Captulo 2 EST 41 AE 213 ESTABILIDADE DE
Capítulo 2 EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Flambagem Primária EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Flambagem Primária EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Flambagem Secundária EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Flambagem Secundária EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Equações Básicas – Teoria da Elasticidade EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
O Método do Equilíbrio Neutro EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
A Coluna Simplesmente Apoiada - Hipóteses EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
A Coluna Simplesmente Apoiada P x w P P My L x P P EST 41 / AE 213 - z, w P ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna Simplesmente Apoiada - Solução w P My x P EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
O Comportamento da Coluna de Euler P Equilíbrio Instável Equilíbrio Neutro Equilíbrio Estável dmax EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna Bi-Engastada x P M 0 w P L -EIw” x P EST 41 / AE 213 - M 0 z, w M 0 P ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna Bi-Engastada - Solução w P -EIw” x M 0 P EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna Equivalente de Euler EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna em Balanço x d P P Coluna L L Equivalente 2 L de Euler z, w Pd P EST 41 / AE 213 - P ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna em Balanço - Solução w P EIw” -EIw” x Pd w P EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna com Restrições Elásticas P P q kq M/L M M = kq q L x z, w P EST 41 / AE 213 - P M/L ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D. q
Coluna com Restrições Elásticas - Solução w P M/L -EIw” x P M/L EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Restrição Elástica – Casos Particulares EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna em Pórtico L P EI L x EI z, w P q M EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Comprimento Efetivo EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Comprimento Efetivo EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coeficientes de Fixação Restrições de Rotação nas Extremidades: a) Numa Extremidade b) Iguais, em Ambas as Extremidades EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coeficientes de Fixação Restrições de Rotação Distintas nas Extremidades EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Métodos de Energia §O Método da Conservação da Energia §O Princípio do Valor Estacionário da Energia Potencial Total §Cálculo de Variações §O método de Rayleigh-Ritz §O método de Galerkin EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
O Método da Conservação da Energia Trabalho das Forças Externas z, w D ds s dx dw P P x, u L’ L EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Trabalho das Forças Externas EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Energia de Deformação EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Energia de Deformação EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
O Método da Conservação de Energia Exemplo A comparação com o valor exato, p 2 EI/L 2, indica um erro de aproximadamente 21%. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
O Método da Conservação de Energia A comparação com o valor exato, p 2 EI/L 2, indica um erro de aproximadamente 1, 3%. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
O Método de Conservação de Energia Erro de 0, 13% Erro de 0, 014% EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total Trabalho das Forças Externas Se o corpo é elástico linear, o trabalho P We u DWe é dado pela expressão We = ½ P u. du EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total Energia de Deformação s F e DF de EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total Energia de Deformação EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Energia de Deformação - Particularização Unidimensional EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Energia de Deformação - Particularização Estado Plano de Tensões EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) reza: “um corpo elástico de dimensões finitas está em equilíbrio se e somente se o trabalho virtual feito pelas forças externas for igual à energia de deformação virtual para qualquer deslocamento virtual arbitrário” e pode ser expresso na forma Forças conservativas Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total: “Uma estrutura elástica está em equilíbrio se e somente se a energia potencial total assumir um valor estacionário neste ponto, ou seja, se não ocorrer mudança na energia potencial total do sistema quando os seus deslocamentos são perturbados por pequenos valores arbitrários”. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total Resumo – Exemplo Seja, . A condição de equilíbrio é dada por. A natureza da equação do equilíbrio é dada por Pp k g M Mínimo v veq EST 41 / AE 213 - v ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Cálculo de Variações Deseja-se achar o extremo de EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Cálculo de Variações EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Cálculo de Variações Equação de Euler Possíveis condições de contorno EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Cálculo de Variações - Exemplo z, w kq EI(x) kz(x) P k P x L Coluna com suportes elásticos – Formulação do Problema EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna com Suportes Elásticos - Formulação EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Problema de Auto-Valor de 4 a. Ordem - Solução EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Problema de Auto-Valor: Caso Especial Coluna simplesmente apoiada w P x Sistema de Coordenadas para Coluna em Balanço EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Potencial de Cargas Concentradas e Distribuídas Ponto de deslocamento horizontal nulo p x(x) h xk d x Pk h EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
O Método de Rayleigh-Ritz wj(x) são funções assumidas que necessariamente têm de satisfazer as condições de contorno geométricas do problema. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
O Método de Rayleigh-Ritz EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
O Método de Rayleigh-Ritz: Caso Especial Considere, agora, o caso sem os apoios e fundação elástica (basta zerar os termos correspondentes na expressão dos a ij). Se a coluna tem ambas as extremidades articuladas ou, uma extremidade livre e a outra engastada, os podem ser expressos em termos de em vez de. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Método de Rayleigh-Ritz: Exemplo EI 0 P 2 EI 0 P x L/2 2 EI 0 L L/2 Coluna de Seção Variável Erro de 0, 97% EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Método de Rayleigh-Ritz - Exemplo Viga de Seção Variável - Solução com dois Termos Isto dá , exata em até três dígitos significativos EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Método de Galerkin EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Método de Galerkin Se os wj(x) satisfizerem todas as condições de contorno, os dois primeiros termos da equação acima se anulam identicamente e Erro na satisfação da equação de Euler é feito ortogonal às funções de base wj(x) no domínio EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna Sujeita a Grandes Deflexões dw dx q EST 41 / AE 213 - ds ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna Carregada Excentricamente EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna Carregada Excentricamente Curva Carga-Deflexão para Coluna Carregada Excentricamente EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna com Forma Imperfeita EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna com Forma Imperfeita EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Coluna com Forma Imperfeita P/PE A 1 A 2 A 3 0, 0 0, 4 0, 8 0, 95 1, 0 0, 667 4, 00 9, 50 20, 0 0, 111 0, 25 0, 29 0, 33 0, 047 0, 08 0, 11 0, 12 0, 13 EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Curva Carga-Deslocamento (Teoria Linear) EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Forma Imperfeita – Teoria Não-Linear EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Colunas Imperfeitas - Observações 1) A posição reta é a única configuração de equilíbrio possível para colunas com imperfeições tendendo a zero, até que P = PE ; 2) Em P = PE as deflexões, para a coluna com imperfeições tendendo a zero, crescem rapidamente até que as fibras do lado côncavo excedem o limite de proporcionalidade; 3) Colunas com imperfeições usuais (relativamente pequenas) não fletem apreciavelmente até que P se aproxime de PE. As deflexões crescem rapidamente à medida que P se aproxima de PE , seguindo de perto a curva para colunas com imperfeições tendendo a zero; 4) As deformações que crescem rapidamente logo atingem a tensão de escoamento e a coluna prática (pequenas imperfeições) entra em colapso quando P PE ; 5) As deflexões no colapso são pequenas o suficiente para permitir o uso da teoria linear, na qual a curvatura é aproximada por d 2 w/dx 2 ; 6) Colunas de manufatura pobre, com imperfeições sensíveis, entram em colapso sob cargas sensivelmente menores do que a de Euler. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Colunas Imperfeitas - Conclusões A coincidência física de que a capacidade última de absorção de carga de uma coluna com pequenas imperfeições, como aquelas manufaturadas para uso aeronáutico, pode ser prevista pela teoria linear para a coluna perfeita é afortunada. Significa que colunas que falham numa tensão média no regime elástico podem ser projetadas através da fórmula simples de Euler, não sendo necessária uma análise não-linear relativamente complicada. Um critério alternativo de estabilidade que pode ser enunciado como “a carga crítica é aquela sob a qual as deformações de um sistema levemente imperfeito tendem a infinito”. Desta forma, a carga crítica pode ser obtida através da análise linear de um sistema com qualquer tipo de imperfeição (deformação inicial, cargas excêntricas ou cargas laterais). Em placas e cascas a carga de colapso pode ser sensivelmente diferente daquela prevista pela análise da condição de equilíbrio neutro sob pequenas deformações. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Flambagem Inelástica de Colunas EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Flambagem Inelástica de Colunas todas as fibras continuam comprimindo ao se dar a flexão, de modo que o módulo efetivo para a seção é o módulo tangente Et. Isto só é possível, se a carga continua aumentando durante a flambagem; as fibras do lado côncavo comprimem, portanto segundo o módulo tangente Et , e as fibras do lado convexo estendem, portanto segundo o módulo de elasticidade E. Uma situação de carga constante durante a flambagem (como aquela da teoria linearizada de Euler para flambagem elástica) exige que haja reversão de tensões no lado convexo. ? EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Flambagem Inelástica de Colunas - Histórico v 1759 Teoria de Euler v. Início S IXX Ensaios mostram que teoria de Euler é não conservativa para colunas curtas v 1845 Lamarle mostra que teoria de Euler vale no regime elástico v 1889 Considère e Engesser, independentemente, mostram que teoria de Euler vale para colunas esbeltas; vale também para colunas curtas se E é substituído por um módulo efetivo Engesser – módulo tangente Considère – módulo duplo (ou reduzido) v 1910 Von Karman re-deriva a teoria do módulo duplo e ensaios a substanciam – a teoria do módulo duplo passa a ser aceita universalmente (30 anos) EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Flambagem Inelástica de Colunas - Histórico v. Anos 1940 Extenso programa de ensaios em colunas em liga de alumínio pela indústria aeronáutica mostra a carga mais próxima àquela dada pelo módulo tangente do que Von Karman Críticos culpam as imperfeições iniciais e pobre controle sobre as condições de contorno pelas cargas menores obtidas nestes ensaios Indústria passa a utilizar a teoria do módulo tangente porque as condições dos testes eram típicas de condições operacionais v 1947 Shanley resolve a questão EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Modelo de Shanley rígida s e EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Flambagem Inelástica - Conclusões q A carga do módulo reduzido satisfaz o critério clássico de estabilidade – coluna reta e fletida coexistindo sem aumento de carga; q A carga do módulo reduzido corresponde a um ponto de equilíbrio instável e realizável em laboratório somente em condições especiais; o seu cálculo é complicado q Carga máxima está entre os valores fornecidos pelas teorias dos módulos tangente e duplo q Carga máxima está mais perto do valor dado pela teoria do módulo tangente q Engenheiro está interessado na carga última sob imperfeições e não no ponto de bifurcação q A carga do módulo tangente é conservativa para colunas retas ou com pequenas imperfeições; cálculo simples USAR A TEORIA DO MÓDULO TANGENTE EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Teoria do Módulo Tangente O devido cuidado deve ser tomado nos casos em que o comprimento efetivo depender do módulo: Et deve ser utilizado ao invés de E. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Módulo Tangente: Uso de Ramberg-Osgood EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Uso do Modelo de Ramberg-Osgood Função de EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Flambagem Inelástica – Formulas Empíricas Fórmula da Reta Parábola de Johnson EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Exemplo 1 EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Exemplo 1 Cálculo de Ix: Considere inicialmente considerada um retângulo de dimensão 2, 5” x 2, 75” e subtraia as contribuições das porções (1) e (2): (no cálculo acima foram desprezados os momentos de inércia dos triângulos em torno de seus eixos centroidais) EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Exemplo 1 Cálculo de Iy: Para falha em torno do eixo Portanto, a falha é crítica para flexão em torno do eixo y, com L’/r = 41. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Exemplo 1 Caso 1: Fc=50, 5 ksi, donde P = 220 kips Caso 2: Fc=40, 4 ksi, donde P = 177 kips Caso 3: Fc=6, 1 ksi, donde P = 26, 7 kips sujeitando este membro a uma temperatura de 600 o F durante ½ hora reduz a sua resistência de 220 kips à 26, 7 kips, o que significa que a liga de alumínio é um material muito pobre para suportar cargas sob tais temperaturas, uma vez que a redução em resistência é muito grande. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Exemplo 2: Uso do Modelo de Ramberg-Osgood Caso 1: temp. amb. : Ec = 10500 ksi, F 0. 7 = 59, 5 ksi, n = 26, Fcy = 59 ksi Calculadora ou processo iterativo, resulta em Fc/F 0. 7 = 0. 854, ou Fc = 50. 8 ksi. A Fig. 2 -41: Fc/F 0. 7 vs. B para n = 26: O resultado é praticamente o mesmo obtido no exemplo anterior! Caso 2: ½ h. a 300 o. F: Ec = 9400 ksi, F 0. 7 = 46, 5 ksi, n = 29, Fcy = 47 ksi A solução numérica fornece Fc/F 0. 7 = 0, 880. A solução via Fig. 2. 41 é EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Exemplo 3 A figura mostra uma coluna de seção variável, simplesmente apoiada. O membro é usinado de uma barra extrudada de 1 in de diâmetro, feita em liga Al 7075 -T 6. O problema consiste em achar a carga admissível para o membro. As propriedades da seção podem ser calculadas através das expressões Desta forma, tem-se E 1 = E 2 = 10500 ksi Porção 1: Porção 2: EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Exemplo 3 EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Exemplo 4 A figura mostra a coluna do exemplo anterior com as dimensões longitudinais encurtadas para 1/5 dos comprimentos originais. Não há alterações no que tange o material e seções transversais. Propriedades da extrusão Al 7075 -T 6: Ec = 10500 ksi, F 0. 7 = 72 ksi, n = 16, 6, Fcy = 70 ksi Com L’/r = 12 / 0, 219 55, obtém-se Fc = 33, 5 ksi. Portanto, P = Fc A = 33, 5 x 0, 7854 = 26, 3 kips ; f 1 = 33, 5 ksi e f 2 = 26. 3 / 0. 4418 = 59, 5 ksi Acima do Limite de Proporcionalidade EST 41 / AE 213 - Método Iterativo ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
Exemplo 4 P=26, 3 Porção 1: f 1 / F 0. 7 = 33, 5 / 72 = 0, 465 Et 1 = E = 10. 500 ksi Porção 2: f 2 / F 0. 7 = 59, 5 / 72 = 0, 826 Et 2 = 0, 735 E = 7. 700 ksi Pcr = 5, 8 x 10500 x 0, 0491 / 122 = 20, 8 kips. 2 a. Iteração P=23, 6 f 1 = 23, 6 / 0, 7854 = 30, 05 ksi e f 2 = 23, 6 / 0, 4418 = 53, 42 ksi Porção 1: f 1 / F 0. 7 = 30. 05 / 72 = 0, 417 Et 1 = E = 10. 500 ksi Porção 2: f 2 / F 0. 7 = 53, 42 / 72 = 0, 742 Et 2 = 0, 735 E = 9. 840 ksi Pcr = 6, 7 x 10500 x 0, 0491 / 122 = 24 kips. EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer. , Ph. D.
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