Chapitre 4 ENSEMBLES DE SOLIDES INDEFORMABLES LIAISONS ET

Chapitre 4 ENSEMBLES DE SOLIDES INDEFORMABLES : LIAISONS ET EFFORTS INTERNES 1 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

Chapitre 4 ENSEMBLES DE SOLIDES INDEFORMABLES : Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES • 1 Introduction • 2 Cas des constructions planes • 3 Calcul des actions de liaison • 4 Isoler un solide ou un fragment de solide • 5 Coupe et efforts internes • 6 Exemples 2 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

1 Introduction Les assemblages entre solides indéformables ont en pratique une double fonction : q Empêcher le mouvement relatif de deux solides assemblés (en tout ou partie) q Assurer dans certains cas la transmission des charges de proche en proche depuis leur zone d’application jusqu’au sol de fondation Figure 1 3 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

1 Introduction Translation Figure 2 4 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

1 Introduction Rotation Figure 3 5 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 1 Introduction Figure 4 3 2 1 4 Action du solide 1 sur le solide 2 Action du solide 2 sur le solide 3 Action du solide 3 sur le solide 4 6 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 1 Introduction Figure 5 3 2 1 4 Si les solides 1 et 4 sont des appuis (solides particuliers comme des poteaux, des murs, etc… la liaison s’appelle appui) Sont les « réactions d’appui » 7 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 1 Introduction A B Figure 6 Cas d’un solide « isolé » Sont les « réactions d’appui » 8 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 2 Appui simple Fonction : s’oppose à une translation. Contact lisse, sans frottement. Permet la libre dilatation des ouvrages sous l’action des variations de température par exemple. Solide A Liaison Appui A +y Figure 7 + +x Point d’application A connu et direction connue Sens inconnu (action bilatérale) Intensité inconnue 9 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 2 Appui simple Figure 8 Appui à rouleaux (noter l’amplitude) Figure 9 10 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 2 Appui simple Linteau Figure 8 Figure 9 11 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 2 Appui simple Figure 10 Appui néoprène. Appui simple d Figure 10 12 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 3 Appui double Figure 11 13 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 3 Appui double Figure 11 Deux blocages de translation : Point d’application connu A Direction inconnue Sens inconnu a priori Intensité inconnue +y + +x 14 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 3 Appui double Figure 13 15 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 3 Appui double Figure 14 16 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 3 Appui double Figure 15 17 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 4 Appui triple Encastrement Liaison complète Translations empêchées. Point d’application connu Direction inconnue (2 composantes FRAX et FRAY) Sens inconnu Intensité inconnue Rotation empêchée. Point d’application connu Direction perpendiculaire au plan de la structure Sens inconnu Intensité inconnue Moment « d’encastrement » 18 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 4 Appui triple Figure 16 Encastrement 19 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 25 Modélisation • Les 3 types d’appui plans: - simple : 1 inconnue (force) - double : 2 inconnues (forces) - triple : 3 inconnues (forces + moment) 20 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 5 Modélisation Figure 17 21 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 6 Mécanismes Figure 18 • La poutre peut se déplacer sans se déformer (déplacement d’ensemble) 22 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 6 Mécanismes 23 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

2 Cas des constructions planes 2. 7 Equilibre limite Pour qu’il y ait translation il faut que le rapport H/P soit supérieur au coefficient de frottement relatif des solides 1 et 2 qui dépend des matériaux et de l’état de surface de leur zone commune H 4 3 2 1 0 Figure 20 1 2 P 24 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

3 Calcul des actions de liaison 3. 1 Méthode 1. Dessiner le solide et indiquer les cotes. Placer les liaisons 2. Donner un nom à toutes les actions connues, les dessiner sur le plan, en indiquant 1. leur point d’application Ai, leur support, leur sens et leur intensité pour les forces, 2. leur point d’application Bj, leur sens et leur intensité M*j pour les couples. 3. Donner un nom à toutes les actions inconnues de liaisons entre les solides. Le point d’application et le support sont associées aux modes de liaison (d’assemblage, voir chapitre 4). L’intensité et le sens seront le résultat d’un calcul. 4. Choisir un système d’axes de référence (x. Oy) et les conventions de signe (pour la rotation privilégier le sens trigonométrique) 5. Calculer les composantes des forces et des moments connus 6. Donner un nom aux composantes des forces et des moments inconnus 7. Effectuer les calculs des actions en écrivant les équations d’ équilibre 25 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

3 Calcul des actions de liaison 2 Cas des constructions planes 3. 2 Systèmes isostatiques La valeur des actions de liaison ne dépend ni du matériau, ni de la forme des sections droites des poutres. 26 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

3 Calcul des actions de liaison 3. 3 Exemple 1 F, 10000 N 60° B A 4. 00 0. 5 27 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

3 Calcul des actions de liaison 3. 3 Exemple 2 G G 28 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

3 Calcul des actions de liaison 3. 3 Exemple 3 a Appui double b Appui simple 29 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

3 Calcul des actions de liaison 3. 3 Exemple 4 a Appui double b Appui simple 30 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

3 Calcul des actions de liaison 3. 3 Exemple 5 Superposition des états d’équilibre a=b+c a = b + c 31 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

3 Calcul des actions de liaison Charge répartie 3. 3 Exemple 6 d « p » F=d. p 32 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

4 Isoler un solide ou un fragment de solide 1 4. 1 Isoler un solide 2 3 4 7 5 6 33 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

4 Isoler un solide ou un fragment de solide 4. 1 Isoler un solide 1. 2. 3. 4. 5. 6. Dalle Poutres (3) Poteaux (3) Mur Semelle Plots de fondation (3) Chaque solide isolé doit être en équilibre sous l’ensemble des actions auxquelles il est soumis. René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES 34

4 Isoler un solide ou un fragment de solide 4. 2 Concept de coupe Création de deux fragments par une coupe virtuelle du solide, soit par un trait, soit par une surface Tout fragment de solide soumis à un ensemble de forces en équilibre est lui même soumis à un système de forces différent en équilibre 35 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

4 Isoler un solide ou un fragment de solide 4. 3 Equilibre du fragment de solide Règles de la coupe: si on fragmente un solide en équilibre • tout fragment est en équilibre • des forces internes naissent sur les faces des coupes Les forces internes • elles apparaissent par paires, étant égales et directement opposées 36 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

4 Isoler un solide ou un fragment de solide 4. 3 Équilibre du fragment de solide S 1 S 2 S 3 S 4 37 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

5 Coupe et efforts internes Tout fragment de solide soumis à un ensemble de forces en équilibre est lui même soumis à un système de forces différent en équilibre Charge « p » mur poteau 38 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

5 Coupe et efforts internes B A 39 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

5 Coupe et efforts internes FRG B MRG G A 40 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

5 Coupe et efforts internes FRG MRG G S 41 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

5 Coupe et efforts internes FRG MRG G 42 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

5 Coupe et efforts internes z’ FRG Effort Tranchant V x’ M = MRG G Moment fléchissant Gauche N Effort Normal S Droite 43 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

5 Coupe et efforts internes Effort Tranchant z’ V x’ Moment fléchissant > 0 Fibres supérieures M comprimées G N Effort Normal > 0 compression Gauche S Droite 44 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

5 Coupe et efforts internes z’ y’ G x’ 45 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

5 Coupe et efforts internes Conventions Fragment de poutre 46 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES

5 Coupe et efforts internes Sollicitations : Compression ou traction simple Flexion pure Cisaillement simple Flexion composée avec compression ou traction 47 René Motro – Cours de Résistance des matériaux Chapitre 4 LIAISONS ET EFFORTS INTERNES