CEPALILPES VIII CURSO INTERNACIONAL Preparacin y Evaluacin de

CEPAL/ILPES VIII CURSO INTERNACIONAL Preparación y Evaluación de Proyectos de Desarrollo Local Evaluación Privada de Proyectos 1. Matemática financiera Conceptos básicos Valor actual Horacio Roura

CEPAL/ILPES Conceptos básicos

Interés: Concepto CEPAL/ILPES • Interés = Costo del capital = Retribución requerida por el uso del factor capital • Todo capital tiene un costo (requiere una retribución) – Explícito = el interés pagado por un préstamo – Implícito = el interés dejado de ganar sobre el capital propio

Tasa de interés: Definición básica CEPAL/ILPES n Supuesto: moneda constante o inflación = 0 • Ejemplo: – Si recibo hoy $1, 000 para devolver $1, 080 en dos meses, el interés bimestral es:

CEPAL/ILPES Tasa de interés e inflación: Teorema de Fisher • Si la inflación (P) es distinta de 0 Donde r = tasa nominal k = tasa real

Tipos de interés CEPAL/ILPES • Interés simple: el interés de cada período se retira de la imposición • Interés compuesto: el interés de cada período aumenta el capital impuesto

CEPAL/ILPES Tipos de interés: Ejemplo y comparación

Interés compuesto: Ejemplo 1 CEPAL/ILPES • Sea – Capital: $1, 000 – Tasa: 10% anual, capitalizable anualmente – Plazo: 1 año • ¿Cuánto se tendrá al final del año?

Interés compuesto: Ejemplo 1 CEPAL/ILPES C 1 = C 0 (1+k)1 = $1, 000 (1+0. 10)1 = $1, 100 0 1 1, 000 C 0 1, 100 C 1 = C 0 (1+k)1 1, 100 = 1, 000 (1+0. 1)1

CEPAL/ILPES Interés compuesto: Ejercicio 1 • Sea – Capital: $1, 000 – Tasa: 12% anual, capitalizable anualmente – Plazo: 1 año • ¿Cuánto se tendrá al final del año? ¿Y luego de 2 años? • Al año: $1, 000 (1+0. 12) = $1, 120 • A los 2 años: $1, 120 (1+0. 12) = $1, 000 (1+0. 12)2 = $1, 254. 40

CEPAL/ILPES Interés compuesto: Período de capitalización – Ejemplo 2 • ¿Cómo variaría la operación del Ejemplo 1 si la capitalización de los intereses fuera semestral? 0 1, 000 C 0 1/2 1 1, 050 C 1 = C 0 (1+k/2)1 1, 102. 5 C 2 = C 1 (1+k/2)1 = C 0 (1+k/2)2 1, 050 = 1, 000 (1+0. 12)1 1, 102. 5 = 1, 000 (1+0. 102) 2

CEPAL/ILPES Interés compuesto: Período de capitalización – Ejemplo 3 • ¿Cómo variaría la operación anterior si la capitalización de los intereses fuera trimestral? 0 1/3 1, 000 C 0 1, 025 1/3 1, 050. 625 1/3 1 1, 076. 89 1, 103. 8 C 4 = C 0 (1+k/4)4 1, 103. 8 = 1, 000 (1+0. 1/4)4

CEPAL/ILPES Interés compuesto: Ejercicio 2 • Para un capital de $1, 000 un banco nos ofrece dos opciones de inversión a plazo fijo: – Opción 1: 12% anual, capitalizable semestralmente – Opción 2: 11. 768% anual, capitalizable bimestralmente • ¿Cuál es la opción más conveniente, para una colocación a 1 año de plazo? Opción 1: $1, 000 (1+0. 12/2)2 = $1, 123. 60 Opción 2: $1, 000 (1+0. 11768/6)6 = $1, 123. 60

Equivalencia de tasas CEPAL/ILPES • Dos tasas de interés con diferente período de capitalización son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al final de un año: Ejemplo 2 anterior – 11. 768% anual capitalizable bimestralmente es equivalente a – 12% anual capitalizable semestralmente es equivalente a – 12. 36% anual capitalizable anualmente

CEPAL/ILPES Equivalencia de tasas: Ejercicio 3 • ¿A qué tasa de capitalización anual es equivalente una tasa del 13% anual capitalizable trimestralmente? • (1 + k. CA) = (1 + k. CT/4)4 k. CA = (1 + k. CT)4 - 1 • k. CA = (1 + 0. 13/4)4 = (1 + 0. 0325)4 = 13. 648%

Tasas nominal y efectiva CEPAL/ILPES • Cuando el interés es capitalizable más de una vez por año, – La tasa anual dada se llama tasa nominal anual – La tasa efectivamente ganada se llama tasa efectiva anual • Ejemplo 3 – Tasa nominal anual: 11. 768% – Tasa efectiva anual: 12. 36%

CEPAL/ILPES Tasas nominal y efectiva: Relación • Para un cálculo preciso, • 1 + TE(m) = (1 + TNA. t/365)m/t • TE(m) = (1 + TNA. t/365)m/t - 1 (para un cálculo menos preciso puede usarse un año de 360 días) Donde: – TNA = tasa nominal anual vencida – TE(m) = tasa efectiva para los m días – m = número de días del período cuya tasa se busca – t = número de días del subperíodo de capitalización

CEPAL/ILPES Tasas efectiva y nominal: Ejemplo 4 • Sea TNA = 12% • Si el período de capitalización es mensual, ¿cuál es la tasa efectiva para un depósito a 60 días? TE(60) = (1 + 12%. 30/365)60/30 - 1 = 1. 982% – $1, 000 depositados a 60 días a una TNA = 12% capitalizable mensualmente generarán $19. 82 de interés

CEPAL/ILPES Tasas efectiva y nominal: Ejemplo 5 • Sea TNA = 12% • Si el período de capitalización es mensual, ¿cuál es la tasa efectiva para un depósito a un año de plazo? TE(365) = (1 + 12%. 30/365)365/30 - 1 = 12. 68342% TE(365) = (1 + 12%. 30/360)360/30 - 1 = 12. 68250%

Tasa efectiva anual CEPAL/ILPES • Es la tasa resultante de una colocación a la tasa efectiva periódica por los períodos necesarios para completar un año: TEA = (1 + TE(m))365/m • O, de manera aproximadamente equivalente TEA = (1 + TNA. t/365)365/t

CEPAL/ILPES Tasa efectiva anual: Ejemplo 6 En el Ejemplo 4, • TNA = 12%, capitalizable mensualmente • TE(60) = 1. 982% • De allí, TEA = (1 + TE(m))365/m - 1 TEA = (1 + 0. 01982)365/60 - 1 TEA = 12. 68119% TEA = (1 + 12%. 30/365) 365/30 – 1 = 12. 68342%

Ejercicio 4 CEPAL/ILPES • Si TE(60) = 1%, ¿cuál es la TEA? TEA = (1 + TE(m))365/m - 1 TEA = (1 + 0. 01)365/60 - 1 TEA = 6. 24%

Ejercicio 4 (Cont. ) CEPAL/ILPES • Si el período de capitalización es de 30 días, ¿cuál es la TNA? 1 + TE(60) = (1 + TNA. 30/365)60/30 TNA = (1 + TE(60))30/60 – 1) (365/30) TNA = (1 + 0. 01)30/60 – 1) (365/30) TNA = 6. 068%

CEPAL/ILPES Interés compuesto: Período de capitalización continuo • Si el período de capitalización es muy pequeño (diario, horario, por minutos o segundos), se trata de capitalización continua • En ese caso, si TEA = (1 + TNA. t/365)365/t • t tiende a hacerse infinitamente pequeño, y TEA = e. TNA. n – Donde e = 2. 718 y n la cantidad de años

Ejercicio 5 CEPAL/ILPES • Se invierten $1, 000 al 11% anual, capitalizados continuamente, por dos años. ¿Cuánto se obtendrá al final de la inversión? • $1, 000 e 0. 11 x 2 = $1, 000 e 0. 22 = $1, 000. 1. 246 = $1, 246

CEPAL/ILPES Valor actual

CEPAL/ILPES Valor futuro y actual: Concepto • El interés compuesto acumula intereses sobre un capital inicial, hasta una fecha dada • El monto así obtenido es el valor futuro del capital inicial • Inversamente, el capital inicial es el valor actual del monto a recibir en el futuro

CEPAL/ILPES Valor futuro y valor actual: Ejemplo 6 Valor actual (VA) de $106 Valor futuro (VF) de $100

CEPAL/ILPES Valor actual: Definición • El valor actual de una cantidad futura expresa cuánto vale esa cantidad a pesos de hoy VA = VF / (1 + k)n Donde: • VA = Valor actual • VF = Valor futuro • k = tasa de actualización, interés o descuento • n = período donde se recibirá el valor futuro

CEPAL/ILPES Valor actual: Ejemplo 7 • Un tío rico le informa que dentro de 6 años le hará un legado de $1 millón. Ud. , que lleva una vida disipada, está dispuesto a recibir menos dinero, si lo recibe ya. Una tía generosa le ofrece $507 mil, si Ud. le transfiere el derecho a cobrar el legado. Si su tasa de interés es 12% anual, ¿le conviene la propuesta?

CEPAL/ILPES Valor actual y valor futuro: Despejando incógnitas • Si VA = VF/(1+k)n • Entonces,

CEPAL/ILPES Valor actual y valor futuro: Ejemplo 8 • ¿Cuánto tiempo se demorará en acumular $2, 250 si se depositan $1, 000 al 1% mensual, capitalizable mensualmente?

CEPAL/ILPES Valor actual y valor futuro: Ejercicio 6 • ¿A qué tasa se deberá depositar $1, 000 para obtener $2, 250 en 82 meses?

Valor actual neto CEPAL/ILPES • El valor actual ofrece cuánto vale hoy un bien futuro • En ocasiones, acceder a ese pago futuro implica una erogación hoy • El valor actual neto es la diferencia entre el valor actual del pago futuro y la inversión necesaria:

CEPAL/ILPES Valor actual neto: Ejemplo 8 • Un conocido le propone comprar una casa deteriorada para reciclarla y venderla. La inversión (compra más arreglo) asciende a $250 mil. Si pudiera venderla en $300 dentro de 6 meses, ¿le convendría el negocio?

CEPAL/ILPES Valor actual neto: Ejemplo 8 - Solución

CEPAL/ILPES Valores actuales y tasas de descuento • Para obtener el valor actual de un valor futuro se requiere una tasa de descuento • La tasa de descuento se define como el interés que se hubiera ganado de haber invertido en la mejor inversión alternativa

CEPAL/ILPES Tasas de descuento: Ejemplo 9 • En el ejemplo 8, la opción a comprar la casa, reciclarla y venderla era invertir los $250 mil en una inversión financiera de riesgo equivalente. • El interés utilizado para descontar los $300 futuros es lo que hubiera rentado invertir $250 por 6 meses.

CEPAL/ILPES Tasas de descuento y tasas de retorno • En el ejemplo 8, la inversión en la casa obtuvo un retorno del 13. 2% n Esta inversión es muy interesante, pues rinde un retorno superior a su tasa de descuento

CEPAL/ILPES Relación entre valores actuales y valores futuros • El valor actual de un valor futuro es siempre menor que ese valor futuro: $1 hoy vale más que $1 mañana • Por que los $ actuales se pueden invertir y ganar interés por un período • Porque los $ actuales son –en general– menos riesgoso que los futuros

CEPAL/ILPES Valor actual y valor futuro: El rol de los mercados de capitales • El concepto de valor actual y valor futuro permite establecer equivalencias entre recibir (hacer) un pago hoy o en el futuro • En la práctica, eso es posible debido a la existencia de un mercado de capitales – El mercado de capitales es simplemente un mercado donde la gente intercambia $ de hoy por $ futuros, y viceversa

CEPAL/ILPES Mercado de capitales: Funcionamiento • Suponga que Ud. tiene: – $20, 000 en la mano – $25, 000 a recibir dentro de un año • Sus opciones son – Consumir $20, 000 hoy y $25, 000 en un año – No consumir nada hoy, invertir los $20, 000 y consumir dentro de un año $20, 000 (1+k) + $25, 000 – Consumir todo hoy: $20, 000 + $25, 000/(1+k)

CEPAL/ILPES Opciones entre consumo presente y consumo futuro Si k=7%, su riqueza total es $43. 4 (a $ de hoy) o $46. 4 (a $ futuros) $46. 4 $21. 4 = $20 (1+0. 07) Invierte $20 para consumir todo el año próximo Pendiente = (1+0. 07) $25 $20 $43. 4 $23. 4 = $25/(1+0. 07) Pide prestado el valor actual de $25 para consumir todo hoy

CEPAL/ILPES Mercado de capitales e inversión en activos reales A medida que se va invirtiendo en proyectos no financieros, el retorno de los mismos disminuye $46. 4 $37. 8 $25 Rtn(P 1) = (25 -10)/10 = 2. 5 Rtn(P 2) = (13 -10)/10 = 1. 3 Rtn(P 1) = (9 -10)/10 = -0. 1 $43. 4 Proyecto 3 = $10 mil Proyecto 2 =$10 mil Proyecto 1 = $10 mil

Mercado de capitales e inversión en activos reales CEPAL/ILPES D 0 B (1+ k) Flujo futuro de la inversión C 0 B Inversión en activos reales A E VAN = 0 C/(1+k)AB = BE - AB

Moraleja CEPAL/ILPES • Al invertir en activos reales y ahorrar o pedir prestado en el mercado de capitales, el inversor puede colocarse en cualquier punto de DE – Tiene más para gastar, hoy o mañana, que si invirtiera solo en el mercado de capitales o solo en activos reales • La riqueza se maximiza cuando se invierte en activos reales hasta igualar el costo de oportunidad del capital (DE // CA) El VAN es el máximo alcanzable • El mercado de capitales permite alcanzar luego la combinación adecuada de consumo presente y futuro

Consecuencia de la moraleja CEPAL/ILPES • La regla para dirigir una empresa se reduce a maximizar el valor de la misma para los accionistas • Logrado eso, éstos elegirán la pauta temporal de consumo que prefieran – Supuesto fuerte: libre acceso al mercado de capitales • Maximizar la riqueza = elegir todos los proyectos que tengan un VAN positivo

CEPAL/ILPES Valor actual de flujos de más de un período • Los proyectos generan flujos por más de un período • El valor actual neto de un proyecto de esas características puede calcularse como

Valor actual de anualidades CEPAL/ILPES • Si F 1 = F 2 =. . . = Fn Coeficiente para el cálculo del valor actual de una anualidad constante

Valor actual de anualidades CEPAL/ILPES • Si F 1 = F 2 =. . . = Fn y n 0 Valor actual de una perpetuidad constante