Captulo 3 B Vectores Presentacin Power Point de

Capítulo 3 B - Vectores Presentación Power. Point de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University © 2007

Vectores Los topógrafos usan mediciones precisas de magnitudes y direcciones para crear mapas a escala de grandes regiones.

Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: • Demostrar que cumple las expectativas matemáticas: análisis de unidades, álgebra, notación científica y trigonometría de triángulo recto. • Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y vectoriales. • Determinar los componentes de un vector dado. • Encontrar la resultante de dos o más vectores.

Expectativas • Debe ser capaz de convertir unidades de medición para cantidades físicas. Convierta 40 m/s en kilómetros por hora. m 1 km 3600 s 40 --- x -------- = 144 km/h s 1000 m 1 h

Expectativas (cont. ): • Se supone manejo de álgebra universitaria y fórmulas simples. Ejemplo: Resuelva para vo

Expectativas (cont. ) • Debe ser capaz de trabajar en notación científica. Evalúe lo siguiente: (6. 67 x 10 -11)(4 x 10 -3)(2) F = ------------3)2 2 (8. 77 x 10 r Gmm’ F = 6. 94 x 10 -9 N = 6. 94 n. N

Expectativas (cont. ) • Debe estar familiarizado con prefijos del SI metro (m) 1 m = 1 x 100 m 1 Gm = 1 x 109 m 1 nm = 1 x 10 -9 m 1 Mm = 1 x 106 m 1 mm = 1 x 10 -6 m 1 km = 1 x 103 m 1 mm = 1 x 10 -3 m

Expectativas (cont. ) • Debe dominar la trigonometría del triángulo recto. y y = R sen = R R y x = R cos x R 2 = x 2 + y 2

Repaso de matemáticas Si siente necesidad de pulir sus habilidades matemáticas, intente el tutorial del Capítulo 2 acerca de matemáticas. La trigonometría se revisa junto con los vectores en este módulo. Seleccione Capítulo 2 del On-Line Learning Center en Tippens-Student Edition

La física es la ciencia de la medición Longitud Peso Tiempo Comience con la medición de longitud: su magnitud y su dirección.

Distancia: cantidad escalar § Distancia es la longitud de la ruta tomada por un objeto. s = 20 m A B Una cantidad escalar: Sólo contiene magnitud y consiste de un número y una unidad. (20 m, 40 mi/h, 10 gal)

Desplazamiento-Cantidad vectorial • Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una dirección especificada. D = 12 m, 20 o A B Una cantidad vectorial: Contiene magnitud Y dirección, un número, unidad y ángulo. (12 m, 300; 8 km/h, N)

Distancia y desplazamiento • Desplazamiento es la coordenada x o y de la posición. Considere un auto que viaja 4 m E, luego 6 m W. D Desplazamiento neto: 4 m, E x = -2 x = +4 6 m, W D = 2 m, W ¿Cuál es la distancia recorrida? ¡¡ 10 m !!

Identificación de dirección Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y sur. (Ubique los puntos abajo. ) N W 60 o 50 o 60 o Longitud = 40 m, 50 o N del E E 40 m, 60 o N del W 40 m, 60 o W del S S 40 m, 60 o S del E

Identificación de dirección Escriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, oeste, norte. N W 45 o E 50 o S 500 S del E N W E S 450 W del N Clic para ver las respuestas. . .

Vectores y coordenadas polares Las coordenadas polares (R, ) son una excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 500 N del E. 90 o 180 o 270 o 90 o 40 m R 180 o 50 o 0 o 270 o R es la magnitud y la dirección. 0 o

Vectores y coordenadas polares Se dan coordenadas polares (R, ) para cada uno de los cuatro posibles cuadrantes: 90 o (R, ) = 40 m, 50 o 120 o 210 o 180 o 60 o 50 o 60 o 3000 270 o 0 o (R, ) = 40 m, 120 o (R, ) = 40 m, 210 o (R, ) = 40 m, 300 o

Coordenadas rectangulares y (-2, +3) (+3, +2) + (-1, -3) + x La referencia se hace a los ejes x y y, y los números + y – indican posición en el espacio. Derecha, arriba = (+, +) - Izquierda, abajo = (-, -) (+4, -3) (x, y) = (? , ? )

Repaso de trigonometría • Aplicación de trigonometría a vectores Trigonometría R y y = R sen x = R cos x y sen = R R 2 = x 2 + y 2

Ejemplo 1: Encuentre la altura de un edificio si proyecta una sombra de 90 m de largo y el ángulo indicado es de 30 o. La altura h es opuesta a 300 y el lado adyacente conocido es de 90 m. h 300 h = (90 m) tan 30 o 90 m h = 57. 7 m

Cómo encontrar componentes de vectores Un componente es el efecto de un vector a lo largo de otras direcciones. A continuación se ilustran los componentes x y y del vector (R, ). x = R cos R x y y = R sen Cómo encontrar componentes: Conversiones de polar a rectangular

Ejemplo 2: Una persona camina 400 m en una dirección 30 o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento al este y cuánto al norte? N N R q x 400 m y 30 o E y=? x=? El componente x (E) es ADY: x = R cos El componente y (N) es OP: y = R sen E

Ejemplo 2 (cont. ): Una caminata de 400 m en una dirección a 30 o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? N Nota: x es el lado 400 m 30 o adyacente al ángulo de 300 y=? x=? E x = (400 m) cos 30 o = +346 m, E ADY = HIP x cos 300 x = R cos El componente x es: Rx = +346 m

Ejemplo 2 (cont. ): Una caminata de 400 m en una dirección a 30 o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? N Nota: y es el lado opuesto 400 m 30 o al ángulo de 300 y=? x=? E y = (400 m) sen 30 o = + 200 m, N OP = HIP x sen 300 y = R sen El componente y es: Ry = +200 m

Ejemplo 2 (cont. ): Una caminata de 400 m en una dirección a 30 o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? N 400 m 30 o Rx = Ry = +200 m E Los componentes x y y son cada uno + en el primer cuadrante +346 m Solución: La persona se desplaza 346 m al este y 200 m al norte de la posición original.

Signos para coordenadas rectangulares 90 o Primer cuadrante: R es positivo (+) R + + 0 o > < 90 o 0 o x = +; y = + x = R cos y = R sen

Signos para coordenadas rectangulares 90 o 180 o + R Segundo cuadrante: R es positivo (+) 90 o > < 180 o x=-; y=+ x = R cos y = R sen

Signos para coordenadas rectangulares Tercer cuadrante: R es positivo (+) 180 o > < 270 o x=- - R 270 o y=- x = R cos y = R sen

Signos para coordenadas rectangulares Cuarto cuadrante: R es positivo (+) + 360 o R 270 o > < 360 o x=+ y=- x = R cos y = R sen

Resultante de vectores perpendiculares Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como cambiar de coordenadas rectangulares a polares. R y x R siempre es positivo; es desde el eje +x

Ejemplo 3: Una fuerza de 30 lb hacia el sur y una de 40 lb hacia el este actúan sobre un burro al mismo tiempo. ¿Cuál es la fuerza NETA o resultante sobre el burro? Dibuje un esquema burdo. Elija una escala burda: Ej: 1 cm = 10 lb 40 lb Nota: La fuerza tiene dirección tal = como 4 cm 40 lbla longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar 30 vectores lb 3 longitud cm = 30 para lb como si se tuvieran 30 lb encontrar la fuerza resultante. ¡El

Cómo encontrar la resultante (cont. ) Encontrar (R, ) a partir de (x, y) dados = (+40, -30) 40 lb Rx q f R= tan = Ry R 30 lb x 2 + y 2 -30 40 R= 40 lb 30 lb (40)2 + (30)2 = 50 lb = -36. 9 o = 323. 1 o

R q Ry f 40 lb R = 50 lb Rx 40 lb Rx q q 30 lb R Ry Rx 40 lb Rx f f Ry 30 lb R q 30 lb Cuatro cuadrantes (cont. ) R = 50 lb 40 lb Ry R 30 lb = 36. 9 o; 143. 1 o; 216. 9 o; 323. 1 o

Notación vector unitario (i, j, k) k z y Considere ejes 3 D (x, y, z) j Defina vectores unitarios i, j, k i x Ejemplos de uso: 40 m, E = 40 i 40 m, W = -40 i 30 m, N = 30 j 30 m, S = -30 j 20 m, out = 20 k 20 m, in = -20 k

Ejemplo 4: Una mujer camina 30 m, W; luego 40 m, N. Escriba su desplazamiento en notación i, j y en notación R, . En notación i, j se tiene: +40 m R -30 m R = Rx i + Ry j Rx = - 30 m Ry = + 40 m R = -30 i + 40 j El desplazamiento es 30 m oeste y 40 m norte de la posición de partida.

Ejemplo 4 (cont. ): A continuación se encuentra su desplazamiento en notación R, . +40 m R -30 m = 1800 – 59. 10 = 126. 9 o R = 50 m (R, ) = (50 m, 126. 9 o)

Ejemplo 6: La ciudad A está 35 km al sur y 46 km al oeste de la ciudad B. Encuentre la longitud y dirección de la autopista entre las ciudades. 46 km R = -46 i – 35 j =? 35 km B R=? R = 57. 8 km A = 1800 + 52. 70 = 52. 70 S de W. = 232. 70

Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña si su brazo forma un ángulo de 280 con el suelo. F = 240 N Fy F 280 Fy Fx Fx = -|(240 N) cos 280| = -212 N Fy = +|(240 N) sen 280| = +113 N O en notación i, j : F = -(212 N)i + (113 N)j

Ejemplo 8. Encuentre los componentes de una fuerza de 300 N que actúa a lo largo del manubrio de una podadora. El ángulo con el suelo es de 320. 32 o Fx = -|(300 N) cos 320| = -254 N Fy = -|(300 N) sen 320| = -159 N F = 300 N Fx Fy 320 F Fy O en notación i, j : F = -(254 N)i - (159 N)j

Método de componentes 1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1 o a la cola del 2 o, la punta del 2 o a la cola del 3 o, y así para los demás. 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. 3. Escriba cada vector en notación i, j. 4. Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación i, j. Luego convierta a (R, ).

Ejemplo 9. Un bote se mueve 2. 0 km al este, luego 4. 0 km al norte, luego 3. 0 km al oeste y finalmente 2. 0 km al sur. Encuentre el desplazamiento resultante. 1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1 o a la cola del 2 o, la punta del 2 o a la cola del 3 o, y así para los demás. D N 3 km, O 2 km, S C B 4 km, N A 2 km, E E 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. Nota: La escala es aproximada, pero todavía es claro que la resultante está en el cuarto cuadrante.

Ejemplo 9 (cont. ) Encuentre el desplazamiento resultante. 3. Escriba cada vector en notación i, j: A = +2 i B= +4 j C = -3 i D= -2 j R = -1 i + 2 j 1 km al oeste y 2 km al norte del origen. D 2 km, S N 3 km, O C B 4 km, N A E 2 km, E 4. Sume algebraicamente los vectores A, B, C, D para obtener la resultante en notación i, j. 5. Convierta a notación R, q Vea página siguiente.

Ejemplo 9 (cont. ) Encuentre desplazamiento resultante. La suma resultante es: R = -1 i + 2 j Ahora encuentre R, D 2 km, S N 3 km, O C B 4 km, N E A 2 km, E R = 2. 24 km R Ry = +2 km = 63. 40 N del O Rx = -1 km

Recordatorio de unidades significativas: N Por conveniencia, D 3 km 2 km C siga la práctica de B 4 km suponer tres (3) E cifras significativas A para todos los datos 2 km en los problemas. En el ejemplo anterior, se supone que las distancias son 2. 00 km, 4. 00 km y 3. 00 km. Por tanto, la respuesta se debe reportar como: R = 2. 24 km, 63. 40 N del O

Dígitos significativos para ángulos = 36. 9 o; 323. 1 o 30 lb R Puesto que una décima de grado con frecuencia puede ser significativa, a veces se necesita un cuarto dígito. Regla: Escriba los ángulos a la décima de grado más cercana. Vea los dos ejemplos siguientes: Ry Rx 40 lb Rx 40 lb Ry R 30 lb

Ejemplo 10: Encontrar R, para los tres desplazamientos vectoriales siguientes: A = 5 m, 00 B = 2. 1 m, 200 C = 0. 5 m, 900 R A=5 m C= B m 0. 5 200 B = 2. 1 m 1. Primero dibuje los vectores A, B y C a escala aproximada y los ángulos indicados. (Dibujo burdo) 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector; note el cuadrante de la resultante. ( R, ) 3. Escriba cada vector en notación i, j. (continúa. . . )

Ejemplo 10: Encuentre R, para los tres desplazamientos vectoriales siguientes. (Puede ser útil una tabla. ) Para notación i, j, encuentre los componentes x, y de cada vector A, B, C. Vector A=5 m C= R B A=5 m m 200 B = 2. 1 m componente x (i) componente y (j) 00 +5 m B = 2. 1 m 200 +(2. 1 m) cos 200 C = 0. 5 m 900 0 R x = A x + Bx + C x 0 +(2. 1 m) sen 200 + 0. 5 m R y = A y + By + C y 0. 5

Ejemplo 10 (cont. ): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 00; B = 2. 1 m, 200; C = 0. 5 m, 900. componente x (i) componente y (j) Ax = + 5. 00 m Ay = 0 Bx = +1. 97 m By = +0. 718 m Cx = 0 Cy = + 0. 50 m 4. Sume los vectores para obtener la resultante R en notación i, j. A = 5. 00 i + 0 j B = 1. 97 i + 0. 718 j C= 0 i + 0. 50 j R = 6. 97 i + 1. 22 j

Ejemplo 10 (cont. ): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 00; B = 2. 1 m, 200; C = 0. 5 m, 900. R = 6. 97 i + 1. 22 j 5. Determine R, a partir de x, y: Diagrama para encontrar R, : R q R = 7. 08 m Ry 1. 22 m Rx= 6. 97 m = 9. 930 N del E

Ejemplo 11: Un ciclista viaja 20 m, E luego 40 m a 60 o N del W, y finalmente 30 m a 210 o. ¿Cuál es el desplazamiento resultante gráficamente? C = 30 m B= 40 m 30 o R Gráficamente, se usa regla y transportador para dibujar los componentes, luego se mide la resultante R, 60 o A = 20 m, E Sea 1 cm = 10 m R = (32. 6 m, 143. 0 o)

A continuación se proporciona una comprensión gráfica de los componentes y la resultante: Cy By Nota: Rx = Ax + Bx + Cx 30 o C R Ry B Ry = A y + B y + C y 60 o A Rx Cx 0 Ax Bx

Ejemplo 11 (cont. ) Use el método de componentes para encontrar la resultante. Cy B y Ry Escriba cada vector en notación i, j. 30 o C R f B q Rx Cx 60 Ax = 20 m, Ay = 0 A Ax Bx Cx = -30 cos 30 o = -26 m Cy = -30 sen 60 o = -15 m A = 20 i Bx = -40 cos 60 o = -20 m By = 40 sen 60 o = +34. 6 m B = -20 i + 34. 6 j C = -26 i - 15 j

Ejemplo 11 (cont. ) Método de componentes Cy B y Ry Sume algebraicamente: A = 20 i 30 o C R f B q Rx Cx +19. 6 B = -20 i + 34. 6 j 60 A C = -26 i - 15 j Ax R = -26 i + 19. 6 j Bx R f -26 R= (-26)2 + (19. 6)2 = 32. 6 m tan = 19. 6 -26 = 143 o

Ejemplo 11 (cont. ) Encuentre la resultante. Cy B y R = -26 i + 19. 6 j 30 o B C Ry R f q Rx Cx 60 A +19. 6 Ax R -26 Bx El desplazamiento resultante del ciclista se proporciona mejor mediante sus coordenadas polares R y . R = 32. 6 m; = 1430

Ejemplo 12. Encuentre A + B + C para los vectores que se muestran a continuación. A = 5 m, 900 B = 12 m, 00 C = 20 m, -350 Ax = 0; Ay = +5 m B Cx 350 C A y R C Cx = (20 m) cos 350 A= 0 i + 5. 00 j B = 12 i + 0 j C = 16. 4 i – 11. 5 j Cy = -(20 m) sen -350 R = 28. 4 i - 6. 47 j Bx = +12 m; By = 0

Ejemplo 12 (cont. ). Encuentre A + B + C B 350 A R C Rx = 28. 4 m R Ry = -6. 47 m R = 29. 1 m = 12. 80 S del E

Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Considere primero A + B gráficamente: B R=A+B R A A B

Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Ahora A – B: primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector negativo. B A -B R’ A A -B

Suma y resta La resta resulta en un diferencia significativa tanto en la magnitud como en la dirección del vector resultante. |(A – B)| = |A| - |B| Comparación de suma y resta de B B R=A+B A R A A R’ = A - B B R’ -B

Ejemplo 13. Dados A = 2. 4 km N y B = 7. 8 km N: encuentre A – B y B – A. A – B; B-A A-B +A -B R A B 2. 43 N 7. 74 N B-A +B -A R (2. 43 N – 7. 74 S) (7. 74 N – 2. 43 S) 5. 31 km, S 5. 31 km, N

Resumen para vectores § Una cantidad escalar se especifica completamente sólo mediante su magnitud. (40 m, 10 gal) § Una cantidad vectorial se especifica completamente mediante su magnitud y dirección. (40 m, 300) Componentes de R: Rx = R cos Ry = R sen R q Rx Ry

Continúa resumen: § Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como convertir de coordenadas polares (R, ) a rectangulares (Rx, Ry). Resultante de vectores: R q Rx Ry

Método de componentes vectores para § Inicie en el origen y dibuje cada vector en sucesión para formar un polígono etiquetado. § Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. § Escriba cada vector en notación i, j (Rx, Ry). § Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación i, j. Luego convierta a (R, ).

Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Ahora A – B: primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector negativo. B A -B R’ A A -B

Conclusión del Capítulo 3 B - Vectores