Centre Universitaire Abdelhafid Boussouf Mila 01 ANNEE MASTER

Centre Universitaire Abdelhafid Boussouf –Mila 01 ANNEE MASTER GENIE CIVIL-STRUCTURE Mécanique des structures LECHEH EB. M

Unité d’enseignement: UEF 1. 1. 1 Matière 1: Mécanique des Structures VHS: 45 h 00 (Cours: 1 h 30, TD: 1 h 30) Crédits: 4 Coefficient: 2

Objectifs de l’enseignement: Le programme proposé permet de renforcer les connaissances de l’étudiant en calcul des structures, d’acquérir des méthodes matricielles et itératives visant la résolution des systèmes hyperstatiques. Connaissances préalables recommandées: Notions de mathématiques appliquées, Résistance des matériaux.

Contenu de la matière: Chapitre 1 : Introduction sur l’analyse des structures Chapitre 2 : Relations différentielles, calcul des flèches et rotations, théorie du potentiel interne, Théorème de Castigliano, Énoncé de Menabrea Chapitre 3 : Méthode des forces (Notion de liaison surabondante interne, méthodes de simplification de calcul: méthode du centre élastique, cas où la sollicitation est un déplacement généralisé, cas des variations de température)

Chapitre 4 : Méthode des déplacements Chapitre 5 : Méthodes itératives Chapitre 6 : Poutres continues sur appuis élastiques Chapitre 7 : Calcul des structures en arc Mode d’évaluation: Contrôle continu: 40% ; Examen: 60%.

Chapitre 1 : Introduction sur l’analyse des structures

La Mécanique des Structures est une discipline très ancienne, qui s’est développée pour répondre à des besoins de construction, initialement dans le domaine du Génie-Civil. Elle repose sur l’utilisation de modèles simplifiés, qui vont permettre l’analyse des structures de façon rapide.

Analyser une structure signifie, pour le concepteur-projeteur, en comprendre le fonctionnement, le jeu des forces, savoir justifier l'arrangement des composants, leurs formes et proportions, saisir les principes de résistance et de stabilité essentiels en liaison avec les matériaux sélectionnés. Ce cours donne une initiation à l'analyse des structures.

Définition de structure n n n Au sens stricte, on appelle structure un quelconque assemblage de corps capable d’être en équilibre sous l’action d’un système quelconque de forces appliquées (dans la limite de la résistance des matériaux qui la composent). La caractéristique essentielle d’une structure est donc celle d’être en mesure d’assurer l’équilibre toujours, pour n’importe quel ensemble de forces appliquées: une structure ne se met pas en mouvement! (mises à part les déformations dues aux forces, déformations modestes en HPP et qui, en régime élastique, sont toujours récupérées une fois le chargement terminé). Cette distinction permet donc de différencier une structure d’un mécanisme qui, lui, est un assemblage conçu pour permettre un ou des mouvements.

Classification géométrique des structures (1) n Les structures peuvent être classifiées selon le géométrie des corps qui les composent. n La classification suivante prend en compte cet aspect mais aussi d’autres particularités, liées par exemple aux types de lien entre les corps constituant la structure. n D’autres classifications des structures sont possibles, une exclusivement mécanique, qui sera présentée ciaprès et qui permettra de mieux comprendre la différence entre mécanisme et structure, une autre typiquement technologique, sur la base du type de matériau utilisé.

Classification géométrique des structures (2) n Poutre: on appelle poutre un corps qui a la caractéristique essentielle d’avoir une dimension nettement plus grande que les deux autres. n Une poutre est donc une structure linéaire, qui peut être identifiée avec son axe: c’est un corps monodimensionnel. n Il existe plusieurs types de poutres: ¨ poutre droite: c’est une poutre à axe rectiligne; la section transversale peut être constante ou non; ¨ poutre courbe: c’est une poutre à axe courbe; encore, la section peut être constante ou non; appartiennent à cette catégorie les arcs, mais aussi des poutres qui ont pour axe une courbe tridimensionnelle, comme p. ex. certains escaliers en colimaçon;

Classification géométrique des structures ¨ barre: c’est une poutre droite, normalement à section constante, qui à la particularité d’avoir des rotules aux extrémités. n Plaque: on appelle plaque un corps plan qui a une dimension, l’épaisseur, beaucoup plus petite que les deux autres. n Une plaque est donc une structure plane qui peut être identifiée avec son plan moyen; c’est un corps bidimensionnel. n Normalement, les plaques ont une épaisseur constant. n Coque: on appelle coque un corps qui, comme une plaque, a une dimension, l’épaisseur, beaucoup plus petite que les deux autres, mais qui n’est pas plane. (3)

Classification géométrique des structures n Charpente: c’est une structure formée par un assemblage de poutres; le plus souvent, il s’agit de structures planes formées par des poutres droites. n Treillis: ce sont des structures formées par des barres; tous les joints sont donc des rotules. Même dans ce cas il s’agit souvent de structures planes. n Évidemment, des structures plus complexes peuvent être formées en combinant plusieurs types structuraux dans la même structure. (4)

Classification statique des structures (1) n Une classification mécanique des structures concerne la relation entre une structure et les équation de la statique. n On a vu en fait que les équations de la statique sont au nombre de 6 pour chaque corps rigide (3 pour les structures planes). n Or, il y a en général trois cas possibles: ¨ le nombre d’équations de la statique est supérieur au nombre d’inconnues: la structure est statiquement impossible, ou hypostatique; ¨ le nombre d’équations est égal au nombre d’inconnues: la structure est statiquement déterminée ou isostatique; ¨ le nombre d’équations est inférieur au nombre d’inconnues: la structure est statiquement indéterminée ou hyperstatique.

Classification statique des structures (2) n Voyons un exemple pour mieux comprendre: une poutre appuyée (exemple plan, 3 degrés de liberté). n Considérons d’abord le cas où la poutre est montée sur deux appuis simples: les inconnues sont 2, les deux réactions verticales, mais les équations 3: la structure est hypostatique. n En fait, reste un degré de liberté, la translation horizontale, qui n’est pas empêché par les appuis. n Il faut quand même souligner que cette structure peut être en équilibre, p. ex. si les forces sont verticales, mais elle ne sera pas automatiquement, toujours en équilibre, pour tout type d’action: à stricte rigueur, ce n’est pas une structure, mais un mécanisme! n En fait, celle-ci c’est le cas d’une planche à roulette! Équilibre impossible: mouvement!

Classification statique des structures (3) n Si maintenant un des deux appuis simples devient un appui fixe, les inconnues sont 3, les deux réactions verticales plus l’horizontale: la structure est isostatique. n Cette structure assure toujours l’équilibre, pour tout type d’action appliquée. n Si on ajoute un autre appui, les inconnues deviennent 4, mais les équations restent 3: on ne peut pas les déterminer avec les seules équations de la statique: la structure est hyperstatique et elle aussi, comme l’isostatique, assure toujours l’équilibre. n Pour trouver les réactions dans ce cas, il faut abandonner le modèle de corps rigide et prendre en considération la déformabilité du corps: c’est le domaine de la mécanique des structures! Équilibre possible ?

Caractéristiques de la sollicitation (1) n La Résistance Des Matériaux (RDM) s’occupe du calcul des structures déformables. n Le but essentiel est double: ¨ calculer les déformations d’une structure; ¨ calculer les contraintes dans une structure. n Dans les deux cas, les résultats seront confrontés avec les valeurs admissibles, prescrits par la loi et par le type de matériau choisi. n Considérons ici le cas de charpentes et de treillis, à savoir les structures constituées par des poutres ou des barres. n La question est comment calculer déformations et contraintes à partir des forces appliquées? n Nous allons considérer ceci dans le cas d’une poutre rectiligne de section constante.

Caractéristiques de la sollicitation (2) n Considérons donc une poutre dont on connaît les actions, y compris les réactions appliquées aux extrémités. n Précisons que les réactions se calculent avec les équations de la statique, si la structure est isostatique, ou avec les méthode de la mécanique des structures, si la structure est hyperstatique. On verra après ce deuxième cas. n Le cas le plus général est donc celui de figure (page suivante), qui représente aussi le schéma de calcul qu’on adopte ici (l’axe z passe par le barycentre de la section droite de la poutre). n La clé pour comprendre ce qu’on va introduire est ce qu’on appelle l’Axiome de Séparation d’Euler: si le tout est en équilibre, chaque partie est en équilibre. n Cet axiome semble une lapalissade, mais il nous permet d’introduire le concept de caractéristique de la sollicitation (ou action interne).

Caractéristiques de la sollicitation n Le raisonnement implicite dans l’axiome de séparation est simple: ¨ la poutre est en équilibre sous l’action des forces appliquées et des réactions aux extrémités (en rouge); ¨ imaginons de couper en deux la poutre à l’abscisse z et de la séparer en deux parties, 1 et 2; ¨ comme la poutre est en équilibre, l’axiome de séparation nous garantie que chaque partie, 1 et 2, est encore en équilibre; ¨ M 0 x (3) R 0 y 1 M(z) z R(z) M 1 2 R 1 considérons, p. ex. , la partie 1: en général, les actions qui lui sont appliquées ne sont pas en équilibre, car elles formaient un système équilibré avec celles appliquées sur 2;

Caractéristiques de la sollicitation (4) ¨ ceci implique, par le PFS, que 1 ne peut pas être en équilibre (et de même pour 2), ce qui est en contradiction avec l’axiome de séparation; ¨ l’équilibre de 1 est donc garanti par l’existence d’autres forces, qui se transmettent de 2 à 1 à travers la surface de séparation: ce sont les actions internes (jaunes en figure); ¨ elles sont dues à la cohésion entre les parties matérielles de la poutre; ¨ avec toutes les actions appliquées à 1, elles forment un système équilibré; ceci nous permet de les calculer, à l’aide du PFS; ¨ par le PAR, les actions internes appliquées de la part de 2 sur 1 sont égales et contraires aux actions internes appliquées de la part de 1 sur 2. PFS: Le principe fondamental de la statique

Caractéristiques de la sollicitation (5) n Les forces de cohésion sont la résultante des contraintes internes agissantes sur la face de la section de séparation. n Ces forces peuvent toujours se réduire à une force, R(z), appliquée en correspondance du barycentre de la section et à un moment, M(z). n Elles sont fonction de l’ordonnée z car, évidemment, les actions qu’elles doivent équilibrer sont celles appliquées à la poutre entre l’extrémité z= 0 et l’ordonnée z. n Or, il convient de décomposer ces deux vecteurs, R(z) et M(z), selon leurs composantes sur les trois axes. n Ces composantes des actions internes s’appellent les caractéristiques de la sollicitation, qui sont donc au nombre de 6: Rx , R y , R z , M x , M y , M z. n Ces composantes se calculent directement avec les PFS; comme celui-ci se décline en 6 équations, il est toujours possible de calculer les caractéristiques de la sollicitation par les équations d’équilibre de la statique.

Caractéristiques de la sollicitation n (6) Voyons de plus près ces caractéristiques de la sollicitation: ¨ les deux composantes Rx et Ry sont des forces orthogonales à l’axe de la poutre; elles s’appelles efforts tranchants, et sont normalement indiqués, respectivement, avec Tx et Ty; ¨ la composante Rz est parallèle à l’axe de la poutre et s’appelle effort normal, d’habitude indiqué avec N; cette force est positive si de traction (elle tend alors à allonger la poutre), négative si de compression ; les deux composantes Mx et My s’appellent moments fléchissants; ils tendent en fait à fléchir la poutre, autour respectivement de l’axe x et y; ¨ la composante Mz s’appelle moment de torsion, souvent indiqué R x Mz par Mt; elle provoque la R 1 z Mx x torsion de la poutre y Ry My z autour de l’axe z. M(z) z ¨ M 0 x R 0 R(z) y

Les équations d’équilibre des poutres (1) n Les équations d’équilibre des poutres établissent le lien existant entre les actions appliquées et les caractéristiques de la sollicitation. n Considérons, pour simplicité, le cas plan; il n’y a alors que trois caractéristiques de la sollicitation qui entrent en jeu: N, Mx et Ty; comme il n’y a pas d’ambiguïté, on les appellera N, M et T. n Isolons alors un morceau de poutre de longueur infinitésimale dz, entre z et z+dz; la situation est celle de figure. n En négligeant les termes d’ordre supérieur, le PFS appliqué au morceau en question donne les équations d’équilibre pour les poutres. n Il s’agit d’équations différentielles qui lient les actions py et pz à N, M et T. py(z) pz(z) T(z) M(z+dz) M(z) y z N(z+dz) z N(z) dz T(z+dz) z+dz

Les équations d’équilibre des poutres (2) n Équation de l’effort normal: Équations d’équilibre des poutres n Équation de l’effort tranchant: n Équation du moment fléchissant: n Cette dernière équation montre que T est la dérivée de M; si on la dérive on obtient aussi le lien directe entre la charge py et M:

Les équations d’équilibre des poutres (3) n Voyons un exemple classique: une poutre appuyée avec chargement uniforme. p z y l n La constante d’intégration c 1 se détermine en connaissant T(z=0), qui est évidemment la valeur de la réaction verticale à l’appui: n Si on utilise la dernière équation, on détermine M(z): n La constante c 2 se détermine en connaissant M(z=0), qui est nul car on a un appui simple. Donc c 2=0.

Les équations d’équilibre des poutres (4) n On peut donc tracer les diagrammes de T(z) et de M(z); ce dernier on peut le trouver directement en intégrant deux fois l’équation différentielle. n Les diagrammes des caractéristiques sont très importants, car ils permettent aux ingénieurs, d’un simple coup d’œil, de voir quelles sont les endroit les plus sollicités d’une structure. n C’est normalement le moment fléchissant qui détermine le dimensionnement d’une structure, car c’est celui qui d’habitude provoque les plus fortes contraintes. n n A remarquer que p est la pente de T et T est la pente de M; donc si p est nul, T est constant et M est linéaire, si p est constant, T est linéaire et M est parabolique, comme c’est le cas en figure. En outre, M est max où T est nul. T(z) z M(z) z

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