Captulo 05 Conduo Transiente 1 Introduo Em diversos

Capítulo 05: Condução Transiente 1

Introdução • Em diversos processos de engenharia, o tempo deve ser levado em consideração na transferência de calor. Isto pode ser verificado, por exemplo, no pré-aquecimento de fornos e em tratamentos térmicos. • Nesse caso, a temperatura em cada ponto do corpo varia ao longo do tempo, implicando em absorção ou perda de energia (variação da energia interna). 2

Método da Capacitância Global • É utilizado em situações práticas nas quais a temperatura pode ser admitida apenas como função do tempo. • Nesse caso, os gradientes de temperatura no interior do corpo deverão ser tão pequenos que possam ser desprezados. 3

Método da Capacitância Global • O método da capacitância global pode ser empregado quando a resistência térmica interna do corpo (condução) é muito menor que a resistência térmica externa (convecção), de modo que o maior gradiente de temperatura ocorra junto à superfície do corpo. 4

Método da Capacitância Global • Considerando-se o processo de têmpera: 5

Método da Capacitância Global • Nesse caso, o balanço de energia resulta em: • A perda de calor é feita por convecção, o que reduz a energia interna do corpo e assim: 6

Método da Capacitância Global • Rearranjando a equação, obtém-se • E da integração da expressão anterior, tem-se • Sendo C 1 uma constante. 7

Método da Capacitância Global • Para a determinação de C 1 utiliza-se a condição inicial: T(0) = Ti, o que resulta em • Tomando-se, então 8

Método da Capacitância Global • Obtém-se • Nota-se que a diferença entre as temperaturas do sólido e do fluido deve diminuir exponencialmente à medida que t tenda ao infinito. 9

Método da Capacitância Global • A grandeza pode ser interpretada como uma constante de tempo térmica, representada por • Sendo Rt a resistência à transferência de calor por convecção e Ct a capacitância térmica global do sólido. 10

Método da Capacitância Global • Qualquer aumento em Rt ou em Ct causa uma resposta mais lenta do sólido a mudanças no seu ambiente térmico. 11

Método da Capacitância Global • Para determinar a energia total transferida Q até algum instante de tempo t, tem-se: • Substituindo-se a expressão para θ e integrando -se, obtém-se 12

Método da Capacitância Global • A energia total transferida Q está obviamente relacionada à mudança de energia interna do sólido, ou seja: • Para a verificação da validade do método da capacitância global é necessário comparar o gradiente de temperaturas no interior de um corpo com aquele existente em sua superfície. 13

Método da Capacitância Global 14

Método da Capacitância Global • Realizando-se um balanço de energia na superfície do sólido: • Rearranjando, tem-se: 15

Método da Capacitância Global • A grandeza adimensional (h. L/k) é conhecida como número de Biot e desempenha um papel fundamental em problemas de condução térmica que envolvem efeitos convectivos nas fronteiras. • O número de Biot fornece uma medida da relação entre a queda da temperatura ao longo do sólido e a diferença de temperaturas de sua superfície e a do fluido. 16

Método da Capacitância Global • Quando Bi<<1, é razoável admitir-se que a distribuição de temperaturas seja uniforme ao longo do sólido em qualquer instante de tempo. Na prática, admite-se que o método da capacitância global é válido quando Bi < 0, 1. • Uma particularidade no cálculo do Biot é a determinação do comprimento L. 17

Método da Capacitância Global • Por conveniência, emprega-se L como sendo um comprimento característico (Lc), definido como o quociente entre o volume e a área superficial de um corpo. Assim: – Para placa de espessura L, sujeita a convecção em suas duas faces: 18

Método da Capacitância Global – Para um cilindro longo de raio R: – Para um cilindro curto de raio R e comprimento L: – Para uma esfera de raio R: 19

Método da Capacitância Global • Por fim, ao se admitir o comprimento característico, o expoente da equação do método da capacitância global pode ser representado como • Ou seja 20

Método da Capacitância Global • Definindo-se, então, o número de Fourier (Fo), que se constitui em um tempo adimensional: • Tanto o número de Biot quanto o de Fourier são parâmetros que caracterizam problemas de condução transiente. 21

Análise geral via Capacitância Global • Considerando-se a seguinte situação para as condições térmicas no interior de um sólido: 22

Análise geral via Capacitância Global • Balanço de energia: • Ou seja, 23

Análise geral via Capacitância Global • A equação anterior é uma equação diferencial ordinária não-linear de primeira ordem, nãohomogênea, que não pode ser integrada para se obter uma solução exata. • Observa-se, contudo, que soluções exatas podem ser obtidas para versões simplificadas dessa equação. 24

Análise geral via Capacitância Global • Caso 1. Hipóteses simplificadoras: • Sem fluxo térmico: • Sem geração de calor: • Sem convecção de calor: – Separando-se variáveis e integrando da condição inicial até um tempo t, obtém-se: 25

Análise geral via Capacitância Global – Caso a temperatura da vizinhança (Tviz) seja nula, tem-se: 26

Análise geral via Capacitância Global • Caso 2. Hipóteses simplificadoras: • Sem radiação de calor: • Coeficiente convectivo independente do tempo. – Introduzindo-se a diferença de temperaturas – Obtém-se a seguinte equação diferencial 27

Análise geral via Capacitância Global – Sendo: – A solução da equação diferencial obtida é 28

Efeitos espaciais • Com frequência surgem situações em que o método da capacitância global é inadequado e abordagens alternativas devem ser utilizadas. • Para uma análise preliminar, considerando-se uma parede plana, sem geração interna de calor e com condutividade térmica constante, tem-se então: 29

Efeitos espaciais • Lembrando-se que: • Condição inicial: • Condições de contorno: 30

Efeitos espaciais 31

Efeitos espaciais • Adimensionalização: – Diferença de temperaturas: – Máxima diferença de temperaturas possível: – Temperatura adimensional: 32

Efeitos espaciais – Distância adimensional: • Sendo L a meia espessura da parede. – Tempo adimensional: – Equação do calor adimensional: 33

Efeitos espaciais – Condição inicial: – Condições de contorno: – Sendo Bi o número de Biot: 34

Efeitos espaciais • Embora o número de Fourier possa ser visto como um tempo adimensional, ele também fornece uma medida da efetividade relativa com a qual um sólido conduz e armazena energia térmica: 35

Parede plana com convecção • Supondo-se uma parede plana infinita, de espessura 2 L, sem geração de calor e com propriedades térmicas constantes, exposta à convecção em suas duas superfícies. • Para essas hipóteses, a solução exata possui a forma: 36

Parede plana com convecção • O coeficiente Cn é • E os valores discretos (autovalores) de ζn são as raízes positivas da equação transcendental 37

Parede plana com convecção • Solução aproximada – Pode-se demonstrar que para valores de Fo > 0, 2, a solução em série infinita pode ser aproximada pelo primeiro termo da série. Neste caso, tem-se: • Ou • Sendo: 38

Parede plana com convecção – Observa-se que representa a temperatura adimensional no plano central – Transferência total de energia: • Sendo: 39

Sistemas radiais com convecção • Soluções exatas: – Cilindro infinito (aproximação razoável quando se tem , sendo r 0 o raio do cilindro): • Sendo 40

Sistemas radiais com convecção • As grandezas J 1 e J 0 são funções de Bessel de primeira espécie e os valores discretos de ζn são as raízes positivas da equação transcendental • Onde o número de Biot é dado por: 41

Sistemas radiais com convecção – Esfera: • Sendo • E os valores discretos de ζn são as raízes positivas da equação transcendental 42

Sistemas radiais com convecção • Soluções aproximadas (para Fo > 0, 2): – Cilindro infinito: • Ou • Sendo que representa a temperatura adimensional na linha de simetria do cilindro 43

Sistemas radiais com convecção – Esfera: • Ou • Sendo que representa a temperatura adimensional no centro da esfera 44

Sistemas radiais com convecção • Transferência total de energia – Definindo – Cilindro infinito: – Esfera: 45

Coeficientes para soluções aproximadas 46

Coeficientes para soluções aproximadas 47

Coeficientes para soluções aproximadas 48

Coeficientes para soluções aproximadas 49

Coeficientes para soluções aproximadas 50

Soluções gráficas – Parede plana 51

Soluções gráficas – Parede plana 52

Soluções gráficas – Parede plana 53

Soluções gráficas – Cilindro infinito 54

Soluções gráficas – Cilindro infinito 55

Soluções gráficas – Cilindro infinito 56

Soluções gráficas – Esfera 57

Soluções gráficas – Esfera 58

Soluções gráficas – Esfera 59

Sólido semi-infinito • Trata-se de um sólido que se estende até o infinito em todas as direções, exceto em uma, sendo caracterizado por uma única superfície identificável. – Equação da difusão de calor: – Condição inicial: – Primeira condição de contorno: 60

Sólido semi-infinito 61

Sólido semi-infinito – Primeiro caso: Temperatura superficial constante • Distribuição de temperaturas: • Fluxo térmico: 62

Sólido semi-infinito – Segundo caso: Fluxo de calor constante na superfície • Distribuição de temperaturas: 63

Sólido semi-infinito – Terceiro caso: Convecção na superfície • Distribuição de temperaturas: 64

Sólido semi-infinito 65

Efeitos multidimensionais • Com frequência são encontrados problemas transientes nos quais os efeitos bi ou tridimensionais são significativos. • Soluções para uma classe desses problemas podem ser obtidas a partir dos problemas unidimensionais, uma vez que se tratam de problemas lineares (propriedades constantes). 66

Efeitos multidimensionais 67