Chapitre 4 Equations diffrentielles ordinaires n variables Plan

Chapitre 4 Equations différentielles ordinaires à n variables

Plan du cours 1 - Introduction 2 - Formes de Jordan réelles dand IR 3 3 - Points d’équilibre - Linéarisation 4 - Critères de Routh-Hurwitz 5 - Critères qualitatifs de stabilité

Généralités n Systèmes dynamiques de dimension supérieur ou égale à 3 : X = (x 1, x 2, …xn) vecteur de IRn (X) = (f 1, f 2, …, fn ) fonctions des variables x 1, x 2… n Systèmes linéaires : fi = fonctions linéaires

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Généralités n Mettre la matrice A sous forme de Jordan J J: Matrice de Jordan associée à A P: Matrice de passage Y = (y 1, y 2, …yn) vecteur de IRn n Formes de Jordan dépendantes des valeurs propres de A

Formes de Jordan dans IR 3 n 3 valeurs propres réelles distinctes : et n 1 valeur propre réelle et 2 valeurs propres complexes conjuguées : et

Formes de Jordan dans IR 3 n 1 valeur propre double et 1 valeur propre distincte : et n 1 valeur propre triple : et

Partition des formes de Jordan n Toutes les formes de Jordan (sauf dernière) peuvent être partitionnées en blocs Ex. La dernière équation (en y 3) est découplée des 2 autres Systèmes à 3 équations = 1 système à 2 équations + 1 équation

Partition des formes de Jordan (1) (2) Projection des trajectoires de (1) sur un plan y 3= cste : foyer stable (a < 0) Solution de (2) :

Portrait de phase Portraits de phase des systèmes linéaires dans IR 3 = combinaison des portraits de phase des systèmes découplés par blocs (sauf quand valeur propre triple Formes de Jordan généralisables pour des systèmes en dimension supérieure à 3

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Généralités n Soit le système différentiel comme point d’équilibre n Au voisinage de X* : ui admettant tel que = x i – x i* n Développement en série de Taylor au 1 er ordre des fonctions fi au voisinage de X* : A* : matrice jacobienne au point X*

Définition n Le point d’équilibre d’un système est dit asymptotiquement stable, c’est-à-dire que , si et seulement si la partie réelle des valeurs propres de la matrice jacobienne est strictement négative X* asymptotiquement stable

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Généralités n Pour démontrer la stabilité asymptotique d’un point d’équilibre, il faut a priori calculer les n valeurs propres de A et vérifier que leur partie réelle est négative. n Méthode algébrique développée par Routh et Hurwitz, basée sur le calcul de déterminants particuliers = déterminants de Routh

Déterminants de Routh n Soit le système linéarisé : Les valeurs propres de A* sont solutions de n Déterminants de Routh-Hurwitz :

Propositions n Proposition 1 Dans le cas d’une matrice de dimension n, les termes hjk des déterminants de Routh-Hurwitz (j, k = 1…n) sont définis par : - hjk = a 2 j-k pour 0 < 2 j-k ≤ n - hjk = 1 pour 2 j-k = 0 - hjk = 0 pour 2 j-k < 0 n Proposition 2 X* asymptotiquement stable

Plan du cours 1 - Introduction 2 - Formes de Jordan réelles dand IR 3 3 - Points d’équilibre - Linéarisation 4 - Critères de Routh-Hurwitz 4. 1 Critères de Routh-Hurwitz dans IR 2 4. 2 Critères de Routh-Hurwitz dans IR 3 4. 3 Critères de Routh-Hurwitz dans IR 4 4. 4 Application en dynamique de populations

Généralités n Soit le système Déterminants de Routh-Hurwitz : Conditions de stabilité :

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Généralités n Equation caractéristique : n Déterminants de Routh-Hurwitz : n Conditions de stabilité :

Plan du cours 1 - Introduction 2 - Formes de Jordan réelles dand IR 3 3 - Points d’équilibre - Linéarisation 4 - Critères de Routh-Hurwitz 4. 1 Critères de Routh-Hurwitz dans IR 2 4. 2 Critères de Routh-Hurwitz dans IR 3 4. 3 Critères de Routh-Hurwitz dans IR 4 4. 4 Application en dynamique de populations

Généralités n Equation caractéristique : n Déterminants de Routh-Hurwitz : n Conditions de stabilité :

Plan du cours 1 - Introduction 2 - Formes de Jordan réelles dand IR 3 3 - Points d’équilibre - Linéarisation 4 - Critères de Routh-Hurwitz 4. 1 Critères de Routh-Hurwitz dans IR 2 4. 2 Critères de Routh-Hurwitz dans IR 3 4. 3 Critères de Routh-Hurwitz dans IR 4 4. 4 Application en dynamique de populations

Exemple à 3 populations n Communauté réduite de 3 populations : Croissance liée à prédation Prédateurs Proies 1 Proies 2 Mortalité naturelle Croissance exponentielle sans x Mortalité liée à prédation Croissance logistique sans x n Critère de Routh-Hurwitz pour vérifier si les 3 populations peuvent coexister

Point d’équilibre non trivial (possible coexistence des 3 espèces) : n Condition d’existence dans quadrant positif :

Stabilité n Jacobienne : n Au point d’équilibre non trivial : n Equation caractéristique :

Stabilité n Conditions de stabilité asymptotique : OK OK OK

Conclusion Sous la condition d’existence de (x*, y*, z*), on a coexistence des 3 populations n Chroniques

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Généralités n Le système différentiel d’équilibre stable si et seulement si admet un point asymptotiquement Condition nécessaire et suffisante, équivalente aux critères de Routh-Hurwitz n Critères qualitatifs pour juger de la stabilité d’un point d’équilibre

Plan du cours 1 - Introduction 2 - Formes de Jordan réelles dand IR 3 3 - Points d’équilibre - Linéarisation 4 - Critères de Routh-Hurwitz 5 - Critères qualitatifs de stabilité 5. 1 La matrice de communauté 5. 2 Le graphe de communauté 5. 3 Les conditions de Quirck-Ruppert 5. 4 Le test des couleurs

Généralités n Soit le système différentiel admettant comme point d’équilibre n Linéarisation : aij strictement positifs, strictement négatifs ou nuls n Matrice des communautés = matrice des signes des aij

Exemples n Exemple 1 : n Exemple 2 : généralisation X* point d’équilibre :

Exemples n Calcul de la matrice jacobienne : Termes diagonaux : Termes non diagonaux : et Donc si xi* > 0, les termes non diagonaux mij de la matrice de communauté sont du signe de bij et les termes diagonaux mii du signe de bii

Plan du cours 1 - Introduction 2 - Formes de Jordan réelles dand IR 3 3 - Points d’équilibre - Linéarisation 4 - Critères de Routh-Hurwitz 5 - Critères qualitatifs de stabilité 5. 1 La matrice de communauté 5. 2 Le graphe de communauté 5. 3 Les conditions de Quirck-Ruppert 5. 4 Le test des couleurs

Généralités n Traduction exacte de la matrice de communauté Si mij > 0 et mji < 0 (i ≠ j) : lien de prédation entre espèces i et j n Exemple 1 :

Exemple 2 n 3 parasitoïdes P 1, P 2 et P 3 attaquent 3 stades différents d’un même hôte H 1, H 2 et H 3

Exemple 3 n Communauté à 5 espèces : l’espèce 2 exploite l’espèce 1, l’espèce 3 exploite l’espèce 2 … le long d’une chaîne trophique. L’espèce 3 auto-régule sa croissance :

Plan du cours 1 - Introduction 2 - Formes de Jordan réelles dand IR 3 3 - Points d’équilibre - Linéarisation 4 - Critères de Routh-Hurwitz 5 - Critères qualitatifs de stabilité 5. 1 La matrice de communauté 5. 2 Le graphe de communauté 5. 3 Les conditions de Quirck-Ruppert 5. 4 Le test des couleurs

Généralités n But : conclure, à partir de la matrice ou du graphe de communauté, à la stabilité d’un point d’équilibre (pas de différenciation entre stabilité neutre et asymptotique). n 5 conditions de stabilité de Quirck-Ruppert : 1 - (pas de boucle de rétroaction positive) 2 pour au moins une valeur de i (au moins une boucle de rétroaction négative) 3 - (pas de lien +/+ ou -/- entre 2 espèces) 4 pour toute séquence i, j, k, …, q, r, i de 3 ou + d’indices distincts (pas boucles de 3 ou + qui se referment) 5 - det(A*) ≠ 0 (aucun noeud dépourvu de flèche entrante)

Exemple 1 1 - OK 2 - OK (espèce 3) 3 - OK 4 - OK 5 - OK Le point d’équilibre non trivial est stable

Exemple 2 1 - OK 2 - OK (espèces H 1, H 2 et H 3) 3 - OK 4 - NON : H 1 -H 2 -H 3 -H 1 5 - OK On ne peut pas conclure

Exemple 3 1 - OK 2 - OK (espèce 3) 3 - OK 4 - OK 5 - OK Le point d’équilibre non trivial est stable

Plan du cours 1 - Introduction 2 - Formes de Jordan réelles dand IR 3 3 - Points d’équilibre - Linéarisation 4 - Critères de Routh-Hurwitz 5 - Critères qualitatifs de stabilité 5. 1 La matrice de communauté 5. 2 Le graphe de communauté 5. 3 Les conditions de Quirck-Ruppert 5. 4 Le test des couleurs

Généralités n But : montrer la stabilité asymptotique d’un point d’équilibre dont on a montré qu’il est stable avec les conditions de Quirck. Ruppert. n Etapes : - Vérifier les conditions de Quirck-Ruppert. Faire le test des couleurs Si échec du test des couleurs, alors on peut conclure à la stabilité asymptotique

Test des couleurs n Convention : nœud qui s ’autorégule coloré en noir, les autres en blanc n Conditions : 1 - Au moins un nœud blanc 2 - Chaque nœud blanc connecté à un autre nœud blanc par un lien de prédation +/3 - Chaque nœud noir connecté à deux nœuds blancs par des liens de prédation n Conclusion : si toutes les conditions sont réunies on ne peut pas conclure, autrement point d’équilibre asymptotiquement stable

Exemple 1 1 - OK 2 - OK (espèce 3) 3 - NON Le point d’équilibre non trivial est asymptotiquement stable

Exemple 3 1 - OK 2 - OK (espèce 3) 3 - OK Le point d’équilibre non trivial est stable mais on ne peut pas conclure quant à sa stabilité asymptotique