CEPVIRGEN DE FTIMA DE BARRANCO NMEROS IMAGINARIOS UNIDAD
“CEP”VIRGEN DE FÁTIMA DE BARRANCO” NÚMEROS IMAGINARIOS UNIDAD IMAGINARIA Propiedades: Teoremas: Esto implica que la unidad imaginaria elevada a un múltiplo de cuatro es igual a la unidad. El número complejo (0; 1) es la unidad imaginaria; tiene la particular notación i = (0; i) i 2 = – 1 ; i = (0; 1) a) i 4 k = 1 Según la notación de Gauss: o b) i 4+k = ik – 1 = i c) i 4 k + i 4 k+1 + i 4 k+2 + i 4 k+3 = 0 Ejemplos: – 4 = 4(– 1) Z = 4. – 1 i i = 2 i. 2 i =4 i 2 = – 4 (– 1) – 8 = (8)(– 1) = Z Z – 3 = i i 4 =1; i 8 = 1; i 12 = 1 Ejemplo Reduce: 8. – 1 =2 i 87652 87 Resolución: i 87652 87 i 4+3 = i 3 = –i 2 i o 3 i = 3 i 2 = – 3 Potencias enteras de la unidad imaginaria • i 1 = i • i 5 = i • i 9 = i • i 2 = – 1 • i 6 = – 1 • i 10 = – 1 • i 3 = –i • i 7 = –i • i 11 = –i • i 4 = 1 • i 8 = 1 • i 12 = 1 etc 87 4 8 21 07 4 3 Además: 1+ i= i 1–i 1 – i = –i 1+i (1 + i)2 = 2 i (1 – i)2 = – 2 i Trabajando en casa Integral 1. Calcula: A = – 5 + – 3. – 12 B = – 16 – – 8 2. Calcula: A = i 6 + i 4 – i 7 + i 8 3. Calcula: R = i 26 + i 37 – i 44 PUCP 4. Reduce: i 5678910123 Resolución: Se toma las dos últimas cifras para saber si es múltiplo de 4: i 5678910123 = i 4 k+3 i 56789101 23 i 3 = –i 23 4 20 5 3 residuo
5. Reduce: 9. Resuelve: i 57186 6. Reduce: i 2 7. Reduce: 2 22 M= 1 + i 1–i 10. Halla el valor de: R= i 5 2321 409 M= i + i 400 2 i + i 235 11. Reduce: R= 1 – i 1+i Resolución: Se sabe: En el problema: 5 R= 1 – i 1+i R = (–i )5 o 4+1 1 – i = –i 1+i 5 56 M = i– 234 + i– 425 UNMSM 8. Reduce: 6 UNI 5 12. Calcula: R = i + i 2 + i 3 + i 4 +. . . + i 103 Resolución: Vemos que se forman 25 grupos de 4 y sobran tres: R = i + i 2 + i 3 + i 4 +. . . + i 28 + i 99 + i 100 + i 101 + i 102 + i 103 R = i + i 2 + i 3 R = i + (– 1) + –i R = – 1 13. Calcula: R = (– 1)5. i M = 1 + i 2 + i 3 +. . . + i 106 R = – 1. i 1 R = –i 14. Calcula: M = i 2! + i 3! + i 4! + i 5! +. . . + i 40!
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