Chapitre 3 Cinmatique des milieux continus Etude des

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- CHAPITRE III CINEMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS : ETUDE DES DEFORMATIONS. La formulation appropriée pour l'étude des déformations, est essentiellement lagrangienne. Ouvrage : Mécanique des milieux continus Editeur : Publibook (Paris) http: //www. publibook. com Professeur Amar Kifani 1

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- 1. Formules du transport dans une transformation homogène. 1. 1 - Définition d'une transformation homogène. Au cours du mouvement, le milieu continu subit une transformation homogène entre les configurations et , si s'explicite sous forme d'une correspondance affine entre et d'une particule dans et , c'est-à-dire si : Professeur Amar Kifani 2

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- Compte tenu de ce qui à été dit sur les tenseurs, la relation (1) montre que F(t) est un tenseur de deuxième ordre, dont les composantes forment une matrice 3 x 3, est un vecteur dont les composantes forment une matrice colonne, F(t) et sont fonctions de la seule variable t. La relation (1) est équivalente à : (3) Professeur Amar Kifani 3

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- Compte tenu du caractère affine de la transformation homogène, un vecteur dans son transport par le mouvement entre les configurations demeure un vecteur . Professeur Amar Kifani 4

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Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- Soit un vecteur matériel dans . se déforme au cours du mouvement tout en restant un vecteur (caractère affine de la transformation homogène) et devient un vecteur dans la configuration Kt. Figure 1 - Transport convectif d'un vecteur matériel. Professeur Amar Kifani 6

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- Le transport par le mouvement, d'un vecteur matériel, appelé transport convectif d'un vecteur entre , s'écrit, compte tenu de (3) : Nous noterons F(t) = F et = G La démonstration de (5) est indiquée ci-après : Professeur Amar Kifani 7

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- A partir de la relation (1) indiquant une transformation homogène, démontrons la relation Professeur Amar Kifani 8

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- 1. 2. 2 - Transport convectif d'un volume ( cf. figure 2 ). Figure 2 - Transport convectif d'un volume. Professeur Amar Kifani 9

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- Considérons le parallélépipède de construit sur de sommet . Dans le transport convectif, son homologue est le parallélépipède construit sur de sommet M. Au chapitre II, nous avions vu que si était l'élément de volume dans , et son homologue dans , alors : Ici, nous avons : = Professeur Amar Kifani 10

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- Figure 3 - Transport convectif d'un vecteur-aire. Professeur Amar Kifani 11 11

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Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- Sachant que d'après la relation (5), on peut écrire : En multipliant les deux membres de la relation précédente par , on trouve : Professeur Amar Kifani 15

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Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- 2. Déformations dans une transformation homogène d'un milieu continu. 2. 1 - Tenseur des dilatations ( cf. figure 4 ). On se propose d'étudier les déformations subies par la géométrie du milieu continu, dans la transformation homogène, entre la configuration Ko et la configuration Kt. Figure 4 - Déformations dans une transformation homogène. Professeur Amar Kifani 17

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- Examinons les propriétés métriques deux configurations en cherchant le produit scalaire . Professeur Amar Kifani 18

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- D'après la relation (5) donnant le transport convectif d'un vecteur, on peut écrire : et Professeur Amar Kifani 19

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- 2. 2 - Utilisation du tenseur des dilatations 2. 2. 1 - Dilatation dans la direction de ( cf. figure 5 ). Figure 5 - Dilatation et allongement unitaire dans une direction . Professeur Amar Kifani 20

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- 2. 3 - Tenseur des déformations de GREEN- LAGRANGE Nous venons de voir que le produit scalaire des vecteurs dans Ko est relié aux vecteurs homologues dans Kt par le tenseur des dilatations : Nous allons voir maintenant que fait intervenir un tenseur appelé tenseur des déformations de GREEN- LAGRANGE. Professeur Amar Kifani 21

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- Calculons donc : tenseur unité du second ordre Tenseur des déformations de GREEN-LAGRANGE Professeur Amar Kifani 22

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- Déplacement U(X, t) Kt K 0 M 0 X U(X, t) x M A chaque instant ( t fixé ), on peut écrire : Professeur Amar Kifani 23

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- gradient du champ de déplacement en , à l’instant t. Professeur Amar Kifani 24

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- Le tenseur des dilatations et le tenseur de GREEN-LAGRANGE peuvent être écrits à partir des Déplacements. Professeur Amar Kifani 25

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- En coordonnées cartésiennes orthonormées, les composantes de sont : Non linéarité Professeur Amar Kifani 26

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- Linéarisation : tenseur linéarisé des déformations Dans l’hypothèse des petites perturbations (H. P. P. ) le gradient de déplacement est un infiniment petit du premier ordre. La transformation du milieu entre les configurations K 0 et Kt est alors dite infinitésimale si elle est telle que : Professeur Amar Kifani 27

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Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- On sait que tout tenseur du deuxième ordre T peut être décomposé de façon unique en la somme d'un tenseur systémique S et d'un tenseur antisymétrique A. Professeur Amar Kifani 29

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Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- Compatibilité d'un champ de déformation linéarisé. Considérons le cas H. P. P. Si le champ de déplacements du milieu continu est donné, c'est-à-dire que si l'on connaît trois fonctions de point à l'instant t, on sait que : Professeur Amar Kifani 31

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Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- Compatibilité d’un champ de déformation ( Résumé ) Professeur Amar Kifani

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- Conditions de compatibilité : Calculons donc à partir des . On sait que la condition d'intégrabilité de la forme différentielle Adx = Bdy est Professeur Amar Kifani 34

Chapitre 3 – Cinématique des milieux continus : Etude des déformations ------------------------- l l l m + p m l m + n Ouvrage : Mécanique des milieux continus Editeur : Publibook (Paris) http: //www. publibook. com Professeur Amar Kifani p n n n - l p m - p n 35