Chapitre FONCTION LINEAIRE 13 FL I PROPORTIONNALIT II

Chapitre FONCTION LINEAIRE 13 -FL I - PROPORTIONNALITÉ II – DÉFINITIONS / Ex III- GRAPHIQUE IV – DETERMINER IMAGE et ANTÉCÉDANT V - DÉTERMINER UNE F. L. VI - % et F. LINÉAIRE VII APPLICATIONS / EXERCICES Bernard 3° Avon

I- PROPORTIONNALITÉ 9 24 5 12 21 x 27 72 15 36 63 y Donc: 27 = 3 x 9 et y = 3 x x 72 = 3 x…. . x 3 coefficient de proportionnalité x et y sont proportionnelles s’il existe un nombre a tel que y = a x x Deux grandeurs La fonction qui à x fait correspondre a x x s’appelle Fonction Linéaire de coefficient a

II-DÉFINITIONS La correspondance qui à chaque nombre « x » associe un nombre « a x » s’appelle fonction linéaire de coefficient a. On notera cette fonction ainsi : f : x L’image de x sera notée : f(x). « a » s’appelle: ou Exemple 1 : ax Coefficient de proportionnalité Coefficient directeur Soit f est la fonction linéaire de coefficient 2. On la note : f : x 2 x Alors : L’image de 5 est : f(5) = 2 5 = 10. L’image de (-3) est : f(-3) = 2 (-3) = -6. L’image de 1 est : f(1) = 2 1 = 2.

Exemple 2: Le prix d’un CD est 7, 30 €. Soit x le nombre de CD achetés. Prix en fonction de x ? Pour calculer le prix il faut multiplier le prix d’un CD par le Nombre p(x) = 7, 3 x x et p: x 7, 3 x Exemple 3: La fonction « opposée » f: x -x Le coefficient est -1 Contre-exemple: La fonction qui associe le carré: f: x x² Ce n’est pas une fonction linéaire

III-GRAPHIQUE Ensemble des points de coordonnées (x ; a x) Comme la fonction linéaire représente une proportionnalité son graphe est une droite qui passe par l’origine du repère Démonstration Soit f une fonction linéaire définie par f(x) = ax. On appelle y l’image de x Si x = 0 alors y = f(0) =ax 0 = 0. Le point O (0; 0) est sur la courbe Si c’est une droite, elle passe par l’origine du repère. Soit le point A de de la courbe avec x = 1, donc pour être sur la courbe il faut y= a x 1 =a A(1; a) Soit M un autre point quelconque de la courbe de coordonnées x et y=ax M(x; ax) Les 3 points O, A et M sont donc sur la courbe. Sont-ils alignés ?

OB = 1 AB = a ON = x NM = ax

Traçons la droite (OA). Supposons qu’elle coupe (NM) en M’ OB = 1 AB = a ON = x NM = ax Comme (AB) // (NM’), D’après le th. de Thalès Remplaçons: D’où NM’ = ax Donc NM =NM’ et comme les points sont sur la même droite alors M = M’ et le point M est bien sur la droite (OA) O, A, M sont alignés

On choisit x, on calcule y Exemple 1: Traçons la représentation graphique de la fonction linéaire f(x) = 4 x On fait un f est une fonction linéaire, sa tableau de représentation graphique est une droite valeurs (d 1) qui passe par O. Comme f(2)=4 x 2= 8, alors d 1 passe par le point de coordonnées (2; 8). (en rouge sur le dessin) 0, 5 mm pour 1 unité. Les 2 courbes sur le même graphique Exemple 2: Traçons la représentation graphique de la fonction linéaire g(x) = -3 x g est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite (d 2) qui passe par O. Comme g(-2)=-3 x(-2)= 6, alors d 2 passe par le point de coordonnées (-2; 6). (en bleu sur le dessin) Comme le graphe est une droite 2 points suffisent. On peut prendre un 3° point de vérification. x 0 2 y 0 8 x 0 -2 y 0 6

a le coefficient directeur indique l’inclinaison de la droite a 1 1 1 1 a a a « petit et positif » a « grand et positif » a « petit et négatif » a « grand et négatif » Dans un repère la droite passe toujours par le point de coordonnées (1; a) et par l’origine du repère. Si a = 0 la droite représentative se confond avec l’axe des abscisses.

IV-DÉTERMINER IMAGES ET ANTÉCÉDANTS 1) Connaissant l’expression de la Fonction Ex 1: Déterminer l’image de « -3 » par la fonction linéaire f définie par f(x) = 5 x. On remplace x par – 3 dans l’expression: f(-3) = 5 x (-3) = -15 Ex 2: Déterminer l’antécédent de 3/7. On résoud l’équation: f(x) = 3/7 5 x = 3/7 x = 3/35 : 5

2) Avec le graphique Ex 1: Déterminer l’image de « 2 » par la fonction f ayant le graphique ci-dessous On lit la valeur sur l’axe des ordonnées 4 2 f(2) =4 On trace un trait vertical à l’abscisse 2 va couper la courbe

Ex 2: Déterminer le nombre qui a pour image « -6 » par la fonction f ayant le graphique ci-dessous On lit la valeur sur l’axe des abscisses -3 L’antécédent de – 6 est -3 -6 On trace un trait horizontal à l’ordonnée -6

V-DÉTERMINER UNE FONCTION LINÉAIRE 1) Connaissant un nombre et son image. Ex: Déterminer la Fonction linéaire f dont l’image de 4 est – 12. On écrit: f(x) = ax et on remplace x par 4 et f(x) par – 12 xa 4 -12 x y Combine: il suffit de diviser y par x a x = f(x) a x 4 = -12 a = -12 /4 a = -3 Il faut calculer « a » a = -12/4 = -3 f est la fonction définie par x f(x) = -3 x

2) Avec le graphique On peut remarquer que pour x=1 on lit «a» sur les ordonnées +5 0, 4 -2 a = -2/5 = - 0, 4 a= f est la fonction définie par f(x) = - 0, 4 x y x

VI-% et FONCTION LINEAIRE Ex 1: Déterminer la fonction linéaire qui au prix affiché d’un objet fait correspondre son prix soldé à – 35% f: x 0, 65 x On multiplie par 1 – 35/100 Ex 2: Déterminer la fonction linéaire qui à un prix HT fait correspondre le Prix TTC avec une TVA à 19, 6 %. f: x 1, 196 x On multiplie par 1 + 19, 6/100

VII-APPLICATION / EXERCICES Lors d’un test sur circuit d’une voiture, les mesures sont les suivantes: Ex 1: Durée t ( en h) 3/4 2, 5 Distance parcourue (en km) 120 400 4 5 640 800 1) Est-ce une situation de proportionnalité ? Pourquoi ? Oui, car: 2) Que représente le coefficient de proportionnalité ? La vitesse 3) Déterminer la fonction linéaire associée à cette proportionnalité f: x 160 x 4) Faire le graphique. Abscisse 1 cm =1 h. Ordonnées 1 cm =160 km.

Distance en km 800 640 480 320 160 Durée en h 0 0 1 2 3 4 5

On fait un tableau de valeurs x y 0 0 1 -2 -2 4 X -2 1) On choisit x et on calcule y x 0 3 -3 y 0 2 -2 2) On place les points X 2/3 2)

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