Capitulo 5 Soluciones analticas para problemas de flujo

Capitulo 5 Soluciones analíticas para problemas de flujo

Ø Se escriben ecuaciones gobernantes para describir sistemas de flujo subterráneo porque las soluciones a esas ecuaciones dicen como se comportan los sistemas de aguas subterráneas. Es decir, si se resuelve la ecuación de flujo de agua subterránea, para la carga hidráulica, podemos predecir el comportamiento del sistema en cualquier punto del espacio, y para cualquier tiempo t. La derivada de h y las subsecuentes substituciones en la ley de Darcy nos permiten calcular la razón de flujo en combinación con la porosidad, la velocidad del campo de flujo. Esto nos puede decir cuanta agua se puede extraer de algún suministro de agua. También nos dice como se moverán los contaminantes en este sistema hidráulico.

Ø Cuando se escriben ecuaciones gobernantes para sistemas de flujo subterráneo, el resultado a menudo es una ecuación diferencial parcial que tiene como variables independientes, una, dos o tres coordenadas espaciales y el tiempo.

Ø Para alguna de estas ecuaciones el dominio en que se aplica debe ser definido, las condiciones de frontera y las condiciones iniciales deben ser especificadas. Debido a que la ecuación de flujo subterráneo envuelve segundas derivadas en el espacio, los requerimientos para las condiciones de frontera debe ser especificada y una ecuación de frontera debe ser proporcionada en cada punto a lo largo de toda la frontera.

Ø Para problemas transitorios, una condición inicial debe ser especificada para todos los puntos dentro del dominio. Los problemas estacionarios no envuelven cambios en el tiempo y por tanto no requieren condiciones iniciales.

Ø estas condiciones hay que tomarlas en cuenta cuando se planea obtener una solución analítica

Problemas de flujo unidimensional Sección 5. 1

Flujo unidimensional Ø La consideración de problemas unidimensionales tiene implicaciones importantes.

Flujo unidimensional Ø También se introducen las asunciones de Dupuit.

Flujo unidimensional Ø También se introducen ideas respecto a la recarga del nivel hidráulico y fugas a través de acuitardos, así como también una introducción del flujo radial hacia pozos de bombeo.

Experimento de Darcy

Experimento de Darcy Ø Considérese la ecuación de flujo simple, estado estacionario, flujo unidimensional en un medio poroso homogéneo de longitud finita condiciones de carga especificada en cada extremo del dominio. La ecuación diferencial gobernante se deriva de la ecuación siguiente

Experimento de Darcy Ø la cual para un medio homogéneo sin flujo lateral se reduce a:

Ø En esta ecuación h. L y h. R son valores de la carga hidráulica en las fronteras izquierda y derecha respectivamente. Si estos valores no cambian en el tiempo, entonces la solución h solo es función de x, por tanto, la parcial en la ecuación será una derivada total. La ecuación es entonces una ecuación diferencial ordinaria. En otra forma h seria una ecuación diferencial parcial en h y t.

Ø En cualquier caso la solución es una línea recta en el espacio los dos valores de frontera.

Experimento de Darcy Ø Nótese que esta ecuación condiciones de frontera invariantes en el tiempo corresponden al experimento de Darcy donde el flujo unidimensional en una columna de dimensión finita fue dada para valores de carga hidráulica fija en las fronteras inferior y superior. En efecto, el conocimiento de esta solución analítica nos permite implementar experimentos destinados a la estimación de parámetros. En este caso el desarrollo de la prueba en la columna nos permite el calculo de la conductividad.

Experimento de Darcy Ø Dada la solución apara la carga, se deriva y se inserta en la ecuación de Darcy donde basados en la razón de flujo, la conductividad puede ser determinada de la ecuación de Darcy puesta en forma distinta.

Experimento de Darcy Ø Dado que la solución para el estado estacionario asociado a al experimento de Darcy resulta útil, es deseable saber como se llega a este estado. Considérese una columna de suelo en la cual no haya flujo inicialmente( implica n es constante en el espacio). Entonces en algún momento se le imponen condiciones de frontera las cuales inducen un flujo a través de la columna. Si deseamos escribir la respuesta transitoria de este sistema a las condiciones de frontera impuestas, es necesario resolver la versión transitoria de la ecuación de flujo.

Experimento de Darcy Ø Asumiendo homogeneidad espacial de los parámetros, una columna unidimensional sin flujo en las fronteras en los lados, una condición de frontera e carga en dos extremos de la columna, el sistema de ecuaciones gobernantes toman la forma

Experimento de Darcy Ø Considere un flujo transitorio ocasionado por un cambio instantáneo de la carga en una de las fronteras, lo cual sirve para perturbar el estado estacionario inicial de la columna. Si la condición inicial esta dada por h=0, podemos cambiar una de las condiciones de frontera en el tiempo t=0 para inducir el flujo.

Experimento de Darcy La figura 5. 1 muestra la carga hidráulica como función de su localización espacial para tres tiempos distintos. Ø usando los parámetros h. L=1. 0, h. R=in=0, l=1 y K/Ss=0. 1 Ø

Experimento de Darcy El primer tiempo corresponde a un tiempo inicial, donde la presión ha comenzado a dirigirse hacia el dominio permanece lejos de la frontera derecha. Ø El segundo tiempo al cual nos referiremos como tiempo intermedio, muestra la influencia de ambas condiciones de frontera s en la solución, pero la solución aun esta cambiando con el tiempo. Ø el tercer tiempo al cual llamaremos tiempo final, en el cual estaremos llegando a estado estacionario. Para este problema, el estado estacionario es una línea recta en el espacio conectando los dos valores de frontera. Ø

Experimento de Darcy Ø Para la solución en el tiempo final, se tiene una situación de estado estacionario que reduce a la ecuación gobernante a una simple ecuación diferencial ordinaria Para la solución para en el tiempo inicial, también podríamos usar una simplificación que envuelve la observación que la condición de frontera en el lado derecho no tiene injerencia alguna en la solución. para tales casos a menudo se trata al dominio como si la frontera derecha estuviera infinitamente lejos, de donde se dice que el dominio es semi-infinito, lo que significa que solo se tiene una frontera bien definida, y la segunda esta muy lejos y no influye en la solución. En este caso la solución analítica resulta ser mas fácil.

Experimento de Darcy Ø En el caso de la aproximación semi-infinita al dominio, la ecuación gobernante toma la forma:

Experimento de Darcy Ø Nuevamente se puede derivar una solución analítica para este caso. Para el caso especifico que se esta considerando, se encuentra que la solución para la propagación de la carga en un dominio semi-infinito esta dada por:

Experimento de Darcy Ø donde erfc es la función complementaria de error, se define por :

Experimento de Darcy

Flujo regional unidimensional Ø Como segundo ejemplo considere el flujo en el nivel freatico un acuífero, sujeto a recarga por encima. Consideraremos una sección vertical transversal bidimensional y aplíquese un promedio vertical. Para obtener una ecuación gobernante unidimensional.

Flujo regional unidimensional Ø En la figura se muestra un esquema del sistema, el cual muestra una sección transversal vertical con variables independientes x y z. las fronteras se ubican en x=0 y en x= l, por simplicidad asumimos que el acuífero esta debido de una formación impermeable (en z=0).

Flujo regional unidimensional Ø La frontera superior corresponde a al nivel freático, cuya ubicación necesita ser determinada como parte de la solución. La condición de frontera apropiada para el nivel freático se mostró en la sección 4. 4 debido a la complejidad de esa condición de frontera, buscaremos simplificaciones que permitan obtener una solución analítica.

Flujo regional unidimensional Ø Considérese que la razón de infiltración es conocida y supóngase constante tanto en espacio como en tiempo, que corresponde a la razón n de infiltración promedio ( basado en la precipitación anual promedio). Dado que este sistema exhibe flujo multidimensional, usaremos promedio vertical para reemplazar la ecuación gobernante bidimensional con una ecuación unidimensional que ubique el nivel hidráulico dada la introducción apropiada de la producción especifica, modificación de la transmisividad que incluya el grosor saturado, y la inclusión de la recarga como termino ( fuente) en la ecuación gobernante

Flujo regional unidimensional Ø bajo la suposición de flujo horizontal y estado estacionario la ecuación gobernante toma la forma

Flujo regional unidimensional Ø en esta ecuación la barra encima significa cantidad verticalmente promediada, la razón de recarga esta dada por N, y las condiciones de frontera izquierda y derecha se toman como valores de carga fijos que son constantes en el tiempo. Nótese que la transmisividad es una función de la carga hidráulica. Dado que el grosor del acuífero depende de la localización del nivel hidráulico, y esa localización depende de la carga hidráulica

Flujo regional unidimensional Ø Esta dependencia de la transmitividad sobre la variable dependiente (carga) hace que la ecuación sea no-lineal. Muchas ecuaciones no-lineales no tienen solución analítica, pero en este caso la solución pede ser obtenida, para hacerlo, observe que el lado izquierdo de la ecuación anterior se puede re-escribir (quitando las barras y considerando K constante) como

Flujo regional unidimensional Ø por lo tanto, la ecuación gobernante nos dice que el cuadrado de la carga hidráulica tiene una segunda derivada constante en el espacio, proporcional a la razón de infiltración N por tanto la solución para h(x) es un polinomio cuadrático en x. La forma de la solución es fácilmente determinada y es:

Flujo regional unidimensional Ø como ejemplo considérese el caso de una isla extensa y esta limitada a la derecha y a la izquierda por las condiciones , donde B es la distancia entre el fondo del acuífero y el nivel del mar. Entonces la solución para h(x) toma la forma:

Flujo regional unidimensional Ø se puede ver que sin recarga no hay nada que incite al flujo y la solución es simplemente h(x)=B. Con recarga la solución se puede reescribir como:

Flujo regional unidimensional Ø De esta solución se obtienen dos observaciones: la primera; la solución es simétrica respecto del punto medio del dominio (x= l/2), que es donde se encuentra el nivel máximo del nivel freático. Esto es porque las dos condiciones de frontera tienen el mismo valor. Entonces el agua se infiltra y se une al sistema de flujo, y fluye hacia fuera horizontalmente, de la mitad del dominio hacia las fronteras izquierda y derecha. La segunda observación, es que cuando el incremento en la carga h sobre B es pequeño respecto del grosor de B, la no linealidad del problema no es significativa y la transmisividad puede ser razonablemente aproximada por . esto puede ser afirmado representando la carga como

Flujo regional unidimensional Ø Entonces cuando , la carga h no difiere mucho del grosor de B. en ese caso términos con e 2 , se pueden despreciar porque son muy pequeños. la sustitución de h en la solución da

Flujo regional unidimensional Ø La cual resuelta para h(x) da

Flujo regional unidimensional

Flujo en coordenadas radiales Ø Como ejemplo final de soluciones analíticas en una dimensión, considérese el caso de flujo radial a un pozo en un acuífero confinado uniforme.

Flujo en coordenadas radiales El dominio del medio poroso comienza en el radio del pozo denotado como rw, y se extiende hacia el radio exterior denotado por rext. Ø Se asume simetría radial, entonces no hay variación en la carga hidráulica con la variación angular, el promedio vertical es aplicado. Ø El grosor del acuífero esta denotado por B Ø

Flujo en coordenadas radiales Ø En base a la ecuación

Flujo en coordenadas radiales Ø La ecuación gobernante de flujo escrita en coordenadas radiales y bajo condiciones estacionarias toma la forma:

Flujo en coordenadas radiales Ø Para resolver esta ecuación deben especificarse las condiciones de frontera interior y exterior. Para el caso de condiciones de carga fijas

Flujo en coordenadas radiales Ø la solución es un logaritmo con la siguiente forma:

Flujo en coordenadas radiales Ø Si se da la razón de flujo en el pozo, la condicione de frontera en el interior es una condición de flujo, la cual puede ser re-escrita como

Flujo en coordenadas radiales Ø Con lo cual la solución toma la forma:

Flujo en coordenadas radiales Ø En el caso de dos condiciones de carga fijas la razón esta dada por

Flujo en coordenadas radiales Ø En el caso de una razón de flujo dada en el pozo, la razón total de flujo hacia el mismo para algún radio r esta dada por Qw.

Flujo en coordenadas radiales Ø Esto es consistente con la ecuación gobernante, la cual establece que el flujo total en la dirección radial no varia con un cambio en la coordenada radial;

Flujo en coordenadas radiales Ø Esto es consistente con un simple razonamiento físico, en el sentido de que en algún lugar en donde no haya fuentes o sumideros dentro de algún dominio, los flujos entrantes y salientes se atribuyen a las fronteras. Por tanto , dentro del dominio, en estado estacionario, la razón de flujo total debe ser constante para algún radio r.

Flujo en coordenadas radiales Ø Que forma tendría una fuente o sumidero en este caso radial y cuales serian las implicaciones. Una posibilidad seria tener recarga como en el caso anterior. Pero en el caso de un acuífero confinado, a menudo se tiene fluido fluyendo hacia o desde un acuífero vía goteo hacia o desde un acuífero adyacente a través de un acuitardo que separa a los dos acuíferos. Debido a la ley tangente se considera que el flujo en un acuitardo esencialmente vertical y en un acuífero horizontal.

Flujo en coordenadas radiales Ø Si se considera que las fugas de agua a través de un acuitardo como debidas a un decremento en la carga en el acuífero causado por bombeo de un pozo en ese acuífero, entonces bajo la suposición de carga constante en el acuífero encima del acuitardo y flujo estacionario tanto en el acuitardo como en el acuífero, se podría escribir la ecuación para el flujo en el acuitardo como

Flujo en coordenadas radiales Ø donde la carga hidráulica en el acuitardo se denota con , la conductividad hidráulica en el acuitardo se denota con y el grosor del acuitardo con. Nótese que la dependencia radial viene de la condición de frontera del fondo, la cual sirve para acoplar el flujo en el acuitardo con la carga del fondo del acuífero (h(r)). No hay derivadas de con respecto a r en la ecuación dado que se considera flujo vertical en el acuitardo.

Flujo en coordenadas radiales Ø La solución de esta ecuación es simple y esta dada por:

Flujo en coordenadas radiales Ø La derivada de esta ecuación da el flujo volumétrico a través del acuitardo

Flujo en coordenadas radiales Ø dado que la cantidad de agua que sale de la base del acuitardo es la misma que la cantidad de agua que entra por parte superior del acuífero esta dada por la ecuación anterior

Flujo en coordenadas radiales Ø Esto debe aparecer en la ecuación gobernante para el acuífero, de forma tal que la ecuación gobernante para el acuífero se transforma en:

Flujo en coordenadas radiales Ø Dado que esta ecuación es mas complicada que las que se han resuelto hasta el momento, las soluciones analíticas pueden ser obtenidas para h(r) por medio de series, específicamente Bessel.

Flujo en coordenadas radiales Ø Una observación interesante es que términos para fuentes internas ( goteo), significa que la importancia de las fronteras externas decrecen, hasta el limite de un dominio semi-infinito, toda el agua que suministra al pozo viene de goteo. Por tanto soluciones significativas pueden ser derivadas en dominios semi-infinitos cuando un termino de goteo esta presente, esto no es cierto en ausencia de tales fuentes debido a que todo el suministro debe venir de la frontera, y para dominios semi infinitos esto conduce a cargas que no están limitadas, y por tanto no tiene significado practico

Flujo en coordenadas radiales Ø En el caso semi-infinito, la ecuación gobernante y las condiciones de frontera apropiadas pueden ser escritas como

Flujo en coordenadas radiales

Flujo en coordenadas radiales Ø En esta ecuación la longitud de escala , se ha introducido. Esta es una longitud de escala característica llamada factor de goteo. La ecuación gobernante es una ecuación diferencial ordinaria de segundo grado cuya solución general es una combinación lineal de funciones de bessel I 0 y K 0 de la forma , estas funciones de bessel, nótese que la solución es la razón r/l,

Flujo en coordenadas radiales Ø Para el caso de un dominio semi-infinito la solución se simplifica a

Flujo en coordenadas radiales Ø Donde k 1 es una función de bessel de segundo tipo de orden 1, típicamente se tiene que rx/l

Flujo en coordenadas radiales Ø En este caso el comportamiento de la función de bessel k 1 en el limite de un argumento pequeño es tal que

Flujo en coordenadas radiales Ø Por tanto la solución se simplifica a la siguiente forma:

dudas Ø 4

dudas Ø 3

dudas Ø 2

dudas Ø 2