Captulo 4 Variables Aleatorias Distribuciones Variables Aleatorias Funcin
Capítulo 4 Variables Aleatorias Distribuciones
Variables Aleatorias Función que asigna a cada punto del espacio muestral un número real X: Ejemplo N° 1: R = falla , no falla X( no falla ) = 0 X( falla ) = 1
Variables Aleatorias Espacio Muestral no falla A cada s le corresponde exactamente un valor X(s) falla X({no falla}) = 0 X({falla}) = 1 IR - 0 X: 1 + Conjunto Números Reales Rx IR X-1( - , x ) Á Familia de eventos elementales
Variables Aleatorias si X(s) = b; s A sk X(s) = a RX a b • El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s). • En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral • El espacio muestral original “induce” un espacio muestra Rx asociado a la Variable Aleatoria X • Luego un evento A en S induce un evento en el espacio muestral RX
Variables Aleatorias si X(s) = b; s A sk X(s) = a RX Nótese que para cada par de números reales a y b existen los siguientes conjuntos a ( ( [ [ a<x<b a<x b a x<b a x b ( ( x<b x b x>a x a - - b ) ] ) ]
Función de Probabilidad • El concepto de Probabilidad de ocurrencia de eventos en el espacio muestral se puede aplicar a eventos en RX. 0 P(X(s) = x ) = f(x) 1 f(x) 1 f: R [0, 1] RX 0 X(s) = x s X: RX
Variable Aleatoria X: R X-1( - , x ) Variable Aleatoria Discreta Sea C (con C ) Soporte contable f: C R C = ci : i I N i) f(ci) 0 ii) =1 Usando la transformación X
Variable Aleatoria Discreta • Sea X una variable aleatoria. • Si el número de posibles valores de X (esto es su RX). - Es finito (contable) o. - Es contablemente infinito (denumerable). • Entonces llamamos a X una variable aleatoria discreta. • Esto es, los posibles valores de X pueden ser listados. X 1, x 2, x 3, . . , xn, . . . - En el caso contable la lista es finita. - En el caso denumerable la lista es infinita contable
Variable Aleatoria Discreta Sea C Á IR X: C Conjunto de eventos elementales de una familia de eventos del espacio muestra; C X es una función definida sobre el Espacio Muestral, que mapea en el conjunto de los Números Reales los eventos elementales definidos en C = ci: i I N En algunos textos se utiliza la letra f para acentuar que la variable aleatoria discreta es una fución tal que i) p(ci) = Pr(ci) 0 Sea A el evento tal los eventos elementales ci C pertnezcan también a A, esto es ci C A. Usando la transformación X X(ci) = xi P(A) = å p(c i ) = i i : ci C I A å P (X = x ) i i
Función de Probabilidad v. a. Discreta A cada resultado posible xi se asocia un número f(xi) = P(X(s) = xi) llamado la probabilidad de xi Los f(xi) deben satisfacer f(xi) • 0 f(xi) 1; i = 1, 2, 3, . . . , n • f(xi) = 1 i El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le denomina Función de Probabilidad o Cuantia. x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 xn P(X=5) = f(5) Función de Probabilidad de “masa” Función de Frecuencia
X(ci) = xi P(A) = Propiedades función de cuantia: 1. P ( X = xi ) 0 2. P ( X = xi ) = 1 i 3. Función de Distribución: F(x) =x P ( X = xi ) = x f ( xi ) x x i i
Esperanza de una v. a. X Varianza de una v. a. X
Distribuciones Discretas Especiales 1. Distribución Bernoulli X: R P(X(ω)=0) = 1 – p P(X(ω)=1) = p E X = 0 ( 1 - p ) + 1 * p = p V X = ( 0 - p )2( 1 - p ) + ( 1 - p )2 p = p ( 1 - p )
Función de Distribución v. a. Discreta Consideremos un solo experimento sea A un evento asociado con tal experimento. supongamos que P(A) = p; luego P(Ac) = 1 - p Sea la v. a. X(A ) = 1 X(Ac) = 0 f(x) P(X = 1) = p P(X = 0) = 1 – p p = 0, 7 Entonces su función de cuantía es f(x) = P(X =x) = px (1 – p)1 -x x 0 0 1 X = 0, 1 0<p<1
Distribuciones Discretas Especiales 2. Distribución Binomial Supongamos que de una línea de producción se extraen n piezas con reemplazo, las cuales pueden ser defectuosas o no con una probabilidad “p”. X: N° de piezas defectuosas en las n extracciones Entonces k = 0, 1, 2, . . . , n
E X = np V X = np (1 -p) Notación: X B( n , p ) • Se utiliza en el muestreo de una población finita con reemplazo. • También cuando la población es muy grande, con o sin reemplazo, ya que “p” se hace relativamente constante.
Función de Distribución v. a. Discreta • Sean n repeticiones independientes del experimento • consiste de todos los posibles secuencias { a 1, a 2, a 3, . . , an}, donde cada ai puede ser un evento A o un evento Ac. • Existen 2 n de tales secuencias Sea la variable aleatoria X : = número de veces que ocurre el evento A sus posibles valores son: 0, 1, 2, 3 , . . . , n f(x) 0, 300 0, 200 n = 16 p = 0, 2 n f(x) = P(X = x) = x 0, 100 0, 000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x px (1 –p)n-x x = 0, 1, 2, . . . , n 0<p<1
Distribuciones Discretas Especiales 3. Distribución Hipergeométrica Surge en poblaciones que contienen elementos clasificables en 2 estratos ( con defectos: D ; sin defectos: N - D ). Consideremos un lote de tamaño N. Se extrae una muestra de tamaño n sin reemplazo. X: N° de artículos defectuosos en la muestra
k =0, 1, 2, . . . , min n , D Es aplicable al muestrear lotes de tamaño pequeño en relación al tamaño de la muestra ( N 10 n ).
Distribuciones Discretas Especiales 4. Distribución de Poisson Supongamos que tenemos una muestra de tamaño grande, para lo cual la probabilidad de encontrar un artículo defectuoso es pequeño “p”, y por lo tanto “np” el número total de artículos defectuosos en la muestra. Sea = np. Entonces k = 0, 1, 2, . . . .
E X = V X = Caso límite: X B( n , p ) con n p 0 N 0
Cronstrucción de un Modelo Probabilístico • Las piezas a la salida de una línea de producción se clasifican en defectuosas (D) o no defectuosas (N). • Se toma tres piezas aleatoriamente y se clasifican de acuerdo a este esquema. El para este experimento es: = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} • La probabilidad que una pieza sea defectuosa es p y no cambia. Eso implica que si la población es finita, las observaciones se hacen con reemplazo • Interesa el número de piezas D y no el orden en que salen. • Se define una v. a. X igual al número de piezas defectuosas; luego, X = { 0, 1, 2, 3). Encontrar (xi, f(xi))
Creando un Modelo Probabilístico f(x) 0, 5 0, 4 3(1 -p)2 p (1 -p)3 3(1 -p) p 2 0, 3 0, 2 p 3 0, 1 0 0 1 2 3 = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} X(NND)= 1 X(NDN)= 1 X(DNN)= 1 3 P(N) P(D) x
Función de Distribución v. a. Discreta F(x) = 0 x < x 1 1 1 = = = f( xi ) x 1 x < x 2 f( xi ) x 2 x < x 3 f( xi ) x 3 x < x 4 i=1 2 i=1 3 i=1 4 = f( xi ) i=1 0 P(X=x 5) = f(x 5) Función de Probabilidad de “masa” Función de Frecuencia x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 xn x 4 x < x 5
Variables Aleatorias Continuas • Cuando el experimento se realiza sobre un espacio muestral que está relacionado con escalas intevalares (tales como mediciones de distancias, volúmenes, pesos, tiempos, velocidad, voltajes, intensidad, caudal, temperatura etc. ) • Ya que los posibles valores de X en un intervalo, a < x < b, son infinitos - no enumerables - no podemos hablar del i -ésimo valor de X = xi; En tales casos se habla se Variables Aleatorias Continuas, donde Rx es un intervalo o un conjunto de intervalos; entonces existe una función continua especial f: R R f(x) = lim h 0 P(x < X < x + h) h >0
Variables Aleatorias Continuas Sea X una variable aleatoria continua. La función densidad de probabilidad (pdf) es una función que satisface: f(x) > 0; f(x) x Rx - , + A: un evento a x b A: { x| a < x b) ò f(x) dx = 1 Rx b P(A) = P(a < x < b) = ò f( x ) dx a
Distribuciones de Probabilidad Continuas Están definidas por una densidad de v. a. X f : R R se dice densidad de probabilidad Propiedades: Propiedades 1. f (x) 0 2.
Observaciones 1. 2. 3. F (- ) = 0 ; F ( ) = 1 f(x) 4. Fx es no decreciente 5. 6. a b x
Función de Distribución Acumulada Si X es una variable aleatoria, la Función de Distribución Acumulada mide la probabilidad de un suceso en un intervalo de valores: F(x) = P(X x) Si Si X X es es una v. a. Discreta F(x) = f(x ) i i x Donde la suma es tomada sobre todos los índices i que satifacen xi x Si X es una v. a. Continua x F(x) = ò f(t) dt - Donde la sumatoria es reemplazada por una integración para todos los valores de t x
Construcción de Modelos de Probabilidad II) Sea F : R R, Fu Distribución, entonces: i) F es no decreciente ii) F es continua por la derecha iii) lim F(x) = 0 lim F(x) = 1 Luego P( - , x ) = F(x) define una Probabilidad Además: P( a, b ) = F(b) - F(a) P( a, b ) = F(b) - F(a-) P( a, b ) = F(b-) - F(a-)
Variables Aleatorias Continuas Sea X una variable aleatoria continua que puede tomar cuarquier valor entre a x b; cuya pdf es: f (x ) = 1 b-a a x b f(x) Sea a = 3; b = 12 0, 2 A: el evento { 4 < x < 7 } 0, 1 Entonces: 0, 0 7 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a b min máx P(A) = P(4 < x < 7) P(A) = 1 3 = ò 4 1 9 dx
Distribuciones Continuas Especiales 1. Distribución Uniforme: Dada la función de densidad 2. La función de Distribución es
Notación: X U( a , b )
Distribuciones Continuas Especiales 2. Distribución Normal F(x) : No tiene expresión analítica
Notación: X N( , 2 ) Estandarización Haciendo N( 0 , 1 ) se tiene que: y FZ(z) se obtiene de tablas !
Distribuciones Continuas Especiales 3. Distribución Rayleigh
Distribuciones Continuas Especiales 4. Distribución Gamma
Función Densidad de Probabilidades
Distribuciones Continuas Especiales 5. Distribución Chi-Cuadrado Evaluando en Gamma Se llega a que X 2(n) ( n/2 , 2 )
Distribuciones Continuas Especiales 6. Distribución Beta X (r, s) ssi
Función Densidad de Probabilidades
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