Captulo 4 Funo do 2 Grau Prof Daniel

Capítulo 4 – Função do 2º Grau • Prof. Daniel Keglis • Matemática

4. 1) Definição: Uma função f: R R chama-se função polinomial do 2º grau quando ela é do tipo f(x) = ax 2 + bx + c = 0, sendo a, b e c números reais e a 0. Exemplos: f(x) = 2 x 2 - 18 f(x) = - 3 x 2 + 2 x f(x) = 2 x 2 +5 x -2 a = 2 , b = 0 e c =-18 a = -3 , b = 2 e c = 0 a = 2 e b = 5 e c = -2

4. 2 Zeros ou raízes da função do 2º grau: É o valor de x para qual a função polinomial do 2º grau f(x) = ax 2 + bx + c = 0, se anula, ou seja, quando f(x) = 0. Exemplo: Seja a função f(x) = x 2 - 2 x -3 O zero ou raiz da função é determinado igualando a f(x) a zero. Através da fórmula de Bhaskara encontramos as raízes x = 3 e x = -1

4. 3. 1 Gráfico da função do 2º grau: Veja a representação gráfica da função do 2º grau x y (x, y) -2 5 (-2, 5) -1 0 (-1, 0) 0 -3 (0, -3) 1 -4 (1, -4) 2 -3 (2, -3) 3 0 (3, 0) 4 5 (4, 5) f(x) = x 2 - 2 x -3

4. 3. 1 Gráfico da função do 2º grau:

4. 3. 2 Concavidades da parábola • O gráfico da função quadrática será sempre uma parábola com concavidades voltadas para cima ou para baixo. Veja: a>0 a<0

4. 3. 3 Esboço gráfico da função do 2º grau No esboço gráfico de uma função quadrática, podem ocorrer os seguintes casos:

4. 3. 3 Esboço gráfico da função do 2º grau

4. 3. 3 Esboço gráfico da função do 2º grau

4. 3. 3 Conclusões (Esboço Gráfico): • Se a função do 2º grau em estudo tiver ∆ > 0, então terá 2 raízes reais e diferentes (x 1 x 2). • Se a função do 2º grau em estudo tiver ∆ = 0, então terá 2 raízes reais e iguais (x 1=x 2). • Se a função do 2º grau em estudo tiver ∆ < 0, então não haverá raízes reais.

4. 5 Coordenadas do vértice da parábola O vértice é um ponto notável da parábola muito importante. É ele que determina a inflexão da curva, ou seja, onde ela muda o seu sentido. Usamos as coordenadas Xv e Yv para determinar o vértice da parábola. Essas expressões são obtidas através dos coeficientes da função quadrática.

4. 6 Valor máximo e valor mínimo da função Considere as funções do 2º grau cujos os gráficos estão representados abaixo:

4. 6 Valor máximo e valor mínimo da função Examinando os gráficos acima, podemos concluir que: • Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado de ponto mínimo (Valor Mínimo). • Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é chamado de ponto máximo (Valor Máximo).

4. 7 Pontos Notáveis da Parábola Para traçar o esboço gráfico de uma parábola, com praticidade, usamos alguns pontos notáveis da parábola. • Ponto de intersecção da parábola com o eixo x (Raízes da função do 2º grau) • Ponto de intersecção da parábola com o eixo y. (Ponto 0, c) • O vértice da parábola. (Xv e Yv).

4. 8 Conclusões: • Observamos que o gráfico de uma função do 2º grau é sempre uma parábola. • Quando a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima, a < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo. • O coeficiente c é a ordenada do ponto (0, c) onde a parábola intercepta o eixo y. • O zeros ou raízes da função são o pontos onde a parábola intercepta o eixo x, ou seja, onde f(x) = 0.

4. 9 Estudo do Sinal da função do 2º grau O estudo do sinal de uma função do 2º grau recai sempre em um dos casos a seguir: Para a > 0 ∆>0 ∆=0 ∆<0

4. 9 Estudo do Sinal da função do 2º grau Para a < 0 ∆>0 ∆=0 ∆<0

4. 9 Aplicações: • Podemos observar nas figuras abaixo situações de aplicação deste tipo de função: