Captulo 23 CONEXES COM A MATEMTICA Poliedros ANOTAES

Capítulo 23 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Poliedros ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 1. 5

Superfície poliédrica fechada Uma superfície poliédrica fechada é composta de um número finito (quatro ou mais) de superfícies poligonais planas, de modo que cada lado de uma dessas superfícies coincida com apenas um lado de alguma das outras superfícies. É uma superfície poliédrica fechada. Não é uma superfície poliédrica fechada. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 1 1. 5

Poliedro É chamado de poliedro o sólido geométrico formado pela reunião de uma superfície poliédrica fechada com todos os pontos do espaço delimitados por ela. Exemplos a) CONEXÕES COM A MATEMÁTICA b) ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros c) 23. 2 1. 5

Elementos de um poliedro face aresta vértice CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 3 1. 5

Nomenclatura de um poliedro Poli edro “várias” “face” § Um poliedro costuma ser nomeado de acordo com seu número de faces. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 4 1. 5

Nomenclatura de um poliedro Exemplos 6 faces a) hexaedro 8 vértices 12 arestas 14 faces b) tetradecaedro 16 vértices 28 arestas 12 faces c) dodecaedro 20 vértices 30 arestas CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 4 1. 5

Nomes de poliedros estudados com maior frequência Número de faces Nome do tetraedro poliedro Número de faces 6 7 pentaedro hexaedro heptaedro 12 20 dodecaedro icosaedro 8 Nome do octaedro poliedro CONEXÕES COM A MATEMÁTICA 5 4 ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 4 1. 5

Poliedro convexo e poliedro não convexo Se cada plano que contém uma face de um poliedro posiciona as demais faces em um mesmo semiespaço, então o poliedro é convexo; caso contrário, é não convexo(ou côncavo). Observação: Um plano divide o espaço em dois semiespaçosde mesma origem . CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 5 1. 5

Poliedro convexo e poliedro não convexo Exemplos Poliedros convexos CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros não convexos 23. 5 1. 5

Relação de Euler V + F – 2 = A número de vértices CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros número de faces 23. 6 1. 5 número de arestas

Relação de Euler Observe que a relação de Euler é válida para os poliedros abaixo. Poliedro CONEXÕES COM A MATEMÁTICA V F A V+F V + F− 2 8 6 12 14 12 6 6 10 12 10 6 5 9 11 9 ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 6 1. 5

Relação de Euler Todo poliedro convexo satisfaz a relação de Euler, mas nem sempre um poliedro que satisfaz essa relação é convexo. Observe: V = 24 F = 14 24 + 14 – 2 = 36 A = 36 não convexo CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 6 1. 5

Exercício resolvido R 1. Obter o número de arestas de um poliedro convexo que tem 6 faces e 8 vértices. Resolução Como a relação de Euler é válida para todos os poliedros convexos, temos: V + F – 2 = A A = 8 + 6 – 2 A = 12 Portanto, esse poliedro convexo tem 12 arestas. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 7 1. 5

Exercício resolvido R 2. Quantos vértices tem um poliedro convexo com 4 faces triangulares e 5 faces quadradas? Resolução Número de faces do poliedro: 4 + 5 = 9. As 4 faces triangulares têm 12 lados (4 3) e as 5 faces quadradas têm 20 lados (5 4). Então, o número de arestas é dado por: (12 + 20) : 2 = 16, pois a ligação de duas faces consecutivas se dá sempre por uma única aresta. Assim, o poliedro tem 16 arestas e 9 faces. Logo: V + 9 – 2 = 16 V = 9 Portanto, esse poliedro tem 9 vértices. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 8 1. 5

Exercício resolvido R 3. Um poliedro euleriano (que atende à relação de Euler) de 7 vértices tem 5 vértices nos quais concorrem 4 arestas e 2 vértices nos quais concorrem 5 arestas. Quantas arestas e quantas faces tem esse poliedro? Resolução § 5 vértices com 4 arestas: (5 4) arestas = 20 arestas § 2 vértices com 5 arestas: (2 5) arestas = 10 arestas CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 9 1. 5

Exercício resolvido R 3. Resolução Como cada aresta foi contada duas vezes (uma vez em cada vértice), temos: 20 + 10 A = = 15 2 Pela relação de Euler, obtemos: V + F = A + 2 7 + F = 15 + 2 F = 10 Logo, o poliedro tem 15 arestas e 10 faces. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 9 1. 5

Poliedros de Platão Um poliedro é chamado de poliedro de Platão se, e somente se: § é convexo e, portanto, satisfaz a relação de Euler; § todas as faces têm o mesmo número inteiro n de arestas; § em todos os vértices concorre o mesmo número inteiro m de arestas. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 10 1. 5

Poliedros de Platão Exemplo Esse poliedro é de Platão, pois: a) § todas as faces têm 4 arestas; § em todos os vértices concorrem 3 arestas; § ele é convexo, portanto a relação de Euler é válida (8 + 6 – 2 = 12). CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 10 1. 5

Poliedros de Platão Exemplo b) Esse poliedro não é de Platão, pois, embora seja convexo e em todos os vértices concorra o mesmo número de arestas, nem todas as faces têm o mesmo número de arestas. Há faces quadrangulares, pentagonais e uma triangular. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 10 1. 5

As cinco classes de poliedros de Platão Classe Característica 4 faces triangulares, e em Tetraedro cada vértice concorrem 3 arestas 6 faces quadrangulares, Hexaedro e em cada vértice concorrem 3 arestas 8 faces triangulares, e em Octaedro cada vértice concorrem 4 arestas CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 11 1. 5 Exemplo

As cinco classes de poliedros de Platão Classe Característica 12 faces pentagonais, e em Dodecaedro cada vértice concorrem 3 arestas 20 faces triangulares, e em Icosaedro cada vértice concorrem 5 arestas CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 11 1. 5 Exemplo

Poliedros regulares Os poliedros regulares têm todas as faces poligonais regulares e congruentes entre si. Observações: § Uma superfície poligonal plana é regular se o polígono que a compõe é regular; § Um polígono é regular se tem todos os lados de mesma medida e todos os ângulos internos congruentes. pentágono regular CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 12 1. 5

Poliedros regulares Veja a seguir os cinco poliedros regulares. tetraedro regular hexaedro regular (cubo) dodecaedro regular CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros octaedro regular icosaedro regular 23. 12 1. 5

Planificação da superfície de um poliedro A superfície de um poliedro, que é formada por superfícies poligonais planas, pode ser projetada sobre um plano, de tal modo que cada uma das faces do poliedro tenha pelo menos um lado em comum com outra face. Obtemos, assim, uma figura plana, que costuma ser chamada de molde do poliedro , planificação da superfície do poliedro ou, simplesmente, planificação do poliedro. As faces de um poliedro podem ser arranjadas de vários modos, desde que cada face esteja ligada a outra por pelo menos um de seus lados. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 13 1. 5

Planificação da superfície de um poliedro Exemplo CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 13 1. 5

Exercício resolvido R 4. Para o caso do cubo, há 11 diferentes planificações. Duas delas estão representadas abaixo; desenhar as outras 9 planificações. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 14 1. 5

Exercício resolvido R 4. Resolução A resolução fica facilitada se usarmos uma malha quadriculada. Estas são as outras possibilidades: CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 14 1. 5

Exercício resolvido R 5. Desenhar duas planificações diferentes da superfície do tetraedro regular. Resolução ou CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 15 1. 5

Exercício resolvido R 6. Na planificação da superfície de um cubo, foi assinalado um ponto A. Marcar nessa planificação o ponto que coincidirá com A depois de o cubo ser montado. Resolução CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 16 1. 5

Exercício resolvido R 7. Qual é o número de vértices do sólido obtido ao dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas da figura ao lado? Resolução O sólido obtido é um heptaedro, logo o número de faces é 7. Como há 5 faces quadrangulares e 2 faces pentagonais, o 5 4 + 2 5 número de arestas é: A = = 15 2 Como vale a relação de Euler, temos: V = 15 – 7 + 2 ou V = 10 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 17 1. 5

Prismas Vamos considerar dois planos paralelos, e , uma região poligonal P contida em e uma reta r que intercepta os planos e . Chama-se prisma o poliedro formado por todos os segmentos de reta paralelos a r tais que uma de suas extremidades é um ponto da região P e a outra extremidade é um ponto no plano . CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 18 1. 5

Prismas Exemplos a) b) c) CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 18 1. 5

Elementos de um prisma Considerando o prisma ao lado, temos: § bases: são as regiões poligonais P e P', congruentes e situadas em planos paralelos ( e , respectivamente); § faces laterais : as regiões poligonais AA’BB’, BB’CC’ etc. ; § arestas das bases : os segmentos AB, BC, . . . , A’B’, B’C’ etc. ; § arestas laterais : os segmentos AA’, BB’, CC’ etc. ; § altura do prisma : a distância h entre os planos das bases ( e ). CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 19 1. 5

Classificação dos prismas 1 o critério Consideramos a inclinação da reta r em relação aos planos e que contêm as bases: § se a reta r é § se a reta r não é perpendicular aos planos e prisma reto e prisma oblíquo faces laterais são retângulos faces laterais são paralelogramos prisma reto CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros prisma oblíquo 23. 20 1. 5

Classificação dos prismas 2 o critério Consideramos o polígono que determina as bases: § se esse polígono é um triângulo prisma triangular § se é um pentágono prisma pentagonal , e assim por diante. § se é um quadrilátero prisma quadrangular CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 20 1. 5

Prisma regular Um prisma é regular se, e somente se, é reto e suas bases são superfícies poligonais regulares. Exemplos Este prisma é regular, pois ele é reto e as suas bases são quadradas. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros Este prisma não é regular, pois as suas bases não são polígonos regulares. 23. 21 1. 5

Paralelepípedo Entre os prismas quadrangulares, aqueles que têm bases em forma de paralelogramos são chamados de paralelepípedos. Esses prismas podem ser retos ou oblíquos. Exemplos Paralelepípedo oblíquo CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros Paralelepípedo reto-retângulo ou bloco retangular 23. 22 1. 5 cubo

Medida da diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujas extremidades são vértices desse paralelepípedo que não pertencem a uma mesma face. d = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 23 1. 5

Medida da diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo d = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 23 1. 5

Exercício resolvido R 8. Calcule a medida da diagonal do paralelepípedo ao lado. Resolução Sabemos que: d = Substituindo a, b e c, respectivamente, por 3, 4 e 5, temos: d = = Þ Þ d = Logo, a diagonal mede cm. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 24 1. 5

Exercício resolvido R 9. Calcule a medida da aresta de um cubo cuja diagonal excede em cm a diagonal da base. Resolução Sendo d a medida da diagonal do cubo e f a medida da diagonal da base, temos, pelos dados do problema: d = f + ⇒ d – f = Também temos: CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 25 1. 5

Exercício resolvido R 9. Resolução Por se tratar de um cubo, sabemos que: d = Assim: d – f = Portanto: = cm CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 25 1. 5

Representações planas de prismas Observe, a seguir, a planificação da superfície de um prisma. Por meio dela, identificamos muitas características desse prisma. Veja: § tem 7 faces, já que a planificação de sua superfície apresenta 7 regiões poligonais; CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 26 1. 5

Representações planas de prismas § tem bases pentagonais, pois faces pentagonais não podem ser faces laterais de um prisma, que devem ser necessariamente quadriláteros; § tem 5 faces laterais (ou faces retangulares), já que as pentagonais são bases; § tem 10 vértices, uma vez que cada base contém metade dos vértices do prisma; § é um prisma reto, pois suas faces laterais são retangulares; § tem altura igual ao comprimento de uma aresta lateral, já que é reto. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 26 1. 5

Área da superfície de um prisma Área da base(Abase): área da face que é base; Área lateral(Alateral): soma das áreas das faces laterais; Área total(Atotal): soma da área lateral com as áreas duas bases, ou seja: Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 27 1. 5

Exercício resolvido R 10. Calcular a área total da superfície de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões a, b e c (medidas dadas em uma mesma unidade). Resolução Nesse caso, quaisquer pares de faces paralelas podem ser as bases do prisma. Assim, a área total é a soma das áreas de seis retângulos congruentes dois a dois: Atotal = 2 ab + 2 ac + 2 bc ⇒ Atotal = 2(ab + ac + bc) CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 28 1. 5

Exercício resolvido R 11. Calcular a área total da superfície de um cubo de aresta a. Resolução Como o cubo é um paralelepípedo reto-retângulo de arestas congruentes, temos: Atotal = 2(a a + a a) Atotal = 6 a 2 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 29 1. 5

Exercício resolvido R 12. Calcular a área total da superfície do prisma hexagonal regular abaixo. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 30 1. 5

Exercício resolvido R 12. Resolução Como vimos, um prisma regular é um prisma reto e, portanto, suas faces laterais são retangulares e congruentes, de dimensões a e h. Assim, a área lateral é dada por: Alateral = 6 ⋅ a ⋅ h A base do prisma é uma região hexagonal regular de lado a. Sabemos que um hexágono regular pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero de lado ℓ é dada por: A = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 30 1. 5

Exercício resolvido R 12. Resolução Assim, a área de um hexágono regular de lado ℓ é: A = Portanto, a área da base do prisma é dada por: Abase = Logo, a área total da superfície desse prisma hexagonal é: Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase = 6 ah + 2 ⋅ ⇒ Atotal = 3 a(2 h + a CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros ) 23. 30 1. 5

Exercício resolvido R 13. Determinar a área total da superfície de um prisma triangular reto, de altura 12 cm, sabendo que as arestas da base formam um triângulo retângulo de catetos que medem 6 cm e 8 cm. Resolução O prisma tem base triangular. Assim: Abase = = 24 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 31 1. 5

Exercício resolvido R 13. Resolução A área lateral é dada pela soma das áreas das faces retangulares que compõem a superfície lateral. Calculando a medida da hipotenusa do triângulo retângulo da base, temos: x 2 = 62 + 82 ⇒ x = 10 Portanto: Alateral = 6 ⋅ 12 + 8 ⋅ 12 + 10 ⋅ 12 = 288 Logo, a área total é dada por: Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase Atotal = 288 + 2 ⋅ 24 = 336 Portanto, a área total da superfície do prisma é de 336 cm 2. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 31 1. 5

Exercício resolvido R 14. Determinar a área total da superfície do prisma oblíquo de base quadrada representado ao lado, sabendo que as faces laterais são congruentes. Resolução O prisma tem base quadrada. Assim: Abase = 102 ⇒ Abase = 100 Para calcular a área de uma das faces laterais, vamos obter a altura h. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 32 1. 5

Exercício resolvido R 14. Resolução sen 60º = Assim: Alateral = 4 ⋅ (10 ⋅ 15 ) = 600 área do paralelogramo Logo: Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase Atotal = 600 + 2 ⋅ 100 Atotal = 200 (1 + 3 ) Portanto, a área total da superfície do prisma é 200 (1 + 3 )cm 2. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 32 1. 5

Volume de um prisma O volume de um prisma corresponde a um único número real V positivo obtido pela comparação da porção do espaço ocupado pelo prisma com a porção do espaço ocupado por uma unidade de medida de volume. § A unidade de medida de volume que usualmente consideramos é o volume de um cubo unitário (aresta 1 u), sendo u certa unidade de comprimento. O volume desse cubo unitário é 1 u 3. § Se a aresta do cubo unitário mede 1 m V = 1 m 3 § Se a aresta do cubo unitário mede 1 mm V = 1 mm 3 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 33 1. 5

Volume de um prisma Exemplo Vamos calcular quantas vezes o cubo unitário de aresta 1 cm cabe em um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 4 cm, 2 cm e 3 cm. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 34 1. 5

Volume de um prisma Exemplo Analisando a figura, observamos que o paralelepípedo é formado por 4 ⋅ 2 = 8 cubos unitários na base e tem 3 camadas iguais à camada da base. Logo, tem 3 ⋅ 8 = 24 cubos unitários no total. Portanto, o paralelepípedo é formado por 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24 cubos de 1 cm 3 de volume. Dizemos, então, que o volume dele é 24 cm 3. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 34 1. 5

Volume de um paralelepípedo reto-retângulo Vparalelepípedo = a ⋅ b ⋅ c Vcubo = a 3 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 35 1. 5

Secção transversal de um prisma Um plano intercepta um sólido através de uma superfície chamada de secção plana. Quando a secção plana é paralela à base do prisma, ela é denominada secção transversal. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 36 1. 5

Princípio de Cavalieri Dois sólidos, S 1 e S 2, apoiados num plano e contidos num mesmo semiespaço, terão o mesmo volume V se todo plano , paralelo a , secciona os dois sólidos de modo que as secções sejam regiões planas de mesma área (A). CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 37 1. 5

Princípio de Cavalieri Exemplo Sobre uma mesa, formamos uma pilha com certa quantidade de cartões retangulares idênticos. A seguir, modificamos a forma da pilha sem retirar nem pôr cartão algum. Veja a ilustração de uma possível situação desse tipo. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 37 1. 5

Princípio de Cavalieri Exemplo Observando as pilhas, é possível notar que: § a altura das duas pilhas é a mesma, pois têm a mesma quantidade de cartões idênticos; § os cartões das duas pilhas ficam à mesma altura da mesa e têm a mesma área, pois são idênticos; § a segunda pilha tem o mesmo volume da primeira, já que é formada pelos mesmos cartões e, portanto, ocupa a mesma porção do espaço. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 37 1. 5

Volume de um prisma qualquer Vprisma = área da base x altura CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 38 1. 5

Exercício resolvido R 15. Deseja-se cimentar um quintal de formato quadrado, com lados medindo 8 m, com 4 cm de espessura de massa de cimento. Qual é o volume necessário de massa para revestir essa área? Resolução A camada de cimento terá a forma de um paralelepípedo reto-retângulo de base quadrada, com 8 m de aresta e altura de 4 cm. Como a espessura do revestimento é de 4 cm ou 0, 04 m, o volume de massa é dado por: V = 8 ⋅ 0, 04 V = 64 ⋅ 0, 04 V = 2, 56 Logo, são necessários 2, 56 m 3 de massa para o revestimento. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 39 1. 5

Exercício resolvido R 16. Calcular o volume de ar contido em uma casa que tem a forma do prisma a seguir. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 40 1. 5

Exercício resolvido R 16. Resolução Vamos decompor a figura da casa em dois prismas. 1. ) Prisma reto-retângulo V 1 = Abase ⋅ altura V 1 = 4 ⋅ 5 ⋅ 3 V 1 = 60 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 40 1. 5

Exercício resolvido R 16. Resolução 2. ) Prisma reto de base triangular V 2 = Abase ⋅ altura V 2 = ⋅ 5 V 2 = 10 Logo, o volume total de ar contido na casa é dado por V 1 + V 2, ou seja, 70 m 3. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 40 1. 5

Exercício resolvido R 17. Um reservatório de água tem a forma do prisma hexagonal regular da figura ao lado e está cheio. Se forem consumidos 3. 000 litros, quanto baixará, em metro, o nível da água desse reservatório? Resolução Vamos representar por x, em metro, quanto baixará o nível da água no reservatório, se forem consumidos os litros indicados. Os 3. 000 litros consumidos ocupam o volume de um prisma hexagonal regular de mesma base do prisma da figura e altura de x metro. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 41 1. 5

Exercício resolvido R 17. Resolução A base do prisma é uma região hexagonal regular de lado 2 m, cuja área é dada por: Abase = 6 Com esse dado, podemos calcular o volume da parte do prisma correspondente aos 3. 000 litros: V = Abase ⋅ x = 6 ⋅ x CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 41 1. 5

Exercício resolvido R 17. Resolução Como 3. 000 litros = 3 m 3, temos: 6 ⋅ x = 3 ⇒ x = 0, 5 Portanto, o nível da água baixará 0, 5 metro. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 41 1. 5

Pirâmides Vamos considerar um plano , uma região poligonal convexa S contida em e um ponto V fora de . Chama-se pirâmideo poliedro formado por todos os segmentos de reta cujas extremidades são o ponto V e um ponto da região S. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 42 1. 5

Elementos de uma pirâmide Considerando a pirâmide desenhada ao lado, temos: § base: a região poligonal S; § vértice da pirâmide : o ponto V; § faces laterais : as superfícies triangulares AVB, BVC, . . . , NVA; § arestas da base : os segmentos AB, BC, . . . , NA; § arestas laterais : os segmentos VA, VB, VC, . . . , VN; § altura da pirâmide : a distância h entre o vértice V e o plano . CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 43 1. 5

Classificação das pirâmides Consideramos o número de arestas da base: § se a base tem 3 arestas pirâmide triangular § se a base tem 4 arestas pirâmide quadrangular § se a base tem 5 arestas pirâmide pentagonal , e assim por diante. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 44 1. 5

Representações planas de pirâmides Até aqui, representamos pirâmides em perspectiva, como a ilustrada abaixo. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 45 1. 5

Representações planas de pirâmides Como os demais poliedros, uma pirâmide também pode ser representada por meio de planificações de sua superfície. Em um plano, é possível justapor as faces de uma pirâmide de diferentes modos, desde que cada uma das faces tenha pelo menos uma aresta em comum com outra. Observe: ou CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 45 1. 5

Pirâmide regular Uma pirâmide cuja base é uma superfície poligonal regular e cuja projeção ortogonal P do vértice sobre o plano da base coincide com o centro O do polígono de base é chamada de pirâmide regular. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 46 1. 5

Pirâmide regular Observações: § O centro de um polígono regular coincide com o centro da circunferência circunscrita a esse polígono. § As faces de uma pirâmide regular são determinadas por triângulos isósceles congruentes. Um importante exemplo desse tipo de pirâmide regular é o tetraedro regular. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 46 1. 5

Elementos das pirâmides regulares CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 47 1. 5

Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 48 1. 5

Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 48 1. 5

Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares Base Figura Triângulo equilátero CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros Relação ou 23. 49 1. 5

Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares Base Figura ou Quadrado CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros Relação 23. 49 1. 5

Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares Base Figura Hexágono regular CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros Relação ou 23. 49 1. 5

Exercício resolvido R 18. Um tetraedro regular tem arestas medindo 10 cm. Calcular a medida do apótema da pirâmide (g), a medida do apótema da base (m) e a altura da pirâmide (h). Resolução No ΔDMA, temos: Como a base é uma superfície triângular equilátera, vem: CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 50 1. 5

Exercício resolvido R 18. Resolução Agora, no ΔDMO, temos: Portanto, as medidas são: cm, cm e CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros cm 23. 50 1. 5

Área da superfície de uma pirâmide Área da base(Abase): área da superfície poligonal que forma a base; Área lateral(Alateral): soma das áreas das faces laterais (superfícies triangulares); Área total(Atotal): soma da área lateral com a área da base, ou seja: Atotal = Alateral + Abase CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 51 1. 5

Área da superfície de uma pirâmide Observação: Se a pirâmide for um tetraedro regular, sua área total, em função da medida ℓ da aresta, será dada por: Atotal = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 51 1. 5

Exercício resolvido R 19. Determinar a área da superfície de uma pirâmide regular hexagonal sabendo que a aresta da base mede ℓ e a aresta lateral mede a. Resolução A base da pirâmide é uma superfície hexagonal regular de lado ℓ. Portanto, a área da base é dada por: Abase = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 52 1. 5

Exercício resolvido R 19. Resolução Como a pirâmide é regular, as faces laterais são formadas por triângulos isósceles e congruentes, que nesse caso têm base ℓ e altura g. No triângulo retângulo VMB, temos: Dessa forma: Alateral = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 52 1. 5

Exercício resolvido R 19. Resolução Portanto: Atotal = Alateral + Abase = = Logo, a área da superfície da pirâmide regular hexagonal é: Atotal = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 52 1. 5

Propriedades das pirâmides 1 a propriedade : A razão entre a área S’ de uma secção transversal de uma pirâmide feita a uma altura h’ em relação ao vértice e a área S da base dessa pirâmide de altura h é: 2 a propriedade : Se duas pirâmides têm mesma altura e mesma área de base, elas têm o mesmo volume. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 53 1. 5

Volume de uma pirâmide de base triangular Vpirâmide triangular = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 54 1. 5

Volume de uma pirâmide qualquer Vpirâmide = área da base x altura CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 55 1. 5

Exercício resolvido R 20. Calcular o volume do octaedro regular de aresta a. Resolução Observe que o sólido é formado por duas pirâmides quadrangulares regulares cuja área da base é Abase = a 2. OB é igual à metade da medida da diagonal do quadrado da base. Portanto: OB = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 56 1. 5

Exercício resolvido R 20. Resolução No triângulo retângulo BOE, temos: Logo, o volume do octaedro é: Voctaedro = 2 = 2 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 56 1. 5

Exercício resolvido R 21. Calcular o volume do tetraedro regular de aresta a. Resolução A área da base é a área de uma superfície triangular equilátera de lado a. Logo: Abase = A altura h é tal que: Assim: Vtetraedro = ⇒ Vtetraedro = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 57 1. 5

Exercício resolvido R 22. Determinar o volume de uma pirâmide regular hexagonal cuja aresta da base mede 12 cm e a aresta lateral mede 20 cm. Resolução Primeiro, vamos calcular a medida g do apótema da pirâmide. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 58 1. 5

Exercício resolvido R 22. Resolução Agora, vamos determinar a medida m do apótema da base. Como a base é um hexágono regular, temos: Cálculo da altura h da pirâmide: CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 58 1. 5

Exercício resolvido R 22. Resolução Cálculo da área da base: Abase = Cálculo do volume da pirâmide: Vpirâmide = Vpirâmide = Portanto, o volume da pirâmide é cm 3. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 58 1. 5

Tronco de pirâmide Vamos considerar uma pirâmide de vértice V, altura H e base contida em um plano . CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 59 1. 5

Tronco de pirâmide Seccionando essa pirâmide com um plano , paralelo a , essa figura é separada em dois sólidos, o que contém o vértice V, que é uma nova pirâmide de altura h e base contida no plano , e o que contém a base da pirâmide maior, denominado tronco de pirâmide , de bases paralelas. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 59 1. 5

Elementos de um tronco de pirâmide Considerando o tronco de pirâmide da figura ao lado, temos: § base maior: superfície poligonal ABCDEF; § base menor: superfície poligonal A’B’C’D’E’F’; § faces laterais : superfícies trapezoidais AA’B’B, BB’C’C etc. ; § altura do tronco (ht): distância entre a base maior e a base menor (ht = H – h). CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 60 1. 5

Tronco de pirâmide regular No tronco obtido de uma pirâmide regular, observamos que: § as bases são superfícies poligonais regulares semelhantes; § as faces laterais são superfícies trapezoidais isósceles e congruentes; § a altura de uma face lateral é o apótema do tronco (de medida p). CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 61 1. 5

Área da superfície de um tronco de pirâmide Área da base menor A(b): área da superfície poligonal que forma a base menor (A’B’C’D’E’F’). Área da base maior A (B): área da superfície poligonal que forma a base maior (ABCDEF). Área lateral A ( lateral): soma das áreas dos trapézios laterais (A’ABB’, B’BCC’, C’CDD’, D’DEE’, E’EFF’ e F’FAA’). CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 62 1. 5

Área da superfície de um tronco de pirâmide Área total (Atotal): soma da área lateral com as áreas das bases menor e maior, ou seja: Atotal = Alateral + Ab + AB CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 62 1. 5

Razão de semelhança =. . . = § § § Observação: Em geral, usa-se a letra k para representar a razão de semelhança entre dois segmentos. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 63 1. 5

Volume de um tronco de pirâmide Vtronco = VVABCDE – VVA’B’C’D’E’ ou Vtronco = Observação: Essa fórmula também é válida para pirâmides oblíquas. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 64 1. 5

Exercício resolvido R 23. Um tronco de pirâmide reta tem bases quadradas de lados 4 cm e 10 cm e altura de 6 cm. Calcular as áreas das bases e o volume do tronco. Resolução AB = 102 = 100 Logo: AB = 100 cm 2 Ab = 42 = 16 Logo: Ab = 16 cm 2 Vtronco = 2(100 + 40 + 16) = 312 Logo, o volume do tronco é 312 cm 3. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 65 1. 5

Exercício resolvido R 24. Um tetraedro regular de 4 cm de altura tem 64 cm 3 de volume. Calcular o volume v da pirâmide obtida pela secção feita por um plano paralelo à base e à altura de 2 cm. Resolução Se duas pirâmides de alturas h e H são semelhantes na razão k, então a razão entre seus volumes é: Logo, o volume da nova pirâmide é 8 cm 3. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 66 1. 5

Exercício resolvido R 25. Um tronco de pirâmide regular tem a aresta lateral medindo dm e bases quadradas cujos lados medem 4 dm e 10 dm. Calcular a área de cada base, a área lateral e o volume do tronco. Resolução § Cálculo da área de cada base: Ab = 42 = 16; logo: Ab = 16 dm 2 AB = 102 = 100; logo: AB = 100 dm 2 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 67 1. 5

Exercício resolvido R 25. Resolução § Cálculo da área lateral: Para calcular a área lateral, precisamos da medida de M’M indicada na figura. Vamos destacar a face lateral BB’C’C. Pela figura ao lado, temos: A área de cada face lateral (trapézio BB’C’C) é: ABB’C’C = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 67 1. 5

Exercício resolvido R 25. Resolução A área lateral do tronco de pirâmide é: Alateral = 4 ⋅ 35 Alateral = 140; logo: Alateral = 140 dm 2 § Cálculo do volume do tronco: Para calcular o volume, precisamos determinar a altura do tronco de pirâmide. Observe o trapézio O’M’MO destacado: Pela figura, temos: 2 ht + 32 = 52 ht = 4 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 67 1. 5

Exercício resolvido R 25. Resolução Portanto: Vtronco = Vtronco = 208 Logo, o volume do tronco é 208 dm 3. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 23 –Poliedros 23. 67 1. 5

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