Captulo 24 CONEXES COM A MATEMTICA Corpos redondos

Capítulo 24 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Corpos redondos ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1––Conjuntos –Corposredondos 1. 5

Cilindro Considere dois planos paralelos, e σ, um círculo C de raio r contido em , e uma reta s que intercepta planos e σ. Chama-se cilindro circular , ou apenas cilindro, a figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta s, com uma extremidade em um ponto de C e a outra em um ponto do plano σ. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 1 1. 5

Elementos do cilindro CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 2 1. 5

Classificação dos cilindros Podemos classificar os cilindros de acordo com a inclinação da reta s em relação aos planos e σ que contêm as bases: §se a reta s é perpendicular §se a reta s não é perpendicular aos planos e σ, o cilindro é é reto (g = h). oblíquo (g ≠ h). CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 3 1. 5

Observações § Um cilindro circular reto também é denominado cilindro de revolução , pois pode ser obtido pela rotação de uma superfície retangular em torno da reta que contém um dos lados dessa superfície. A medida desse lado é igual à altura h do cilindro, e a medida do lado perpendicular a esse é igual à medida do raio r da base do cilindro. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 4 1. 5

Observações § Se um cilindro reto tem altura igual ao dobro da medida do raio da base (h = 2 r), ele é chamado cilindro equilátero. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 4 1. 5

Secção meridiana de um cilindro Uma secção meridiana de um cilindro é determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contenha seu eixo. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 5 1. 5

Secção transversal de um cilindro Uma secção transversal de um cilindro é a intersecção do cilindro com um plano paralelo ao plano da base. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 6 1. 5

Planificação da superfície de um cilindro reto CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 7 1. 5

Área da superfície de um cilindro reto Abase = r 2 Alateral = 2 rh Atotal = 2 r(r + h) CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 8 1. 5

Exercício resolvido R 1. Dado um retângulo de dimensões 3 cm e 5 cm, comparar a área lateral e a área total da superfície dos cilindros de revolução dele obtidos. Resolução Fazendo a rotação do retângulo em torno do lado que mede 3 cm, obtemos um cilindro reto de raio 5 cm e altura 3 cm. Então: Alateral = 2 ∙ ∙ 5 ∙ 3 = 30 Atotal = 2 ∙ 5 ∙ ∙ (5 + 3) = 80 Logo, esse cilindro tem área lateral de 30 cm 2 e área total de 80 cm 2. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 9 1. 5

Exercício resolvido R 1. Resolução O outro cilindro de revolução tem raio 3 cm e altura 5 cm. Então: Alateral = 2 ∙ ∙ 5 ∙ 3 = 30 Atotal = 2 ∙ 3 ∙ ∙ (3 + 5) = 48 Logo, esse cilindro tem 30 cm 2 de área lateral e área total de 48 cm 2. Portanto, as áreas laterais dos cilindros obtidos são iguais. No entanto, quando fazemos a rotação do retângulo em torno do lado menor, a área total da superfície do cilindro é maior. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 9 1. 5

Exercício resolvido R 2. Calcular a razão entre a área da base e a área da secção meridiana de um cilindro equilátero. Resolução Vamos considerar um cilindro equilátero de altura h e cuja base é um círculo de raio r. A área da base é: Abase = ∙ r 2 Como um cilindro equilátero tem a altura igual ao dobro do raio (h = 2 r), a secção meridiana é um quadrado de lado 2 r. A área da secção meridiana é: Asecção meridiana = 2 r ∙ 2 r = 4 r 2 2 ∙ r ____ _ Assim, temos: = 4 ∙ r 2 4 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 10 1. 5

Volume de um cilindro Vcilindro = r 2 h Exemplo Vamos calcular o volume máximo de areia que um recipiente de formato cilíndrico pode conter. As medidas do recipiente são: 1, 5 m de altura e 1 m de raio da base. (Adote: = 3, 14) V = r 2 h V = (3, 14) ∙ (1)2 ∙ (1, 5) ⇒ V = 4, 71 Logo, o recipiente pode conter no máximo 4, 71 m 3 de areia. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 11 1. 5

Exercício resolvido R 3. Considerar três cilindros circulares retos: C, de altura h e base de raio r; cilindro C’, de altura h e base de raio 2 r; e cilindro C’’, de altura 2 h e base de raio r. a) Comparar o volume de C’ com o de C. b) Comparar o volume de C’’ com o de C. c) Comparar o volume de C’ com o de C’’. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 12 1. 5

Exercício resolvido R 3. Resolução Primeiro calculamos o volume de C: V = r 2 h a) C’ tem volume V’ = ∙ (2 r)2 ∙ h = 4( r 2 h), ou seja: V’ = 4 V Portanto, o volume de C’ é o quádruplo do volume de C. b) C’’ tem volume V’’ = ∙ r 2 ∙ (2 h) = 2( r 2 h), ou seja: V’’ = 2 V Portanto, o volume de C’’ é o dobro do volume de C. c) Dos itens anteriores, temos: V’ = 4 r 2 h = 2(2 r 2 h), ou seja: V’ = 2 V’’ Portanto, o volume de C’ é o dobro do volume de C’’. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 12 1. 5

Cone Vamos considerar um círculo C, de centro O e de raio r, em um plano , e um ponto V não pertencente ao plano . Chamamos de cone circular , ou apenas cone, a reunião de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e outra em um ponto de C. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 13 1. 5

Elementos do cone CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 14 1. 5

Classificação dos cones O cone pode ser classificado de acordo com a inclinação do eixo em relação ao plano que contém a base: § se o eixo é perpendicular ao plano que contém a base, então o cone é reto (h = ). § se o eixo não é perpendicular ao plano que contém a base, então o cone é oblíquo (h < ). cone oblíquo cone reto CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 15 1. 5

Observações § Um cone circular reto também é denominado cone de revolução , pois pode ser obtido pela rotação de uma superfície triangular, determinada por um triângulo retângulo, em torno de uma reta que contém um de seus catetos. A medida desse cateto será igual à altura do cone, e a medida do outro cateto será igual à medida do raio da base do cone. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 16 1. 5

Observações § Se um cone reto tem medida da geratriz igual ao dobro da medida do raio da base (g = 2 r), ele é chamado de cone equilátero. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 16 1. 5

Secção meridiana de um cone Uma secção meridiana de um cone é determinada pela intersecção do cone com um plano que contenha seu eixo. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 17 1. 5

Secção transversal de um cone Uma secção transversal de um cone é a intersecção do cone com um plano paralelo ao plano da base e que não passe por seu vértice. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 18 1. 5

Planificações da superfície de um cone reto CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 19 1. 5

Planificações da superfície de um cone reto CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 19 1. 5

Relações métricas entre os elementos de um cone reto CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 20 1. 5

Exercício resolvido R 4. Calcular o comprimento da circunferência da base e a altura de um cone reto cuja geratriz mede 13 cm e cujo raio mede 5 cm. Resolução O comprimento da circunferência da base é dado por C = 2 r. Sabemos que o cone tem raio de medida r = 5 cm. Assim: C = 2 ∙ ∙ 5 ⇒ C = 10 ⇒ C ≃ 31, 4 Portanto, o comprimento da circunferência da base é aproximadamente 31, 4 cm. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 21 1. 5

Exercício resolvido R 4. Resolução Sabendo que o cone é reto, podemos obter a altura por meio de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é a geratriz e as medidas dos catetos são a altura e o raio da base do cone. Assim: 132 = h 2 + 52 h 2 = 144 h = 12 Portanto, a altura do cone é 12 cm. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 21 1. 5

Exercício resolvido R 5. Um cone reto de altura 10 cm tem por planificação da superfície lateral um setor circular de ângulo medindo 150º. Determinar o raio da base e a medida da geratriz do cone. Resolução Como r 2 + h 2 = g 2, temos: r 2 + 102 = g 2. Logo: g 2 – r 2 = 100 (I) Como : , temos: 150º= (II) CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 22 1. 5

Exercício resolvido R 5. Resolução De (I) e (II), concluímos que: ⇒ ⇒ Portanto, o raio da base do cone mede aproximadamente 4, 58 cm. Como , o comprimento da geratriz mede aproximadamente 11 cm. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 22 1. 5

Área da superfície de um cone reto Abase = r 2 Alateral = rg Atotal = r(r + g) CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 23 1. 5

Exercício resolvido R 6. Calcule a área lateral de um cone reto cuja altura é 16 cm e cujo raio da base mede 12 cm. Resolução Inicialmente vamos obter o comprimento da geratriz do cone: Portanto, o comprimento da geratriz do cone é 20 cm. A área lateral do cone é: Alateral = rg ⇒ Alateral = ∙ 12 ∙ 20 ⇒ Alateral = 240 ⇒ ⇒ Alateral ≃ 753, 6 Logo, a área lateral do cone é 240 cm 2 ou aproximadamente, ≃ 753, 6 cm 2. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 24 1. 5

Exercício resolvido R 7. Determinar a área total da superfície de um cone equilátero de geratriz g. Resolução Vamos considerar um cone equilátero de raio da base r, comprimento da geratriz g e altura h. Sabemos que, no cone equilátero, g = 2 r; portanto: r = Logo: Atotal = Alateral + Abase Atotal = ∙ r ∙ g + ∙ r 2 Atotal = ∙ ∙ g + ∙ = ∙ ∙ g 2 Portanto: Atotal = g 2 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 25 1. 5

Propriedades 1 a propriedade: A razão entre a distância h’ de uma secção transversal ao vértice do cone e a altura h do cone é igual à razão entre a medida do raio r’ da secção transversal e a medida do raio r da base, isto é: CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 26 1. 5

Propriedades 2 a propriedade: Seja A’ a área de uma secção transversal de um cone, feita a uma distância h’ em relação ao vértice V, e A a área da base desse cone, cuja altura é h. A razão entre A’ e A é igual ao quadrado da razão entre h’ e h, isto é: CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 26 1. 5

Propriedades Exemplo A secção transversal de um cone, feita a 84 cm do vértice, tem 10 cm de raio. Vamos calcular a distância de uma secção de 4, 5 cm de raio ao vértice. Para isso, vamos chamar de x a distância entre o vértice e essa secção. Como as distâncias das secções transversais ao vértice são proporcionais a seus raios, temos: Portanto, a secção de 4, 5 cm de raio está a 37, 8 cm do vértice. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 27 1. 5

Volume de um cone Vcone = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 28 1. 5 r 2 h

Exercício resolvido R 8. Observar a representação de uma taça e calcular a quantidade máxima de líquido, em litro, que ela pode comportar. Resolução A quantidade de líquido é dada pelo volume da taça. Assim: V = r 2 h = ∙ ∙ 52 ∙ 20 ≃ 523, 3 Sabemos que: 1ℓ = 1 dm 3 e 1 dm 3 = 1. 000 cm 3 Logo: 1ℓ = 1. 000 cm 3 Então: V ≃ 523, 3 = 523, 3 ∙ ⇒ V ≃ 0, 523 Portanto, a taça pode conter até 0, 523 ℓ. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 29 1. 5

Tronco de um cone reto Considere um cone reto, de vértice V, altura h e raio da base r, seccionado por um plano , paralelamente ao plano da base, a uma distância ht dela (ht < h), que determina uma secção transversal de centro O’ e raio r’, conforme a figura ao lado. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 30 1. 5

Tronco de um cone reto Ao seccionar o cone original, o plano determina dois sólidos, um cone menor, de mesmo vértice V, comprimento da geratriz g’ e altura h’ = h – ht, e outro denominado tronco de cone, de bases paralelas. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 30 1. 5

Elementos de um tronco de cone CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 31 1. 5

Área da superfície de um tronco cone reto de Alateral = gt(R + r) Abase menor = r 2 Abase maior = R 2 Atotal = gt(R + r) + r 2 + R 2 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 32 1. 5

Exercício resolvido R 9. Calcular a área total da superfície de um tronco de cone reto de bases paralelas cuja geratriz mede 6 cm e cujos raios das bases medem 5 cm e 1 cm. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 33 1. 5

Exercício resolvido R 9. Resolução Alateral = gt(R + r) ⇒ Alateral = ∙ 6 ∙ (5 + 1) ⇒ Alateral = 36 Abase menor = r 2 ⇒ Abase menor = ∙ 12 ⇒ Abase menor = Abase maior = R 2 ⇒ Abase maior = ∙ 52 ⇒ Abase maior = 25 Atotal = Alateral + Abase menor + Abase maior total = 36 + + 25 ⇒ Atotal = 62 A Portanto, a área total da superfície desse tronco de cone é 62 cm 2. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 33 1. 5

Volume de um tronco de cone reto Vtronco de cone = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 34 1. 5

Exercício resolvido R 10. Determinar o volume de um tronco de cone circular reto de 4 cm de altura, cujo raio da base maior mede 6 cm e raio da base menor mede 3 cm. Resolução O volume do tronco de cone é dado por: ht ___ Vtronco de cone = (R 2 + Rr + r 2) 3 ∙ 4 ____ Vtronco de cone = (62 + 6 ∙ 3 + 32) 3 Vtronco de cone = 84 cm 3 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 35 1. 5

Exercício resolvido R 11. Dado um tronco de cone reto de bases paralelas, calcular a razão entre os volumes V’cone, do cone menor, e Vcone, do cone maior, que determinam esse tronco, em função da razão entre as respectivas alturas, h’ e h. Resolução O volume do tronco de cone é obtido do volume V’cone do cone menor (de altura h’ e raio da base r’) e do volume Vcone do cone maior (de altura h e raio da base r). Os triângulos VO’A e VOB são semelhantes; portanto: CONEXÕES COM A MATEMÁTICA (I) ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 36 1. 5

Exercício resolvido R 11. Resolução Como os volumes dos cones são dados por V’cone = ∙ ∙ (r’)2 ∙ h’ e Vcone = ∙ ∙ r 2 ∙ h, a razão entre os volumes é: ⇒ (II) Substituindo (I) em (II), obtemos a razão solicitada: CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 36 1. 5

R 12. Calcular a quantidade máxima de sorvete que o pote representado na figura pode comportar. Resolução Calculando a altura do tronco de cone, temos: O volume desse tronco de cone é: ht 2 ___ Vtronco de cone = (R + Rr + r 2) = 3 = (72 + 7 ∙ 5 + 52) = 218 Logo, o pote comporta no máximo 218 cm 3, cerca de 2. 270 cm 3 de sorvete. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 37 1. 5 BIRY SARKIS Exercício resolvido

Esfera Considere um ponto C do espaço e um número real e positivo r. Chamamos de esfera o sólido formado por todos os pontos P do espaço que estão a uma distância de C menor ou igual a r. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 38 1. 5

Superfície esférica A superfície esférica é a “casca” da esfera, ou seja, é o conjunto de pontos P do espaço que estão a uma distância de C igual a r. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 39 1. 5

Esfera de revolução A esfera é considerada um sólido de revolução, pois pode ser obtida pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que passa por seu diâmetro. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 40 1. 5

Secção plana de uma esfera Toda secção plana de uma esfera, ou intersecção de uma esfera com um plano, é um ponto ou um círculo. Se o plano de intersecção contiver o centro da esfera, então a secção obtida será chamada círculo máximo. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 41 1. 5

Exercício resolvido R 13. Considerando que as esferas S 1 e S 2, de raios medindo 3 cm e 4 cm, respectivamente, são tangentes externamente, determinar a distância entre seus centros. Resolução Como as esferas são tangentes externamente, ou seja, têm somente um ponto em comum, o segmento que une seus centros tem medida r 1 + r 2. Nesse caso: 3 + 4 = 7 Então, a distância entre seus centros é 7 cm. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 42 1. 5

Exercício resolvido R 14. Calcular a medida r 1 do raio de uma secção plana de uma esfera sabendo que o raio da esfera mede 13 cm e a distância dessa secção ao centro da esfera é 5 cm. Resolução Observe a figura. Vamos destacar o triângulo retângulo COP: Aplicando o teorema de Pitágoras no ∆COP, temos: 132 = 52 + r 12 ⇒ r 12 = 144 ⇒ r 1 = 12 Portanto, r 1 é igual a 12 cm. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 43 1. 5

Exercício resolvido R 15. Calcular o volume do cilindro inscrito na semiesfera abaixo. Resolução Vcilindro = R 2 h ⇒ Vcilindro = (r 2 – h 2)h Vcilindro = (42 – 22) ∙ 2 = 24 O volume do cilindro é 24 cm 3. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 44 1. 5

Área da superfície esférica Asuperfície esférica = 4 r 2 Exemplo Vamos calcular a área da superfície esférica de raio 5 cm. Sabemos que: Asuperfície esférica = 4 r 2 Considerando ⋍ 3, 14, temos: A ⋍ 4 ∙ 3, 14 ∙ 25 = 314 Portanto, a área da superfície esférica é de aproximadamente 314 cm 2. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 45 1. 5

Volume da esfera Vesfera = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 46 1. 5 r 3

Exercício resolvido R 16. Uma secção plana de uma esfera, distante cm do centro dessa esfera, tem 36 cm 2 de área. Calcular o volume da esfera e a área de sua superfície. Resolução Como toda secção plana de uma esfera é um círculo, então a área é dada por: 2 A 1 = r 1 Logo: 36 = r 1 ⇒ r 1 = 6 cm (raio da secção plana) Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no ∆COP, calculamos o raio da esfera: r 2 = 62 + = 36 + 45 = 81 ⇒ r = 9 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 47 1. 5

Exercício resolvido R 16. Resolução Agora, podemos calcular o volume V da esfera e a área A de sua superfície: V = r 3 ⇒ V = ∙ ∙ 93 ⇒ V = 972 ⇒ V ≃ 3. 053 A = 4 r 2 ⇒ A = 4 ∙ ∙ 92 ⇒ A = 324 ⇒ A ≃ 1. 017 Portanto, o volume da esfera é aproximadamente 3. 053 cm 3 e a área da superfície é aproximadamente 1. 017 cm 2. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 47 1. 5

Exercício resolvido R 17. Uma esfera foi inscrita em um cubo, conforme a figura ao lado. Calcular o volume dessa esfera e determinar a razão entre as áreas da superfície cúbica e da superfície esférica. Resolução Da figura, temos a = 2 r, e a aresta do cubo igual a 2 cm, então r = 1 cm. O volume da esfera é: Vesfera = ∙ ∙ 13 ⇒ Vesfera = A área da superfície cúbica é: Acubo = 6 ∙ 2 ⇒ Acubo = 24 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 48 1. 5

Exercício resolvido R 17. Resolução A área da superfície esférica é: Aesfera = 4 ∙ ∙ 12 Considerando = 3, 14: Aesfera = 4 ∙ 3, 14 = 12, 56 A razão entre as áreas: ≃ 1, 91 Logo, a área do cubo é quase o dobro da área da superfície esférica. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 48 1. 5

Volume de uma cunha esférica É chamado de cunha esféricao sólido gerado pela rotação, por um ângulo de medida , de um semicírculo de raio r em torno de um eixo que contém seu diâmetro. Vcunha esférica = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 49 1. 5

Área de um fuso esférico Pela rotação, por um ângulo de medida , de uma semicircunferência de raio r em torno de um eixo que contém seu diâmetro, obtemos um fuso esférico. Afuso esférico = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 50 1. 5

Exercício resolvido R 18. Calcular o volume da cunha esférica e a área do fuso esférico da figura ao lado, em que r = 4 cm. Resolução Vcunha esférica = ⇒ Vcunha esférica = ≃ 14, 9 Afuso esférico = ⇒ Afuso esférico = ≃ 11, 2 Portanto, o volume da cunha esférica é aproximadamente 14, 9 cm 3 e a área do fuso esférico é aproximadamente 11, 2 cm 2. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA 1––Conjuntos Capítulo 24 Corpos redondos 24. 51 1. 5

ANOTAÇÕES EM AULA Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos Coordenação de produção: Maria José Tanbellini Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação Ilustração dos gráficos: Adilson Secco EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia Educacional Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin Editor de arte: Fabio Ventura Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres © Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9. 610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados. EDITORA MODERNA Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP: 03303 -904 Vendas e atendimento: Tel. (0__11) 2602 -5510 Fax (0__11) 2790 -1501 www. moderna. com. br 2012 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA