Chapitre 4 Statistiques descriptivesDistributions exprimentales une dimension Plan

Chapitre 4 Statistiques descriptives-Distributions expérimentales à une dimension

Plan 1. Généralités 2. Paramètres de positions 3. Paramètres de dispersion 4. Paramètres de la forme

1. Généralités: Vocabulaire général � La statistique étudie des ensembles appelés populations dont les éléments sont appelés individus. Lorsque chaque individu présente un caractère X, la statistique est dite simple ou à une dimension. � Généralement, on n’a pas accès à la population totale et l’étude se fait sur un échantillon (une partie de la population). � Qualitatif Ex: maladie Caractèr e Continu: Prend toute les valeurs d’un intervalle Quantitatif Ex: durées de vie Discret: Ne prend que des valeurs ponctuelles et isolées Remarque: Quand un caractère est continu, ou discret avec beaucoup de vale possible, on effectue des regroupements en classes statistiques.

1. Généralités: Effectifs et fréquences Une statistique simple est présentée à l’aide d’un tableau: Valeurs ou modalités de la statistique X x 1 ………. xi ………. xk Effectifs ni n 1 ………. ni ………. nk Fréquences fi f 1 ………. fi ………. fk

1. Généralités: Exemple Pour déterminer le nombre moyenne d’enfants dans chaque famille d’une ville, on a prélevé un échantillon de 50 famille: 132522410434123424314513531325533321212 34414523114 Le tableau statistique associé avec cette statistiques est: Nom. Enf (xi) Effectifs(ni) Fréquences(fi) Fréq cum (Fi) 0 1 0, 02 1 11 0, 22 0, 24 2 10 0, 2 0, 44 3 12 0, 24 0, 68 4 10 0, 2 0, 88 5 6 0, 12 1 Total 50 1

1. Généralités: Fonction de répartition Définition: La fréquence cumulé correspondant à la condition ‘X≤x’ est un nombre noté F(x); F est appelée fonction de répartition. Cette fonction est croissante et sa courbe est celle des fréquences cumulées. xi Fi 0 0, 02 1 0, 24 2 0, 44 3 0, 68 4 0, 88 5 1 Condition F(x) x<0 0 0≤x<1 0, 02 1≤x<2 0, 24 2≤x<3 0, 44 3≤x<4 0, 68 4≤x<5 0, 88 5<x 1 Fonction de répartition

1. Généralités: Représentations graphiques et variable discrète Diagramme en bâtons: Les longueurs des bâtons ou des bandes Sont proportionnelles aux effectifs Effectifs Diagramme en bâton 14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 Nombre d'enfants 4 5 Diagramme circulaire Diagramme en cercle: Ces représentations sont utilisés pour visualiser la distribution de la statistique 4 20% 5 12% 3 24% 0 2% 1 22% 2 20%

1. Généralités: Représentations graphiques et variable continue Histogramme: Les longueurs des bandes Sont proportionnelles aux effectifs Histogramme 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 [0 ; 3[ [3 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 20 [ [20 ; 30[ [30 ; 50[ Classes Diagramme circulaire: L ’effectif d’une classe est représenté par une angle. A chaque classe, on fait correspondre un pourcentage. [0 ; 3[ [3 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 20 [ [20 ; 30[ [30 ; 50[ 4% 3% 1% 39% 24% 29%

2. Paramètres de positions: Le mode, moyenne Définition: On appelle mode d’une statistique, toute valeur correspondant à l’effectif maximal. Nom. Enf (xi) 0 1 2 3 4 5 Effectifs(ni) 1 11 10 12 10 6 Fréquences(fi) 0, 02 0, 24 0, 2 0, 12 Fréq cum (Fi) 0, 02 0, 24 0, 44 0, 68 0, 88 1 Définition: Si le caractère étudié est quantitatif, on appelle la moyenne arithmétique de la série statistique la valeur: Proposition: Si X et Y sont deux variables statistiques liées comme suit Y=a. X+b, Alors

2. Paramètres de positions: La médiane Définition: On appelle médiane d’une série statistique, toute valeur m vérifiant les deux conditions: - la moitié au plus de l’effectif total de la série a un caractère de valeur inférieur à m, - la moitié au plus de l’effectif total de la série a un caractère de valeur Définition: lorsque cette définition conduit à un intervalle médian, on retient supérieur à m. souvent le milieu comme valeur de la médiane. Nom. Enf (xi) 0 1 2 3 4 5 médiane=3 Effectifs(ni) 1 11 10 12 10 6 Classe ni [140 -160[ 10 [160 -165[ 20 [165 -170[ 30 [170 -175[ 45 [175 -180[ 40 [180 -185[ 35 médiane=172, 5

3. Paramètres de dispersion: La variance et l’écart-type Définition: La variance V et l’écart type de σ d’une série statistique de taille n sont définis comme suit: Exemple: Pour l’exemple précédent, on a Propriétés: La variance V et l’écart type de σ d’une série statistique de taille n vérifient les équations suivantes:

3. Paramètres de dispersion: Les moments Définition: Soit r un entier naturel non nul. On définit pour un caractère quantitatif X: Remarque: En général, les moments centrés d’ordre pair renseignent sur la dispersion des observations autour de la moyenne et les moments centrés d’ordre impair sur la dissymétrie de la distribution. Exemple: Pour l’exemple précédent, on a

4. Paramètres de la forme : Coefficient de Fischer (dissymétrie) Définition: le coefficient γ 1 de Fischer est définie par Exemple: Pour l’exemple précédent, on a Propriétés: - Si γ 1=0, alors la distribution est symétrique - Si γ 1<0, alors la distribution est étalée vers la gauche - Si γ 1>0, alors la distribution est étalée vers la droite Exemple: Pour l’exemple précédent, on a 0. 05465=γ 1>0, donc la distribution est étalée vers la droite.

4. Paramètres de la forme: Coefficient de Fischer (aplatissement) Définition: le coefficient γ 2 de Fischer est définie par Exemple: Pour l’exemple précédent, on a Propriétés: - Si γ 2=0, alors l’aplatissement de la distribution est le même que celui de la loi de Gauss - Si γ 2<0, alors la distribution est plus aplatie - Si γ 2>0, alors la distribution est moins aplatie (EXERCICE) Exemple: Pour l’exemple précédent, on a 1. 95=γ 2>0, donc la distribution est moins aplatie que la loi de Gauss.

4. Paramètres de la forme: Illustration géométrique Exemple: Pour l’exemple précédent, on a 1. 95=γ 2>0, donc la distribution est moins aplatie que la loi de Gauss. Distribution de X 14 12 effctif 10 1. 95=γ 2 8 6 4 2 0 0 1 2 3 valeur 4 5 6