Chapitre 3 Variables alatoires relles continues 3 1

Chapitre 3: Variables aléatoires réelles continues

3. 1 Variable aléatoire continue (v. a. c) ØDéfinition : Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle de nombres réels. ØExemples : – Soit la v. a. X représentant la durée de vie, en jours d’une ampoule électrique. – Soit la v. a. X représentant le pourcentage d’un projet réalisé après 6 mois. Ø Important: Pour une v. a. c. X, on ne peut pas parler de la probabilité que X prenne une valeur x mais plutôt de la probabilité qu’elle se retrouve dans un intervalle donné

3. 1 Variable aléatoire continue Exemple Ø f(x): fonction de densité de probabilité où X est la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en années d’une ampoule Forme analytique

3. 1 Variable aléatoire continue: Loi et fonction de répartition Ø La probabilité que la v. a. c. X prenne une valeur dans un intervalle entre a et b est donnée par l’aire sous le graphique de la fonction de densité de probabilité f(x) entre a and b. Ø F représente la fonction de répartition de X: Ø La probabilité en un point est nulle: Ø Puisque L’aire sous la courbe doit être égale à 1. alors: Une probabilité est toujours positive

3. 1 Variable aléatoire continue: Représentation graphique P(0≤X≤ 1, 5) Exemple : Calculer la probabilité que la durée de vie de l’ampoule électrique soit comprise entre 0 et 1, 5 an.

3. 1 variable aléatoire continue: Espérance et variance Ø L’espérance d’une variable aléatoire est définie comme suit: Ø La variance d’une variable aléatoire est définie comme suit: Ø Pour l’exemple de la durée de vie d’une ampoule E(X) et V(X) sont:

3. 2 Distribution uniforme: Définition, Espérance et variance Ø Ø Ø Lorsque la probabilité est proportionnelle à la longueur de l’intervalle, la v. a. c. est distribuée de façon uniforme Une v. a. c X obéit à une distribution uniforme sur un intervalle [a, b] si sa densité de probabilité est donnée par : On note ceci comme suit: X U(a, b) ; En outre, E(X)=(a+b)/2 et V(X)=(b-a)2 /12; La fonction de répartition de X est:

3. 2 Distribution uniforme Exemple Ø Supposons que la concentration d’un certain polluant est distribuée uniformément sur l’intervalle 6 à 22 mgpmc. Si la concentration excède 16 mgpmc, on considère le polluant comme toxique. Quelle est la probabilité de déclarer le polluant comme toxique? P(X>16) = (1/16)(6) = 0, 375

3. 3 Distribution exponentielle: Définition, Espérance et Variance Définition: Soit m >0, on dit qu’une v. a. c X suit la loi exponentielle si sa fonction densité est de la forme: L’espérance , la variance et la fonction de répartition de X sont :

3. 3 Distribution exponentielle: Notes Ø Ø La loi exponentielle est utile pour décrire la durée de réalisation d’une tâche Exemples: – le temps entre les arrivées à un lave-autos – la distance entre les défauts majeurs d’une autoroute – dans les files d’attente, la distribution exponentielle est souvent utilisée pour le temps de service Liée à la loi de Poisson qui fournit une bonne description du nombre d’occurrences par intervalle Loi exponentielle fournit une bonne description de la longueur de l’intervalle entre les occurrences

3. 3 Distribution exponentielle: Relation entre les distributions de Poisson et exponentielle Ø Loi (discrète) de Poisson utile pour examiner le nombre d’occurrences d’un événement dans un intervalle de temps ou d’espace donné – Loi de Poisson fournit une description du nombre d’occurrences par intervalle Ø Loi (continue) exponentielle fournit une description de la longueur des intervalles entre les occurrences Ø Le paramètre de la loi exponentielle est l’inverse du paramètre de la loi Poisson

3. 4 Distribution normale: Définition, Espérance et Variance Ø Définition: Une v. a. c X pouvant prendre toutes les valeurs réelles x dans l’intervalle de - à + , pour s + dont la fonction de densité est : s’appelle une v. a. normale de paramètres m et s 2: X N( , s 2) Ø L’espérance et la variance de X sont données comme suit:

3. 4 Distribution normale: Forme de la distribution normale • Il existe une famille entière de lois normales. Elles se différencient par leur moyenne et leur variance • Courbe en cloche • Courbe symétrique • La moyenne, le mode et la médiane correspondent au même point (le point le plus élevé) • L’écart type détermine la largeur de la courbe, plus il est grand, plus la courbe sera large et aplatie • L’aire totale sous la courbe est 1 f (x ) • Aussi appelée loi Gaussienne ou loi de Gauss x

3. 4 Distribution normale: Notes Ø 68, 26% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle [m-s; m+s] Ø 95, 44% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle [m-2 s; m+2 s] Ø 99, 72% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle [m-3 s; m+3 s]

3. 4 Distribution normale: La loi normale centrée réduite Ø Ø Une v. a. c. qui a une distribution de probabilité normale de moyenne 0 et écart type 1, suit ce qu’on appelle une loi normale centrée réduite. Cette variable est souvent dénotée par la lettre Z On peut convertir une v. a. c. X qui suit une loi normale de moyenne m et écart type s en une variable normale centrée réduite Z : Étant donné une valeur z, nous utilisons la table normale centrée réduite pour trouver la probabilité (l’aire sous la courbe) qui lui est associée.

3. 4 Distribution normale: Exemple Soit X une variable aléatoire qui suit N(15, 20). Calculer p(0<X<20): p(15<X<20)=p(0<Z<0. 25)=0. 0987 Aire cherché 0 0, 25 z

3. 4 Distribution normale: Convergence de la binomiale vers la normale Ø Si X Bi (n, p) X N ( np, npq) Ø La distribution normale est une bonne approximation de la distribution binomiale lorsque: – np≥ 5 et n(1 -p) ≥ 5 Ø Un factor de correction de continuité peut être nécessaire pour s'assurer que la probabilité d'une valeur spécifique discrète est incluse dans le calcul. P(X=12) est approximé par P(11, 5 ≤ X ≤ 12, 5) • Facteur de correction = 0, 5