Chap 4 Variational Method 4 1 Introduction Variational

Chap 4. Variational Method

4. 1 Introduction • Variational method Integrating differential eq 문제를 equivalent variational method로 줄이는 방법. • 2 types of variational methods ① ② Direct method : Rayleigh-Ritz method Indirect method : weighted residuals method Indirect method를 사용하여 PDE의 variational solution을 구하는 과정 PDE를 variational form에 대입하여 계산한 후 method 중 하나를 사용하여 근사해를 결정.

4. 2 Operators in linear space Inner product u, v는 Linear space상에서 다음을 만족 In vector field

Weighted inner product normal : 벡터의 norm이 1일 때 Operator eq를 살펴보면 operator L의로부터의 모든 함수에 의해 span된 space

위의 문제를 풀기 전에 operator δ(variational symbol)에 대해 알아볼 필요가 있음. Variation δy는 y에서 infinitesimal한 변화이다. (δx=0 일때) y가 prescribe 되는 점에서의 y의 variation δy는 vanish됨. y y+δy

Increment in I Integration by part ∵ h(b)=h(a)=0

Euler’s equation I(y)에서 극값을 가지기 위한 necessary condition은 y(x)가 Euler equation을 만족해야함. General case로 확장해보면 옆 식의 functional은 δi=0 일때 stationary

Functional이 이차 또는 고차의 derivatives에 depend이면.

4. 4 Construction of functionals from PDE Differential equation 4 basic step variational principle (functional)

Poisson’s equation과 관련된 variational principle 찾는 과정 After 1 step

Homogeneous Dirichlet or Neumann condition at 경계

4. 5 Rayleigh-Ritz Method는 주어진 functional을 minimize하는 direct variational method. 위의 적분식을 최소화 하는 것이 목적 R. R Method에서는 linearly independent인 함수의 set(expansion function)을 선택한 후(un). 정해진 경계 조건을 만족하는 근사해를 세움

Mikhlin에 의하면 L이 real, self-adjoint, positive라 하면 operator equation의 해가 functional로 minimize됨. (ignoring uo since it can be lumped with the right-hand side of the equation)

Expanding this into powers of am results in Assuming L is self-adjoint and replacing k with n in the second summation,

Thus differentiating Eq. (4. 33) with respect to am and setting the result equal to zero leads to

Functional이나 Rayleigh-Ritz system을 사용하여 expansion coefficient를 찾을 수 있음 Method 1

Method 2