Capitolo 5 I tassi di interesse 2011 Pearson

Capitolo 5 I tassi di interesse © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -1

5. 1 Misure del tasso di interesse e relativi adeguamenti • Il tasso annuo effettivo § Indica il totale degli interessi percepiti alla fine di un anno § Considera l’effetto della capitalizzazione • È indicato anche come rendimento annuo effettivo o rendimento percentuale annuo © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -2

5. 1 Misure del tasso di interesse e relativi adeguamenti (continua) • Adeguamento del tasso di sconto a diversi periodi temporali § Ricevere un rendimento annuo del 5% non equivale a ricevere il 2, 5% ogni sei mesi. • (1, 05)0, 5 – 1= 1, 0247 – 1 = 0, 0247 = 2, 47% Ø Nota: n = 0, 5 perché risolviamo per il tasso a sei mesi (1/2 anno) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -3

Come si calcola il TAE • TAE = Tasso annuo effettivo • TAN = Tasso annuo nominale • k = numero di capitalizzazioni degli interessi in un anno – – semestrale quadrimestrale trimestrale mensile 12 k = 2, k = 3, k = 4, k=

Esempio 5. 1 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -5

Esempio 5. 1 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -6

Esempio alternativo 5. 1 • Problema § Supponete che un investimento paghi un interesse trimestrale secondo un tasso di interesse espresso come tasso annuo effettivo (TAE) del 9%. • Quanto guadagnerete di interessi ogni trimestre? § Se non aveste soldi nel conto oggi, quanto dovreste mettere da parte alla fine di ogni trimestre per accumulare $25. 000 in 5 anni? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -7

Esempio alternativo 5. 1 (continua) • Soluzione § Dall’Eq. 5. 1, un TAE del 9% equivale a (1, 09)1/4 – 1 = 2, 1778% a trimestre. § Per determinare l’ammontare da mettere da parte per accumulare $25. 000 in 5 anni, dovete determinare c: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -8

Tasso percentuale annuo • Il tasso percentuale annuo (TPA) indica l’ammontare dell’interesse semplice ottenuto in un anno. § L’interesse semplice è l’ammontare dell’interesse ottenuto senza l’effetto della capitalizzazione. § Il TPA è tipicamente inferiore al tasso annuo effettivo (TAE). © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -9

Tasso percentuale annuo (continua) • Il TPA di per sé non può essere usato come tasso di sconto. § Il TPA capitalizzato per k periodi è un modo per valutare il tasso di interesse effettivamente ottenuto per ogni periodo: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -10

Tasso percentuale annuo (continua) • Conversione del TPA nel TAE § Il TAE aumenta all’aumentare della frequenza della capitalizzazione. • La capitalizzazione continua calcola la capitalizzazione istante per istante. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -11

Tasso percentuale annuo (continua) § Un TPA del 6% con capitalizzazione continua corrisponde a un TAE di circa il 6, 1837%. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -12

Esempio 5. 2 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -13

Esempio 5. 2 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -14

Esempio 5. 2 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -15

Esempio alternativo 5. 2 • Problema § Un’impresa sta considerando se acquistare o sottoscrivere un leasing per l’automobile di lusso del proprio CEO. Il veicolo dovrebbe durare 3 anni. É possibile acquistare la macchina per $65. 000, oppure sottoscrivere un leasing per $1. 800 al mese per 36 mesi. L’impresa e in grado di ottenere finanziamenti a un tasso percentuale annuo dell’ 8% con capitalizzazione trimestrale. Conviene effettuare l’acquisto pagando in un’unica rata, oppure pagare $1. 800 al mese? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -16

Esempio alternativo 5. 2 (continua) • Soluzione § Il primo passo è calcolare il tasso di sconto mensile. Bisogna quindi convertire il TPA dell’ 8% capitalizzato trimestralmente in un tasso di sconto mensile. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -17

Esempio alternativo 5. 2 (continua) • Soluzione § Dato un tasso di sconto mensile dello 0, 66227%, il valore attuale dei 36 pagamenti mensili è pari a: § Pagare $1. 800 al mese per 36 mesi equivale a versare $57. 486 oggi. Questo corrisponde a $65. 000 - $57. 486 = $7. 514 in meno rispetto all’acquisto del veicolo. Conviene sottoscrivere il leasing. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -18

5. 2 Applicazione: tassi di sconto e prestiti • Calcolo delle rate di un prestito § I pagamenti sono effettuati a un intervallo prefissato, tipicamente mensile. § Ogni pagamento effettuato include l’interesse più una parte del debito residuo. § Tutti i pagamenti sono uguali e l’ultimo esaurisce completamente il prestito. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -19

5. 2 Applicazione: tassi di sconto e prestiti (continua) • Calcolo delle rate di un prestito § Consideriamo un finanziamento di $30. 000 destinato all’acquisto di un’auto, con 60 rate mensili di uguale valore, calcolato con un TPA con capitalizzazione mensile del 6, 75%. • Un TPA con capitalizzazione mensile del 6, 75% corrisponde a un tasso di sconto a un mese del 6, 75% / 12 = 0, 5625%. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -20

5. 2 Applicazione: tassi di sconto e prestiti (continua) • Calcolo delle rate di un prestito • Input: • • NUM. RATE = 60 TASSO = 0, 5625% VA = 30. 000 VAL. FUT = 0 • Output: • RATA = – 590, 50 © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -21

5. 2 Applicazione: tassi di sconto e prestiti (continua) • Calcolo del valore residuo del prestito § Si può calcolare il valore residuo di un prestito calcolando il valore attuale delle rate future rimaste da pagare. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -22

Esempio 5. 3 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -23

Esempio 5. 3 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -24

5. 3 Le determinanti dei tassi di interesse • Inflazione e tassi reali verso nominali § Tasso di interesse nominale: tasso quotato dalle istituzioni finanziarie e usato per lo sconto o la capitalizzazione di flussi di cassa § Tasso di interesse reale: tasso di crescita del potere di acquisto, corretto per l’inflazione © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -25

5. 3 Le determinanti dei tassi di interesse (continua) • Tasso di interesse reale © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -26

Esempio 5. 4 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -27

Esempio 5. 4 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -28

Esempio alternativo 5. 4 • Problema § Nel 2009 il tasso Treasury Constant Maturity a 1 anno era di circa il 1, 82% e il tasso di inflazione era di circa lo 0, 28%. § Quel era il tasso di interesse reale nel 2008? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -29

Esempio alternativo 5. 4 • Soluzione § Utilizzando l’Eq. 5. 5, il tasso di interesse reale nel 2008 era: • (1, 82% − 0, 28%) ÷ (1, 0028) = 1, 54% Ø Che è approssimativamente pari alla differenza tra il tasso di interesse nominale e l’inflazione: 1, 82% – 0, 28% = 1, 54% © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -30

Figura 5. 1 Tassi di interesse e inflazione negli Stati Uniti, 1960 – 2009 © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -31

Investimenti e politica dei tassi di interesse • Un aumento del tasso di interesse riduce il VAN di un investimento. § Consideriamo un investimento che richiede un esborso iniziale di 10 milioni di $ e genera un flusso di cassa di 3 milioni di $ l’anno per quattro anni. Se il tasso di interesse è del 5%, l’investimento ha un VAN di: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -32

Investimenti e politica dei tassi di interesse (continua) § Se il tasso di interesse sale al 9%, il VAN diventa negativo e l’investimento non è più vantaggioso: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -33

Politica monetaria, deflazione e la crisi finanziaria del 2008 § Quando nel 2008 l’economia fu colpita dalla crisi finanziaria, la Federal Reserve degli Stati Uniti reagì rapidamente tagliando il tasso di interesse a breve termine per portarlo allo 0%. § Anche se questo uso della politica monetaria è in genere molto efficace, poichè verso la fine del 2008 i prezzi al consumo stavano scendendo, il tasso di inflazione fu negativo, e quindi, anche con un tasso dello 0% di interesse nominale, il tasso di interesse reale rimase positivo. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -34

La curva dei rendimenti e i tassi di sconto • Struttura a termine: la relazione tra la durata dell’investimento e il tasso di interesse • Curva dei rendimenti: grafico che rappresenta la struttura a termine © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -35

Figura 5. 2 Struttura a termine dei tassi di interesse USA privi di rischio, a novembre 2006, 2007 e 2008 © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -36

La curva dei rendimenti e i tassi di sconto (continua) • La struttura a termine può essere usata per calcolare il valore attuale e il valore futuro di un flusso di cassa privo di rischio su orizzonti di investimento diversi. § Valore attuale di una serie di flussi di cassa con struttura a termine dei tassi di sconto © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -37

Esempio 5. 5 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -38

Esempio 5. 5 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -39

Esempio alternativo 5. 5 • Problema § Calcolate il valore attuale di una rendita triennale di $500 l’anno priva di rischio, data la seguente curva dei rendimenti: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -40

Esempio alternativo 5. 5 • Soluzione § Ogni flusso di cassa deve essere scontato al corrispondente tasso di interesse: © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -41

Curva dei rendimenti e sistema economico • Determinazione dei tassi § La Federal Reserve ha un potere notevole sull’andamento dei tassi di interesse a breve termine USA perche influenza il federal funds rate, il tasso al quale le banche possono prendere a prestito riserve monetarie su base overnight. § Tutti gli altri tassi di interesse della curva dei rendimenti sono stabiliti sul mercato e si modificheranno fino a quando l’offerta di denaro a prestito incontrerà la domanda di denaro a prestito per ogni possibile durata del prestito. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -42

Curva dei rendimenti e sistema economico • La forma della curva dei rendimenti è influenzata dalle aspettative sul tasso di interesse. § Una curva dei rendimenti decrescente (rovesciata) indica un’attesa di caduta dei tassi di interesse nel futuro. • Poiché i tassi di interesse tendono a scendere a causa di un rallentamento del sistema economico, una curva dei rendimenti rovesciata viene spesso interpretata come una previsione negativa per la crescita economica. Ø Ognuna delle ultime sei recessioni avvenute negli Stati Uniti è stata preceduta da un periodo in cui la curva dei rendimenti era rovesciata. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -43

Curva dei rendimenti e sistema economico (continua) • La forma della curva dei rendimenti è influenzata dalle aspettative sul tasso di interesse. § Una curva dei rendimenti ripida indica generalmente l’aspettativa di tassi di interesse crescenti in futuro. • La curva dei rendimenti tende a essere ripida quando il sistema economico esce da una fase di recessione e ci si attende che i tassi di interesse crescano di conseguenza. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -44

Figura 5. 3 Tassi di interesse USA a breve e a lungo termine e periodi di recessione © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -45

Esempio 5. 6 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -46

Esempio 5. 6 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -47

5. 4 Rischio e imposte • Rischio e tassi di interesse § I titoli del Tesoro USA sono considerati privi di rischio. Tutti gli altri soggetti che prendono a prestito presentano un certo rischio di default, perciò gli investitori richiedono un tasso di rendimento più elevato. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -48

Figura 5. 4 Tassi di interesse su prestiti a cinque anni per vari soggetti, a marzo 2009. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -49

Esempio 5. 7 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -50

Esempio 5. 7 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -51

Tasso di interesse al netto delle imposte • Le imposte riducono l’ammontare degli interessi che l’investitore ricevere, e tale ammontare ridotto è indicato come tasso di interesse netto. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -52

Esempio 5. 8 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -53

Esempio 5. 8 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -54

5. 4 Il costo opportunità del capitale • Costo opportunità del capitale: il miglior rendimento atteso offerto sul mercato per un investimento con rischio e durata paragonabili ai flussi di cassa da scontare § Indicato anche come Costo del capitale © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -55

Domande di verifica 1. Che differenza c’è tra il TAE e il TPA? 2. Perché il TPA non può essere utilizzato come tasso di sconto? 3. Che cos’è un prestito ad ammortamento? 4. Che differenza c’è fra tasso di interesse nominale e reale? 5. Perché le società pagano sui loro prestiti un tasso di interesse più alto rispetto allo Stato? 6. In che modo le imposte colpiscono gli interessi maturati su un investimento? E per quanto riguarda gli interessi pagati su un prestito? 7. Cos’è il costo opportunità del capitale? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -56

Capitolo 5 Appendice © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -57

Tassi continui e flussi di cassa • Tassi di sconto per un TPA a capitalizzazione continua § Alcuni investimenti capitalizzano con una frequenza superiore a quella giornaliera. • Passando dalla frequenza giornaliera a quella oraria e poi a quella per secondo, ci si avvicina al limite della capitalizzazione continua, in cui si capitalizza per ogni istante. TAE per un TPA a capitalizzazione continua © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -58

Tassi continui e flussi di cassa (continua) • Tassi di sconto per un TPA a capitalizzazione continua § In alternativa, se si conosce il TAE e si vuole trovare il corrispondente TPA a capitalizzazione continua, la formula è: TPA a capitalizzazione continua partendo dal TAE I tassi a capitalizzazione continua non sono usati spesso nella pratica. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -59

Tassi continui e flussi di cassa (continua) • Flussi di cassa continui § Consideriamo i flussi di cassa di un rivenditore online di libri. Supponiamo che l’impresa preveda flussi di cassa per 10 milioni di $ all’anno. I 10 milioni di $ saranno ricevuti nel corso di ogni anno, e non alla fine, cioeè sono pagati continuamente nel corso dell’anno. § Si può calcolare il valore attuale dei flussi di cassa continui usando una variante della formula della rendita perpetua crescente. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -60

Tassi continui e flussi di cassa (continua) • Flussi di cassa continui § Se i flussi di cassa si manifestano, a partire da subito, a un valore iniziale di $C per anno, e se crescono al tasso g per anno, allora dato un tasso di sconto pari a r annuo, il valore attuale dei flussi di cassa sarà: Valore attuale di una rendita perpetua a crescita continua dove rcc= ln(1+r) e gcc = ln(1 + g) sono rispettivamente i tassi di sconto e di crescita espressi come TPA a capitalizzazione continua. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -61

Tassi continui e flussi di cassa (continua) • Flussi di cassa continui § Il valore attuale di una rendita perpetua crescente continua può essere approssimata come: Dove è il flusso di cassa totale del primo anno. © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -62

Esempio 5 A. 1 del libro © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -63

Esempio 5 A. 1 del libro (continua) © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -64

Domande di verifica – Appendice 1. Cos’è un TAE a capitalizzazione continua? In che cosa differisce rispetto a TPA a capitalizzato continuamente? © 2011 Pearson Italia – Milano, Torino 5 -65