Chapitre 2 calcul vectoriel et matriciel Niveau Licence

Chapitre 2: calcul vectoriel et matriciel Niveau : Licence pétrochimie – troisième semestre Université du 20 aout 55 – Skikda

Chapitre 2 Calcul vectoriel et matriciel 2. 1. Introduction. 2. 2. Les vecteurs : déclaration, accès a un élément, calculs vectoriels. 2. 3. La fonction linspace. 2. 4. Les matrices : déclaration, accès à un élément. 2. 5. Instructions pour la génération automatique de matrices spécifiques. 2. 6. Les opérations de base sur les matrices. 2. 7. Quelques fonctions pour le traitement des matrices. 2. 8. Résolution d'un système d'équations linéaires.

Chapitre 2 2 -1 -Introduction : Matlab était conçu à l’origine pour permettre aux mathématiciens, scientifiques et ingénieurs d‘utiliser facilement les mécanismes de l’algèbre linéaire. Par conséquent, l’utilisation des vecteurs et des matrices est très intuitif et commode en Matlab. Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -2 -Vecteur: Un vecteur est une liste ordonnée d’éléments. Si les éléments sont arrangés horizontalement on dit que le vecteur est un vecteur ligne, par contre si les éléments sont arrangés verticalement on dit que c’est un vecteur colonne. Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -2 -Vecteur: Pour créer un vecteur ligne il suffit d’écrire la liste de ses composants entre crochets [ ] et de les séparés par des espaces ou des virgules comme suit : >> V = [ 5 , 2 , 13 , -6 ] % Création d’un vecteur ligne V V = 5 2 13 -6 >> U = [ 4 -2 1 ] % Création d’un vecteur ligne U U = 4 -2 1 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -2 -Vecteur: Pour créer un vecteur colonne il est possible d’utiliser une des méthodes suivantes : üécrire les composants du vecteur entre crochets [ ] et de les séparés par des points-virgules (; ) comme suit : >> U = [ 4 ; -2 ; 1 ] % Création d’un vecteur colonne U U = 4 -2 1 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -2 -Vecteur: üécrire verticalement le vecteur : >> U = [ 4 -2 1 ] U = 4 -2 1 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -2 -Vecteur: ücalculer le transposé d’un vecteur ligne : >> U = [ 4 -2 1 ]' % Création d’un vecteur colonne U U = 4 -2 1 Donc, le transposé d’un vecteur colonne est de quelle dimension? >> U = [ 4 ; -2 ; 1 ]’ Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -2 -Vecteur - calcul vectoriels : Définition automatique d’un vecteur: Si les composants d’un vecteur X sont ordonnés avec des valeurs consécutives avec un pas (d’incrémentation/décrémentation), nous pouvons spécifier le pas avec la notation : X = [premier_élément : le_pas : dernier_élément] Le pas est facultatif si il est égal à 1. Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -2 -Vecteur - calcul vectoriels : Définition automatique d’un vecteur: >> X = [0: 2: 10] % Les nombres pairs < >> A = [1 2 3]; 12 >> B = [A, 4, 5, 6] X = B = 0 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6 >> V = [ 1: 2: 5 , -2: -3: -10 ] >> B = [A ; 4, 5, 6] V = B = ? 1 3 5 -2 -5 -8 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -2 -Vecteur - calcul vectoriels : Référencement et accès aux éléments d’un vecteur : nom_vecteur ( positions ) Les parenthèses (et) sont utilisées ici (pour la consultation). Les crochets [et] sont utilisés uniquement pendant la création. positions : peut être un simple numéro, ou une liste de numéro (un vecteur de positions) Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -2 -Vecteur - calcul vectoriels : Référencement et accès aux éléments d’un vecteur : >> V(2: 4) % de la 2ème position jusqu'au 4ème >> V = [5, -1, 13, -6, 7] ans = V = -1 13 -6 5 -1 13 -6 7 >> V(4: -2: 1) % de la 4 eme pos >> V(3) % la 3 eme positionjusqu‘au 1 ere avec pas-2 ans = -6 -1 13 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -2 -Vecteur - calcul vectoriels : Référencement et accès aux éléments d’un vecteur : >> V(9) = 5 % ajouter un 9ème >> V(3: end) % de la 3 eme positionélément 0 -3 7 -6 13 -1 8 ans = 5 13 -6 7 >> V(2) = [ ] % Supprimer le deuxième >> V(1) = 8 % donner la valeur 8élément au 1 er V = 0 0 -3 13 7 8 -6 8 -1 13 -6 7 5 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel eme

Chapitre 2 2 -2 -Vecteur - calcul vectoriels : Les opérations sur les vecteurs : Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des calcules élément par élément en utilisant les opérations suivantes : >> u = [-2, 6, 1] ; >> u+v ans = >> v = [ 3, -1, 4] ; 1 5 5 >> u+2 >> v(4) = 2; ans = >> u+v ? ? ! 0 8 3 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -2 -Vecteur - calcul vectoriels : Les opérations sur les vecteurs : Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des calcules élément par élément en utilisant les opérations suivantes : >> u = [-2, 6, 1] ; >> u-v ans = >> v = [ 3, -1, 4] ; -5 7 -3 >> u-2 >> v(4) = 2; ans = >> u-v ? ? ! -4 4 -1 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -2 -Vecteur - calcul vectoriels : Les opérations sur les vecteurs : Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des calcules élément par élément en utilisant les opérations suivantes : >> u = [-2, 6, 1] ; >> u. *v ans = >> v = [ 3, -1, 4] ; -6 4 >> u * 2 >> u * v ? ? ! ans = >> u * v’ ? ? ! % ‘ le transposé -4 12 2 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -2 -Vecteur - calcul vectoriels : Les opérations sur les vecteurs : Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des calcules élément par élément en utilisant les opérations suivantes : >> u. /v >> u = [-2, 6, 1] ; ans = >> v = [ 3, -1, 4] ; -0. 6667 -6. 0000 0. 2500 >> u/2 >> u. v ? ? ! ans = >> u /v ? ? ! -1. 0000 3. 0000 0. 5000 >> u /v’ ? ? ! Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel >> u * v^-1 ? ? !

Chapitre 2 2 -2 -Vecteur - calcul vectoriels : Les opérations sur les vecteurs : Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des calcules élément par élément en utilisant les opérations suivantes : >> u = [-2, 6, 1] ; >> u. ^v ans = >> v = [ 3, -1, 4] ; -8. 0000 0. 1667 >> u. ^2 1. 0000 >> u ^ v ? ? ! ans = >> u ^ v’ ? ? ! 4 36 1 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 - 3 - La fonction Linspace : La création d’un vecteur dont les composants sont ordonnés par intervalle régulier et avec un nombre d’éléments bien déterminé peut se réaliser avec la fonction : Linspace (début, fin, nombre d’éléments). Le pas d’incrémentation est calculé automatiquement par Matlab selon la formule : Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 - 3 - La fonction Linspace : >> X = linspace(1, 10, 4) % un vecteur de quatre élément de 1 à 10 X = 1 4 7 10 >> Y = linspace(13, 40, 4) % un vecteur de quatre élément de 13 à 40 Y = 13 22 31 40 La taille d’un vecteur (le nombre de ses composants) peut être obtenue avec la fonction length comme suit : >> length(X) % la taille du vecteur X ans = 4 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -4 - Matrice : Définition d’une matrice : Une matrice est un tableau rectangulaire d’éléments (bidimensionnels), pour créer une matrice, il faut respecter les règles suivantes : üLes éléments doivent être mises entre des crochets [ ] üLes espaces ou les virgules sont utilisés pour séparer les éléments dans la même ligne üUn point virgule (ou la touche entrer) est utilisé pour séparer les lignes Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -4 - Matrice : Définition d’une matrice : Pour illustrer, considérant la matrice suivante : On peu écrire: >> A = [1, 2, 3, 4 ; 5, 6, 7, 8 ; 9, 10, 11, 12] ; >> A = [1 2 3 4 ; 5 6 7 8 ; 9 10 11 12] ; >> A=[[1; 5; 9] , [2; 6; 10] , [3; 7; 11] , [4; 8; 12]] ; Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -4 - Matrice : Référencement et accès aux éléments d’une matrice : nom_matrice ( numéro de ligne, numéro de colonne ) Numéro : peut être un simple numéro, ou une liste de numéro (un vecteur de positions) Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -4 - Matrice : Référencement et accès aux éléments d’un vecteur : üL’accès à un élément de la ligne i et la colonne j se fait par : A(i , j) üL’accès à toute la ligne numéro i se fait par : A(i , : ) üL’accès à toute la colonne numéro j se fait par : A(: , j) üL’accès à une sous-matrice se fait par A(i 1: i 2 , j 1: j 2) Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -4 - Matrice : Référencement et accès aux éléments d’un vecteur : >> A(2, 3) >> A(1, : ) >> A(: , 2) >> A(2: 3, : ) >> A(1: 2, 3: 4) % l’élément sur la 2ème ligne à la 3ème colonne % tous les éléments de la 1ère ligne % tous les éléments de la 2ème colonne % tous les éléments de la 2ème et la 3ème ligne % La sous matrice supérieure droite Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -4 - Matrice : Référencement et accès aux éléments d’une matrice : Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -5 - Instructions pour la génération automatique de matrices spécifiques : Définition automatique d’une matrice : >> A = [1 : 2 : 5; 6 : 8; ………] ; zeros(n) % Génère une matrice n × n avec tous les éléments = 0 zeros(m, n) % Génère une matrice m × n avec tous les éléments = 0 ones(n) % Génère une matrice n × n avec tous les éléments = 1 ones(m, n) % Génère une matrice m × n avec tous les éléments = 1 eye(n) % Génère une matrice identité de dimension n × n magic(n) % Génère une matrice magique de dimension n ×n rand(m, n) % Génère une matrice de dimension m × n de valeurs Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel aléatoires

Chapitre 2 2 -6 - Les opérations de base sur les matrices : Les opérations sur les matrices : Entre deux matrice, il est possible de réaliser les C’est quoi les opérations suivantes: conditions? ? . La division inverse élément par ‘ Le transposé élément + L’addition. ^ La puissance élément par élément - La soustraction * La multiplication matricielle. * La multiplication élément par élément / La division matricielle (A/B) = . / La division élément par élément Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel (A*inv(B))

Chapitre 2 2 -6 - Les opérations de base sur les matrices : Les opérations sur les matrices : Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -6 - Les opérations de base sur les matrices : Les opérations sur les matrices : Le produit matriciel est : associatif : ABC = (AB)C = A(BC) distributif par rapport à l'addition : A(B + C) = AB + AC non commutatif : AB n'est pas égal à BA en général. Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -6 - Les opérations de base sur les matrices : Les opérations sur les matrices : L’inverse d’une matrice carrée: Le nombre ad - bc est appelé déterminant de la matrice A, noté : La matrice inverse A-1 n'existe donc que si det A est différent de zéro. Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -6 - Les opérations de base sur les matrices : Les opérations sur les matrices : >> A=ones(2, 3); >> B=zeros(3, 2) >> B=B+3 >> A*B >> B=[B , [3 3 3]'] >> B=B(1: 2, : ) >> A=A*2 >> A. *B >> A*eye(3) % ou bien B(3, : )=[] % ou bien B(: , 3)=[3 3 3]’ Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -6 - Les opérations de base sur les matrices : Les opérations sur les matrices : Concaténation de matrices: >> A = [1, 2, 3, 4 ; 5, 6, 7, 8 ; 9, 10, 11, 12] ; >> B = [-1 -2 -3 -4 ; -5 -6 -7 -8] ; >> C = [-1 -2 -3 ; -5 -6 -8 ; -9 -11 -12] ; C’est quoi >> D = [A, B] ; conditions? ? >> D = [A; B] ; les >> D = [A, C] ; >> D = [A; C] ; Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -6 - Les opérations de base sur les matrices : Les conditions des opérations sur les matrices : ‘ Le transposé : aucune condition. + : A et B doivent être identique. - : A et B doivent être identique. . * , . / , . , . ^ : A et B doivent être identique. *, /: il faut que les dimension de A(n, m) et B(m, f) (donc nombre de colonnes de A = nombre de linges de B). D = [A, B] : il faut que les dimension de A(n, m) et B(n, f). D = [A; B] : il faut que les dimension de A(n, m) et B(f, m). Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -7 - Quelques fonctions pour le traitement des matrices : Voici quelques fonctions pour le traitement de Size % La taille d’une matrices : Inv % Déterminant d’une matrice Cross Diag % L’inverse d’une matrice Rank % Rang d’une matrice Trace % Trace d’une matrice Eig % Valeurs propres Det Dot Norm % Produit vectoriel de 2 vecteurs % Diagonal d’une matrice diag(V) % Crée une matrice ayant le vecteur V dans le diagonal et 0 ailleurs. Tril % La partie triangulaire inferieure Triu % La partie triangulaire % Produit scalaire de 2 vecteurs supérieure % Norme d’un vecteur Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -8 - Résolution d’un systèmes linéaires : Tout système linéaire peut être représenté sous forme matricielle. La résolution d'un tel système fait appel à la notion d'inverse d'une matrice. Considérons le système d'équations suivant: Ce système peut être écrit sous une forme matricielle: AX = B, avec: Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -8 - Résolution d’un systèmes linéaires : Résoudre ce système d'équations, c'est trouver X tel que: AX = B X = inv(A)*B ou X = A B La résolution du système précédent: >> A = [3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; >> B = [10 ; 5 ; -1]; >> X = inv(A)*B >> X = AB Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

Chapitre 2 2 -8 - Résolution d’un systèmes linéaires : Soit le système d'équations paramétriques : On cherche à exprimer x 1, x 2 et x 3 en fonction de b 1, b 2 et b 3 : >> A = [ -1 2 1 ; -1 1 2 ; 1 -2 1 ] >> format rational Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel >> inv(A)

Chapitre 2 2 -8 - Résolution d’un systèmes linéaires : Soit le système de 2 équations à 2 inconnues : 2 x 1 + 3 x 2 = 9 x 1 - x 2 = 2 Soit : x 1 = 3, x 2 = 1. Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel