial transitoire) En faisant l'hypothèse de Dupuit (pas d'écoulement vertical) Q s'(r, t) = h 0 - h(r, t) = . W(u') Eq 2. 85 4. p. T Même forme que pour nappe captive mais changement de variables s² Avec s' = s 2. h 0 et 4. T. t u' = r². S' S. h 0 avec S' = H 0 - s s' : rabattement corrigé S' : Coefficient d'emmagasinement apparent Application de la formule développée pour une nappe captive (Eq. 2. 84) si rabattement faible par rapport à l'épaisseur mouillée (s<<0. 02 h 0) sinon correction (Eq. 2. 85) Chap 2 - 123

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Hypothèses et limites de l'équation de Theis Hypothèses et limites associées à l'équation de Theis (11) Aquifère : 1 – Nappe captive et compressible 2 – Nappe infiniment grande dans la direction de r 3 – Transmissivité (T) isotrope et constante dans le temps et l'espace 4 – Coefficient d'emmagasinement (S) constant dans le temps et l'espace, l'eau libérée est disponible automatiquement Pompage/injection : 5 – Puits a une pénétration totale dans la nappe 6 – Débit de pompage ou d'injection est constant dans le temps 7 – Diamètre du puits est infiniment petit (devant les dimensions de l'aquifère) 8 – aucune autre source ni perte (un seul puits) Écoulements : 9 – Écoulement selon loi de Darcy 10 – Écoulement transitoire (gradient hydraulique n'est pas constant) 11 – Fluide homogène Chap 2 - 124

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 3 - Approximation de Jacob Formules approchées : Approximation de Jacob (11 cond. De Theis + 1) 4. T. t avec u = Condition : u > 100 r². S (1/u)² (1/u)3 (1/u)4 W(u) = - 0. 5772 + ln(u) + 1/u - + … 18 4 96 ( ) 2, 25 T. t W(u) ln r². S ( ) 2, 25 T. t Q s(r, t) = h 0 - h(r, t) = . ln r². S 4. p. T ( Eq 2. 86 ) 2, 25 T. t 0, 183. Q s(r, t) = h 0 - h(r, t) = . Log Eq 2. 86 r². S T bis Approximation logarithmique de la formule de Theis = formule de Jacob r². S (1/u pour nous) !!! Dans certains ouvrages u = 4. T. t Avec condition : u < 10 -3 Chap 2 - 125

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 3 - Approximation de Jacob Estimation de R avec l'approximation de Jacob h 0 Q h 0 h(r) h. P K z e x R R A une distance R, s(r) = 0 ( ) 2, 25 T. t Q 0 = . ln R². S 4. p. T R = r Eq 2. 86 2, 25 T. t S 2, 25 T. t = 1 R². S Eq 2. 87 Si régime permanent (t. RP R= rayon fictif du puits) Chap 2 - 126

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 4 - Superposition et images Principe de superposition : en transitoire (comme en permanent T : 112) Repose sur les propriétés d'additivité de l'équation de diffusivité en milieu isotrope (T 67) : Formule de Theis (Eq. 76) n Q 2 Q 1 P 2 r 2 P 3 Q 3 r 3 P r 1 P 1 r 4 ( 4. T. t 1 s(r) = . Qi. W ri². S 4. p. T i = 1 Eq 2. 88 Formule de Jacob (u > 100) n ( P 4 Q 4 ) 2, 25. T. t 1 s(r) = . Qi. ln ri². S i = 1 4. p. T ) Eq 2. 89 Chap 2 - 127

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 4 - Superposition et images h Flux nul (limite étanche) : Vue de dessus = 0 x x = 0 P' P r' s. M(x, y) r Formule de Theis 4. T. t Q s(r) = . W r². S 4. p. T [ ( ) 4. T. t + W r'². S ( )] Eq 2. 90 Formule de Jacob (u > 100) 2, 25. T. t Q s(r) = . ln r². S 4. p. T [ ( ) 2, 25. T. t + ln r'². S ( )] Eq 2. 91 Chap 2 - 128

Échelle Darcy Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Eq. diffusivité 4 - Superposition et images Charge imposée H 0 (Vue de dessus ) P' P r' s. M(x, y) r Formule de Theis 4. T. t Q s(r) = . W r². S 4. p. T [ ( ) 4. T. t - W r'². S ( )] Eq 2. 92 Formule de Jacob (u > 100) 2, 25. T. t Q s(r) = . ln r². S 4. p. T [ ( ) 2, 25. T. t - ln r'². S ( )] r' Q = . ln r 2. p. T ( ) Eq 2. 93 Chap 2 - 129

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 5 - Interprétation d'un pompage (S et T) Interprétation des essais de pompage : objectif Puits d'observation Puits de pompage Q T : transmissivité ? S : coefficient d'emmagasinement? r Q T : transmissivité ? S : coefficient d'emmagasinement? Chap 2 - 130

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 5 - Interprétation d'un pompage (S et T) Interprétation des essais de pompage : méthode de Theis (pour toutes les valeurs de u et donc pour les t petits) ( ) 4. T. t Q Q s(r, t) = . W(u) = . W r². S 4. p. T Eq 2. 84 Graphiques logarithmiques Points expérimentaux : s(t) Abaque W(u) en fonction de u s 10 -1 + 10 -2 t 10 -3 10 102 103 Chap 2 - 131

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 5 - Interprétation d'un pompage (S et T) s 10 -1 10 -2 10 -3 t 10 102 103 10 -2 Chap 2 - 132

Échelle Darcy Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Eq. diffusivité 5 - Interprétation d'un pompage (S et T) En ordonnée : ( ) 4. T. t Q Q s(r, t) = . W(u) = . W r². S 4. p. T ( ) Q. W log s = log 4. p. T Eq 2. 84 ( ) Q = log + log (W) 4. p. T ( ) Q s se déduit de W par la translation : log 4. p. T 4. T. t En abscisse : u = r². S ( ) 4. T. t log u = log r². S ( ) 4. T = log (t) + log r². S ( ) 4. T t se déduit de u par la translation : log r². S Chap 2 - 133

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto s 10 -1 M M (um = 10, wm = 1. 2) M (tm = 54 s, sm = 0. 02 m) 10 -2 10 -1 10 -3 t 10 102 103 10 -2 Chap 2 - 134

Échelle Darcy Par définition : Q sm = . Wm 4. p. T um = 4. T. tm r². S Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Wm Q T = . s m 4. p Eq 2. 94 4 T tm S = . u m r² Eq 2. 95 Application : fonction de Q (pour calculer T) et de r (pour calculer S ) (nécessité d'un puits d'observation) Chiffes significatifs de cette méthode : 2 chiffres (T et S) Chap 2 - 135

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 5 - Interprétation d'un pompage (S et T) Interprétation des essais de pompage : méthode de Jacob (si u > 100) Protocole : 2, 25 T. t 0, 183. Q État initial (régime s(r, t) = h 0 - h(r, t) = . Log Eq 2. 86 r². S permanent) T bis ( ) Rabattement (en m) Début pompage Dépouillement (graphique) : s = f(Log(temps)) (Q constant) Prise de mesure s(t), minutes voire moins (au début) Temps (en seconde) Chap 2 - 136

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 5 - Interprétation d'un pompage (S et T) Charge ou rabattement (en m) Charge initiale Droite de Jacob Nappe illimitée Temps (en seconde) Si u > 100 approximation logarithmique droite Chap 2 - 137

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 5 - Interprétation d'un pompage (S et T) Charge initiale rabattement (en m) Charge imposée Droite de Jacob Nappe illimitée Flux nul Temps (en seconde) Chap 2 - 138

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 5 - Interprétation d'un pompage (S et T) Sélection de 2 points A et B arbitrairement sur cette droite (bleu) Formule de Jacob (u > 100) Détermination de la transmissivité (T) : ( ) 2, 25 T. t. B Q s. B(r, t. B) = . ln r². S 4. p. T ( ( ) ( 2, 25 T. t. A Q s. A(r, t. A) = . ln r². S 4. p. T )) 2, 25 T. t. A 2, 25 T. t. B Q s. B - s. A = . ln – ln r². S 4. p. T ( ) t. B Q s. B - s. A = . ln t. A 4. p. T ( ) t. B Q T = . ln t 4. p. (s. B - s. A ) A Eq 2. 96 Selon l'usage : on prend t. B = 10. t. A 0, 183. Q T = (s. B - s. A ) Eq 2. 97 Chap 2 - 139

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 5 - Interprétation d'un pompage (S et T) Détermination du coefficient d'emmagasinement (S) : Charge initiale C rabattement (en m) Droite de Jacob Nappe illimitée Temps (en seconde) ( ) S = 2, 25 T. t. C r² 2, 25 T. t. C Q s. C = 0 = . ln r². S 4. p. T ( ) 2, 25 T. t. C ln = 0 r². S 2, 25 T. t. C = 1 r². S Eq 2. 98 Puits d'observation ! Chap 2 - 140

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 5 - Interprétation d'un pompage (S et T) Interprétation d'une remontée : Intérêt : si pas de puits d'observation, utilisation du puits de pompage (plus de perte de charge) Q hp hs hp Pompage : rabattement progressif de la nappe hs Arrêt pompage : remontée progressive de la nappe (rabattement résiduel) Chap 2 - 141

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Interprétation d'une remontée : 1ère méthode : Hypothèse : avant arrêt du pompage : régime permanent Application de la méthode de Theis ou Jacob (comme pour un pompage) Chap 2 - 142

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 5 - Interprétation d'un pompage (S et T) Interprétation d'une remontée : 2 ième méthode Le rabattement résiduel : Arrêt pompage = pompage initial (Q) + injection (- Q) Q : pompage t tf = fin du pompage Effets des pompages s'annulent niveau initial - Q : injection Equation de Theis : Q Q Q s. Rés = . W(u) - . W(u') = . (W(u) - W(u')) 4. p. T pompage Eq 2. 99 injection 4. T. t' 4. T. t avec u = et u' = r². S t' = t - tf Chap 2 - 143

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Interprétation d'une remontée : 2 ième méthode Le rabattement résiduel : Arrêt pompage = pompage initial (Q) + injection (- Q) Formule de Jacob (u > 100) Q Q Q s. Rés = . W(u) - . W(u') = . (W(u) - W(u')) 4. p. T pompage ( Eq 2. 99 injection ) ( ) t Q 2, 25 T. t' 2, 25 T. t Q Q s. Rés = . ln - . ln = . ln t - tf 4. p. T r². S 4. p. T pompage injection Eq 2. 100 Chap 2 - 144

Darcy Interprétation d'une remontée : Castany Formule de Jacob (u > 100) Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Charge ou rabattement (en m) Échelle t t - tf t = temps depuis début du pompage [adim. ] tf = durée du pompage (ici 72 h) Sélection de 2 points A et B arbitrairement sur cette droite (bleu) t. B Q T = . ln 4. p. (s. B - s. A ) ( t. B - tf t. A ) Eq 2. 101 t. A - tf Chap 2 - 145

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Plan F - Cartographie de l'aquifère 1 - Objectifs de la cartographie 2 - Cartes structurales 3 - Cartes piézométriques Chap 2 - 146

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 1 - Objectifs de la cartographie : 1 – représentation - configuration - structure 2 – schématisation - fonction du réservoirs - comportement hydrodynamiques Deux types de cartes : structurales / piézométriques Chap 2 - 147

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Cartes structurales de l’aquifère (configuration + structure) = Synthèse : 1 - Données sur la géologie 2 - Conditions aux limites 3 - paramètres physiques de l’aquifère 4 - Paramètres hydrodynamiques de l’aquifère Chap 2 - 148

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Cartes structurales Configuration Objectifs : cartographier en 2 D ou 3 D : surface et volume de l’aquifère Nécessite interpolation de données ponctuelles Types de représentation : 1 - en courbes isohypses : égale altitude 2 - en courbes isobathes : égale profondeur (/sol) 3 - en courbes isopaches : égale épaisseur de l’aquifère Chap 2 - 149

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Cartes structurales Configuration 1 – Cartes de la surface du substratum : Type de représentation : isohypses et isobathes Utilité : base pour calculer épaisseur de l’aquifère profondeur maximum des forages 0 20 km Ex : altitude du substrat Région d'Ottawa (Canada) http: //gsc. nrcan. gc. ca/urbgeo/natcap/bed_topo_f. php Chap 2 - 150

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Cartes structurales Configuration 2 – Cartes de la limite supérieure de l’aquifère : Type de représentation : nappe captive : base du toit imperméable (isohypses et isobathes) nappe libre : limite supérieure isohypses (cartes piézométriques) Utilité : base pour calculer épaisseur de l’aquifère profondeur du niveau d’eau dans les forages Castany Chap 2 - 151

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Cartes structurales Configuration 3 – Cartes de l’épaisseur de l’aquifère : Construction : superposition des 2 cartes en courbes isohypses Type de représentation : courbes isopaches de l’aquifère Utilité : Calculer volume de l’aquifère (évaluation des réserves en eaux souterraines) Castany Chap 2 - 152

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Cartes structurales Structure 1 – Cartes des caractéristiques physiques de l’aquifère : Construction : interpolation spatiale des données ponctuelles Type de représentation : (classes) Lithologie Roches meubles : granulométrie + diamètre efficace Roches compactes : fissuration Utilité : Représentation de la structure (recherche de réserves en eaux souterraines) D'après F. Renard (2005) Grande vallée des Appalaches (Tennessee) Chap 2 - 153

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Cartes structurales Structure 2 – Cartes des paramètres hydrodynamiques de l’aquifère : Construction : interpolation spatiale des données ponctuelles (coût d’acquisition) Type de représentation : (isohypses) Coefficient de perméabilité Transmissivité Coefficient d’emmagasinement Utilité : Représentation de la structure (recherche de réserves en eaux souterraines) Chap 2 - 154

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 2 - Cartes structurales Structure Ex : Distribution de la transmissivité de l’Albien (m 2/s) (d'après modélisation) (d’après AESN) http: //www. enpc. fr/cereve/Home. Pages/gaume/courshydro/fasc_51. pdf Chap 2 - 155

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 3 - Cartes piézométriques (ou cartes de la surface piézométrique) Représentation à une date donnée de la distribution spatiale des charges hydrauliques (h) + conditions aux limites Construction : interpolation des mesures des niveaux piézométriques (conditions stables) report sur carte (1/50000) : Choix de l’équidistance + technique de tracé Type de représentation : en courbes isohypses : égale altitude (h) D'après F. Renard (2005) Vallée du Drac Chap 2 - 156

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 3 - Cartes piézométriques Mode d’interpolation des charges hydrauliques (h) 1 - Interpolation approximative : méthode visuelle Satisfaisant si expérience Limites : interprétation et non faits observés 2 - Méthode d’interpolation du triangle A (h. A = 27, 6 m) 27, 5 Choix de l’équidistance : Ici h = 0. 5 m + lissage 27 27 B (h. B = 26, 8 m) C (hc = 27, 2 m) Excellents résultats si densité de points suffisante 3 - Programme de traitements (zone plus étendue) Chap 2 - 157

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 3 - Cartes piézométriques Interprétation des cartes Facilitée si : Tracé des lignes de courant (plus grande pente) Fléchage des lignes de courant (sens) Éléments de la carte utilisés dans l'interprétation : 1 - Courbure des courbes piézométriques 2 - Module d'espacement (entre 2 courbes piéz. ) Chap 2 - 158

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 3 - Cartes piézométriques Exemple d'habillage : Carte piézométrique d’une nappe captive profonde : l’Albien dans le bassin parisien. http: //www. enpc. fr/cereve/Home. Pages/gaume/courshydro/fasc_51. pdf Chap 2 - 159

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 3 - Cartes piézométriques Éléments de la carte utilisés dans l'interprétation : 1 - Courbure des courbes piézométriques Amont Aval 99 Amont 75 S 98 97 96 78 77 76 Concavité ouverte vers l'aval : Lignes de courant convergentes = zone de drainage (puits de pompage) Concavité ouverte vers l'amont : Lignes de courant divergentes = aire d'alimentation (puits d'injection) Aval Chap 2 - 160

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto 3 - Cartes piézométriques http: //www. enpc. fr/cereve/Home. Pages/gaume/courshydro/fasc_51. pdf Chap 2 - 161

Échelle Darcy Eq. diffusivité Sol. permanent. Sol. transitoire Carto Conclusions Utilisation sur le terrain de la loi de Darcy et des solutions de la loi de diffusivité en première approximation : • prédire la distribution de la charge hydraulique sur toute une nappe à partir de points isolés (conditions stationnaires et transitoires) ; • prédire les directions de propagation de l’eau (direction d’écoulement) principales • analyser des données concernant le pompage dans un aquifère et estimer les réserves et la conductivité hydraulique d’un aquifère. • prédire le transport d’une pollution, trouver des stratégies de dépollution d’un aquifère (chapitre III). • utiliser des modèles de circulation pour prédire l’impact d’un pompage sur l’aquifère (chapitre IV). Compétences d’un hydrogéologue. Chap 2 - 162