CHAPITRE 13 Systmes de deux quations deux inconnues

CHAPITRE 13 Systèmes de deux équations à deux inconnues

Objectifs: -Savoir si un couple de nombres est solution d’un système. -Résoudre un système de deux équations à deux inconnues admettant une et une seule solution. -Mettre en équation et résoudre des problèmes conduisant à des systèmes.

I. Mise en équation d’un problème Dans une boulangerie, Paul achète 3 pains au chocolat et 2 croissants ; il paie 2, 80 €. Dans la même boulangerie, Juliette achète 1 pain au chocolat et 3 croissants ; elle paie 2, 10 €. Calculer le prix d’un pain au chocolat et d’un croissant. Choix des deux inconnues x le prix d’un pain au chocolat y le prix d’un croissant Mise en équations Les 2 équations sont liées Achat de Paul 1ère équation Achat de Juliette 2ème équation

Résoudre un système, c’est trouver un couple de nombres ( x ; y ) qui vérifie à la fois la 1ère équation et la 2ème équation du système. Exemples : - Le couple ( 0, 40 ; 0, 80 ) est-il solution de ce système ? On a 3 x 0, 40 + 2 x 0, 80 = 2, 80 et 0, 40 + 3 x 0, 80 = 2, 80 ≠ 2, 10 La 1ère équation est vérifiée Mais la 2ème équation n’est pas vérifiée le couple ( 0, 40 ; 0, 80 ) n’est pas solution du système. - Le couple ( 0, 60 ; 0, 50 ) est-il solution de ce système ? On a 3 x 0, 60 + 2 x 0, 50 = 2, 80 La 1ère équation est vérifiée et 0, 60 + 3 x 0, 50 = 2, 10 Et la 2ème équation également le couple ( 0, 60 ; 0, 50 ) est solution du système.

II. Méthode de résolution par combinaison linéaire Résoudre le système suivant : l 1 comme ligne 1 l 2 comme ligne 2

1ère étape : élimination des x Il faut obtenir le même nombre de x dans les 2 équations. l On va donc multiplier 1 par 4 et 12 x dans chaque équation. l 2 par 3 pour obtenir l 1 l 2 4 x 3 x On soustrait maintenant les deux équations membre à membre afin d’éliminer les x. Donc y=4

2ème étape : élimination des y Il faut obtenir le même nombre de y dans les 2 équations. l On va donc multiplier 1 par -5 et -10 y dans chaque équation. l 2 par 2 pour obtenir l 1 l 2 (-5) x 2 x On soustrait maintenant les deux équations membre à membre afin d’éliminer les y. Donc x=1 Le couple ( 1 ; 4 ) est solution du système.

III. Méthode de résolution par substitution Résoudre le système suivant : On isole une inconnue dans une équation. (ici x dans la 2ème équation) On substitue l’inconnue isolée dans l’autre équation. ( ici x par 2, 10 - 3 y dans la 1ère équation) On résout cette équation pour trouver une des deux inconnues. (ici y dans la première équation)

On résout cette équation pour trouver une des deux inconnues. (ici y dans la première équation) On substitue l’inconnue trouvée dans l’autre équation. ( ici y par 0, 50 dans la 2ème équation) On termine le calcul pour trouver la valeur de la 2ème inconnue. ( ici x dans la 2ème équation) Le couple ( 0, 60 ; 0, 50 ) est solution du système. Un pain au chocolat coûte 0, 60 € et un croissant 0, 50 €.