Captulo 5 EST 41 AE 213 ESTABILIDADE DE

Capítulo 5 EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Placas Retangulares EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Placas – Características Colunas: Flexão pode ser considerada num único plano M, w, etc – Funções de uma única variável (x) Equações diferenciais ordinárias Carga de flambagem é a carga de falha Placas: Flexão em dois planos M, w, etc – Funções de duas variáveis (x, y) Equações diferenciais parciais Carga de Flambagem não é a carga de falha É necessário analisar o comportamento de placas após a flambagem para a determinação da carga de falha EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Teorias de Placas Espessas: se a espessura é considerável, deformações de cisalhamento são da mesma ordem de grandeza das deformações de flexão devendo, portanto, ser consideradas na análise. Placas Finas: quando a espessura é pequena se comparada às outras dimensões, as deformações de cisalhamento podem ser desprezadas na análise. Membranas: quando a placa é muito fina, a rigidez em flexão tende a zero e cargas transversais têm de ser resistida quase que exclusivamente pela ação de membrana. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Placas Finas - Teoria de Pequenas Deflexões EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Teoria de Placas Finas - Hipóteses 1. As deformações de cisalhamento gxz e gyz são desprezíveis, a linhas normais à superfície média antes da flexão permanecem retas e normais à superfície média durante a flexão. 2. A tensão normal sz e a deformação correspondente ez são desprezíveis e, portanto, a deflexão transversal de qualquer ponto (x, y, z) é igual à deflexão transversal do ponto correspondente (x, y, 0) na superfície média. 3. As deflexões transversais da placa são pequenas quando comparadas à espessura. Em consequência, a extensibilidade da superfície média pode ser desprezada; isto é, a ação de membrana resultante da flexão é desprezível quando comparada com a ação da flexão propriamente dita. 4. O material da placa é homogêneo, isotrópico e segue a lei de Hooke. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Forças no Plano de um Elemento de Placa EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Momentos e Forças Transversais EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Equilíbrio de um Elemento de Placa Uma equação e 4 incógnitas Mx, My, Mxy e w EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Relações entre Momentos e Deslocamentos EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Equação de Equilíbrio para o Estudo da Estabilidade EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Condições de Contorno (borda x = constante) a) engaste – deslocamento e rotação nulas: b) apoio simples – deslocamento e momento fletor Mx nulos, c) livre – momento fletor e cisalhamento efetivo nulos: EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Compressão Axial Uniforme – Carga Crítica em x = 0, a em y = 0, b Tendo em vista a condição de que a deflexão ao longo de cada uma das bordas é nula, é evidente que em x = 0 , a EST 41 / AE 213 - e em y = 0 , b ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Compressão Axial Uniforme – Carga Crítica em x = 0 , a em y = 0 , b , m = 1, 2, 3, . . . EST 41 / AE 213 - n = 1, 2, 3, . . . ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Compressão Uniforme – Coeficiente de Flambagem , onde EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Flambagem de Placas - Fórmula Geral a) Regime Elástico k (ou K) disponível em gráficos ou tabelas em função de: a) tipo de carregamento b) condições de contorno c) alongamento a/b EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Flambagem de Placas – Regime Inelástico b) Regime Inelástico EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Flambagem de Placas – Regime Inelástico EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Compressão Uniforme Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas em x = 0 , a EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Compressão Uniforme Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Compressão Uniforme Placa-Coluna Flange EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Placa Coluna – Tensão Crítica EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Flange – Coeficiente de Flambagem EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Compressão Axial – Várias Condições de Contorno EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Compressão Axial – Restrição Elástica EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Exemplo O revestimento de 0. 080 in de espessura, manufaturado de liga de magnésio HK 31 A-H 24 (E = 6500 ksi, F 0. 7 = 17, 3 ksi, n = 6, 2, ne = 0, 3) de uma fuselagem é dividido, por reforçadores de seção transversal em Z, em painéis longos de 4 in de largura. Determine a tensão de flambagem em compressão destes painéis. Solução: Tendo sido dado que o painel está apoiado em reforçadores com seção transversal em Z, pode-se utilizar a Fig. 5. 13 para a obtenção de um valor mais preciso do coeficiente de flambagem em comparação com o valor conservativo, k = 4, correspondente à placa simplesmente apoiada nos bordos descarregados. Para b/t = 4, 0 / 0, 08 = 50 a curva inferior da Fig. 5. 13 fornece k = 5, 2. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Coeficiente de Flambagem - Carga Axial Variável EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Energia de Deformação de Placa em Flexão EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Potencial das Cargas Aplicadas no Plano da Placa Ny Nxy dx dx Nx x, u Nxy dy dy Nx Nxy Ny y, v EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Método de Rayleigh-Ritz – Placa em Flexão x Nx= Nxo(y/b) b Nx= Nxo(y/b) a y EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Método de Rayleigh-Ritz – Placa em Flexão (kx 0)cr = 7, 8 EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Placa em Flexão b = b/c. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Coeficientes de Flambagem - Flexão EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Exemplo Uma placa 6 x 3 x 0, 06 in , simplesmente apoiada nos quatro bordos, manufaturada de liga de alumínio 7075 -T 6 a temperatura ambiente (E = 10500 ksi) está sujeita a tensões de compressão longitudinal, fc, e de flexão no plano da placa, fb, na razão fc / fb = 0, 5. (a) Qual a tensão de compressão na flambagem? (b) se fc = 13 ksi, fb = 26 ksi, qual é a margem de segurança? A questão será resolvida através do uso da Fig. 5 -19. Esta figura fornece curvas para o coeficiente de flambagem em flexão, kb, em função de a/b e b, onde b = b/c, c = (1 + fc / fb) , onde é a distância do bordo descarregado da placa ao eixo elástico. Neste caso, = b/2. Desta forma, c = (1 + 0, 5)b / 2 , de modo que b = 2 / 1, 5 = 1, 33. Para este valor de b e a/b = 6/3 =2, a Fig. 15 -19 fornece kb = 11. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Coeficientes de Flambagem - Flexão EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Método de Galerkin – Placas sob Cisalhamento Nxy x b Nxy a y EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Método de Galerkin – Placas sob Cisalhamento Modo simétrico: A 11 e A 22 para a = b Modo simétrico: A 11 , A 13 e A 22 EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Método de Galerkin – Placas sob Cisalhamento A solução essencialmente exata para este caso é dada pela Ref. 5. 7. Para a placa quadrada o modo que prevalece é o simétrico e (ks)cr = 9, 35, onde os 10 primeiros termos da função de deflexão assumida foram utilizados para convergência satisfatória. Nesta referência é mostrado também que o coeficiente crítico para flambagem anti-simétrica é e (ks)cr = 11, 63 (anti-simétrico). A referência indica também que para a>b: 1 a/b 2 2 a/b 3, 5 a/b . . . modo simétrico governa modo anti-simétrico governa modo simétrico governa e assim por diante. Quando a/b aumenta é cada vez mais difícil distinguir a diferença em magnitude entre os coeficientes obtidos para flambagem simétrica e anti-simétrica. De fato, quanto a placa é infinitamente longa o coeficiente de flambagem independe de considerações de simetria. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.

Coeficiente de Flambagem - Cisalhamento EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.