CHAPITRE 1 SECOND DEGRE I Equation du second

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CHAPITRE 1 SECOND DEGRE

CHAPITRE 1 SECOND DEGRE

I- Equation du second degré 1) Trinôme du second degré Une fonction polynôme du

I- Equation du second degré 1) Trinôme du second degré Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme du second degré) est une fonction f définie sur R par f(x)=ax²+bx+c où a, b, c sont des réels avec a≠ 0. L’expression f(x)=ax²+bx+c est la forme développée du polynôme.

2) Forme canonique - discriminant Exemple Cas général F(x)=2 x²+4 x-4 F(x)=ax²+bx+c On met

2) Forme canonique - discriminant Exemple Cas général F(x)=2 x²+4 x-4 F(x)=ax²+bx+c On met le coefficient de x² en facteur f(x)=2(x²+2 x-2) f(x)=a(x²+b/ax+c/a) On reconnaît une identité remarquable (x+1)²=x²+2 x+1 Donc x²+2 x=(x+1)²-1 f(x)=2[(x+1)²-12] (x+b/2 a)²=x²+b/ax+b²/4 a² F(x)=2[(x+1)²-3] f(x)=a[(x+b/2 a)²-b²-4 ac/4 a² On remplace dans l’expression de f(x) on obtient la forme canonique Donc x²+b/ax=(x+b/2 a)²-b²/4 a² f(x)=a[(x+b/2 a)²-b²/4 a² +c/a]

Propriété et définitions - Le trinôme du second degré défini par f(x)=ax²+bx+c s’écrit sous

Propriété et définitions - Le trinôme du second degré défini par f(x)=ax²+bx+c s’écrit sous la forme f(x)=a[(x+b/2 a)²-b²-4 ac/4 a²]. Cette expression est appelée forme canonique du trinôme. - Le nombre Δ=b²-4 ac est appelé le discriminant du trinôme ax²+bx+c. Remarque: on appelle forme canonique d’un polynôme du second degré une expression dans laquelle la variable x n’apparaît qu’une seule fois.

On a également f(x)=a(x+b/2 a)²-b²-4 ac/4 a et cette écriture est aussi appelée forme

On a également f(x)=a(x+b/2 a)²-b²-4 ac/4 a et cette écriture est aussi appelée forme canonique. On retrouve la forme canonique f(x)=a(x-α)²+β vue en seconde avec α=-b/2 a et β=-b²-4 ac/4 a. 3) Factorisation du trinôme et résolution d’une équation du second degré Une équation du second degré est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax²+bx+c=0 où a, b, c sont des réels avec a≠ 0.

Propriété: pour résoudre l’équation ax²+bx+c=0, on calcule de discriminant Δ=b²-4 ac. - si Δ>0:

Propriété: pour résoudre l’équation ax²+bx+c=0, on calcule de discriminant Δ=b²-4 ac. - si Δ>0: l’équation a deux solutions distinctes (appelées aussi racines) x 1=-b-√Δ/2 a et x 2=-b+√Δ/2 a, le trinôme a une forme factorisée ax²+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2). - si Δ=0: l’équation a une unique solution (appelée aussi racine double) x 0=-b/2 a et le trinôme a une forme factorisée ax²+bx+c=a(x-x 0)². - si Δ<0: l’équation n’a pas de solution réelle et le trinôme ne peut pas s’écrire comme produit de facteurs du premier degré.

Exemple: 2 x²+4 x-70=0 a=2 b=4 c=-70 Δ=b²-4 ac=4²-4*2*(-70)=16+560=576>0 Donc l’équation a deux solutions:

Exemple: 2 x²+4 x-70=0 a=2 b=4 c=-70 Δ=b²-4 ac=4²-4*2*(-70)=16+560=576>0 Donc l’équation a deux solutions: x 1=-b-√Δ/2 a=-4 -√ 576/2*2=-4 -24/4=-28/4=-7 x 2=-b+√Δ/2 a=-4+√ 576/2*2=-4+24/4=20/4=5 Le trinôme admet une forme factorisée: 2 x²+4 x-70=a(x-x 1)(x-x 2)=2(x-(-7))(x-5) =2(x+7)(x-5).

-9 x²-12 x-4=0 a=-9 b=-12 c=-4 Δ=b²-4 ac=(-12)²-4*(-9)*(-4)=144 -144=0 Donc l’équation a une seule

-9 x²-12 x-4=0 a=-9 b=-12 c=-4 Δ=b²-4 ac=(-12)²-4*(-9)*(-4)=144 -144=0 Donc l’équation a une seule solution: x 0=-b/2 a=-12/2*(-9)=-12/18=-2/3 Le trinôme admet une forme factorisée: -9 x²-12 x-4=a(x-x 0)²=-9(x-(-2/3))²=-9(x+2/3)²

3 x²-4 x+2=0 a=3 b=-4 c=2 Δ=b²-4 ac=(-4)²-4*3*2=16 -24=-8 Δ<0 donc l’équation n’a pas

3 x²-4 x+2=0 a=3 b=-4 c=2 Δ=b²-4 ac=(-4)²-4*3*2=16 -24=-8 Δ<0 donc l’équation n’a pas de solution dans R et le trinôme n’a pas de forme factorisée. II- Signe du trinôme 1) Approche graphique Soit f la fonction polynôme du second degré

définie par f(x)=ax²+bx+c (a≠ 0). Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de f

définie par f(x)=ax²+bx+c (a≠ 0). Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de f est une parabole P qui a les caractéristiques suivantes: - son sommet est le point S(α; β) avec α=-b/2 a et β=-b²-4 ac/4 a=-Δ/4 a - elle est tournée vers le haut lorsque a>0 et tournée vers le bas lorsque a<0; - elle est symétrique par rapport à la droite d’équation x=α.

2) Règle de signe - si Δ>0: le trinôme ax²+bx+c s’annule en x 1

2) Règle de signe - si Δ>0: le trinôme ax²+bx+c s’annule en x 1 et x 2, il est du signe de a à l’extérieur des racines et -∞ 1 x 2 +∞ du signesxcontraires de axentre les racines x 1 et signe a contraire a signe a x 2 ax²+bx+c - si Δ=0: xle trinôme en x 0+∞ , il -∞ ax²+bx+c s’annule x 0 est du ax²+bx+c signe de a pour touts les autres de valeurs signe de a de x

- si Δ=0: le trinôme ax²+bx+c est toujours du signe de a x ax²+bx+c

- si Δ=0: le trinôme ax²+bx+c est toujours du signe de a x ax²+bx+c -∞ +∞ Signe de a Résumé: le trinôme ax²+bx+c est du signe de a sauf entre les racines lorsqu’elles existent.

Exemple: 2 x²+4 x-70 x -∞ -7 5 +∞ Δ=570>0 + + Deux racines:

Exemple: 2 x²+4 x-70 x -∞ -7 5 +∞ Δ=570>0 + + Deux racines: x 1=-7 2 x²+4 x-70 x 2=5 a=2>0 -9 x²-12 x-4 x -∞ -2/3 +∞ Δ=0 Une racine: x 0=-2/3 -9 x²-12 x-4 a=-9<0

3 x²-4 x+2 Δ=-8<0 x Pas de racines 3 x²-4 x+2 a=3>0 -∞ +∞

3 x²-4 x+2 Δ=-8<0 x Pas de racines 3 x²-4 x+2 a=3>0 -∞ +∞ + 3) Résolution d’une inéquation du second degré Pour résoudre une inéquation du second degré: - on l’écrit sous la forme ax²+bx+c>0 ou ax²+bx+c<0 ou ax²+bx+c≥ 0 ou ax²+bx+c≤ 0 - on étudie le signe du trinôme ax²+bx+c et on

représente les résultats dans un tableau - on détermine à partir du tableau de

représente les résultats dans un tableau - on détermine à partir du tableau de signes l’ensemble des solutions de l’inéquation. Exemple: résoudre l’équation 2 x²+x≥ 15 2 x²+x-15≥ 0 Etude du signe du trinôme 2 x²+x-15 Δ=b²-4 ac=1²-4*2*(-15)=1+120=121>0 Le trinôme a deux racines: x 1=-b-√Δ/2 a=-1 -√ 121/2*2=-1 -11/4=-12/4=-3 x 2=-b+√Δ/2 a=-1 -√ 121/2*2=-1+11/4=10/4=5/2 a=2>0