Cap 9 Escoamento Externo 9 1 O conceito

Cap. 9 - Escoamento Externo 9. 1 – O conceito de camada limite 9. 2 – Espessuras da camada limite 9. 3 – Camada limite laminar em placa plana 9. 4 – Equação integral da quantidade de movimento 9. 5 – Emprego da equação integral 9. 6 – Gradientes de pressão no escoamento 9. 7 – Arrasto 9. 8 – Sustentação

PARTE A CAMADAS LIMITE 9. 1 – O conceito de camada limite

9. 2 – Espessuras da camada limite A camada limite é a região adjacente a uma superfície sólida na qual as forças viscosas são importantes. A espessura da camada-limite, d , é definida como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade situa-se dentro de 1 por cento da velocidade de corrente livre. A espessura de deslocamento, d* , é a distância da qual a fronteira sólida teria que ser deslocada em um escoamento sem atrito para dar a mesma diferença de vazão em massa que existe na camada-limite. Para escoamento incompressível:

A espessura de quantidade de movimento, q , é definida como a espessura da camada de fluido, de velocidade U, para a qual o fluxo de quantidade de movimento é igual ao déficit do fluxo de quantidade de movimento através da camada-limite. Para escoamento incompressível:

Simplificações utilizadas no modelo de Blasius (camada limite laminar na placa plana). Navier-Stokes bidimensional : - Gradiente de pressão iguais a zero - Forças de origem gravitacional desprezíveis - Regime permanente

9. 3 – Camada limite laminar em placa plana A solução analítica para a camada limite laminar em placa plana horizontal foi obtida por Blasius em 1908. Escoamento bidimensional, permanente e incompressível com gradiente de pressão igual a zero. Condições de contorno:

O modelo de Blasius considera que o perfil u/U é similar para toda a extensão de x ao longo da placa plana. Blasius utilizou a correlação, variável adimensional : e estabeleceu a Utilizando a definição de função corrente: Apesar da equação a ser resolvida apresentar uma única variável dependente, y, a dificuldade em obter a solução ainda permanece.

Para contornar a dificuldade foi proposto o uso da função corrente adimensional abaixo, como função a ser obtida de h, alterando a forma da equação da Q. D. M. :

Perfis de velocidade similares ao longo de x (camada limite laminar em placa plana)

Solução de Blasius para camada limite laminar em placa plana

A solução de Blasius mostra que u/U=0, 99 quando h=5 : A tensão de cisalhamento na parede pode ser expressa como: Assim, o coeficiente de tensão de cisalhamento na parede, ou coeficiente local de atrito, será:

Exemplo : (a) Determine a espessura da camada limite em uma placa plana de 1 m submersa em um escoamento laminar na atmosfera sob velocidade do vento de 1 m/s e 10 m/s. (b) Calcule a tensão de cisalhamento na parede no centro da placa nos dois casos.

9. 4 – Equação integral da quantidade de movimento (Gradiente de pressão nulo)

Observa-se que o arrasto será nulo se o escomento for ideal (u=U). A equação anterior indica que o escoamento na camada limite sobre uma placa plana é o resultado do equilíbrio de forças do arrasto e a diminuição da quantidade de movimento do fluido. Ao longo do comprimento da placa, d aumenta e o arrasto também. O aumento da espessura da camada limite é necessária para equilibrar o arrasto provocado pela tensão de cisalhamento viscosa na placa. Esta característica não ocorre no escoamento interno porque a quantidade de movimento do escoamento interno é constante e a força de cisalhamento é equilibrada pelo gradiente de pressão negativo ao longo do conduto fechado. A distribuição de tensão de cisalhamento é obtida diferenciando-se a equação anterior em relação a x: (Balanço de forças infinitesimal na placa)

Perfis de velocidade típicos utilizados na análise integral da camada limite.

9. 5 – Emprego da equação integral Perfil de velocidade linear Exemplo: Considere o escoamento laminar de um fluido incompressível sobre uma placa plana posicionada no plano com y=0. Admita que o perfil de velocidade é linear, u = Uy/d para y < d e u = U para y > d. Determine a tensão de cisalhamento utilizando a equação integral. Solução:

Utilizando a definição da espessura de quantidade de movimento: A tensão de cisalhamento na parede pode ser obtida combinando as eq. anteriores:

Perfil de velocidade como função de y/d Considerando uma função geral para o perfil de velocidade adimensional u/U, tem-se: Condições de contorno:

A tensão de cisalhamento na parede pode ser escrita como: pagina anterior

2 de Exemplo: fluido Um escoa sobre uma placa [m com 0, 5 por plana 0, 5 ] velocidade de aproximação igual a 1 m/s. Determine a força de arrasto devido ao atrito, considerando os seguintes fluidos: (a) água a 20 o. C , (b) Ar no estado padrão e (c) glicerina a 20 o. C.

Transição de camada limite laminar para turbulenta.

Perfis típicos de velocidade para os regimes laminar, de transição e turbulento do escoamento na camada limite sobre uma placa plana.

Exemplo: aproximação igual a 3, 1 m/s. Determine a distância em relação ao bordo de ataque da placa em que ocorre a transição do regime laminar para o turbulento e estime a espessura da camada limite neste local. Considere os seguintes fluidos: (a) água a 20 o. C , (b) Ar no estado padrão e (c) glicerina a 20 o. C.

Camada limite turbulenta Considere o escoamento turbulento de um fluido incompressível sobre uma placa plana. Admitindo que o perfil de velocidade na camada limite é dado por u/U = (y/d)1/7 , determinaremos as espessuras da camada limite d e q , a tensão de cisalhamento na parede tw e o coeficiente de atrito médio na parede, CDf. Este perfil é próximo daqueles obtidos experimentalmente em placas planas exceto na região muito próxima a placa. Admitiremos que a tensão de cisalhamento na parede é dada por : ao invés da expressão para fluidos newtonianos, anteriormente utilizada na modelagem da camada limite laminar sobre plana.

a tensão de cisalhamento na parede, dada pela conservação da quantidade de movimento, pode ser utilizada para escoamento laminar ou turbulento:

Coeficiente médio de atrito para uma placa plana posicionada paralelamente ao escoamento.

e força Exemplo: a Determine escoamento de fluidos sobre uma placa plana de 10 por 10 [m 2]: na situação (a) com velocidade de aproximação igual a 4, 2 m/s (aprox. 15, 1 km/h) com fluido água e na situação (b) com velocidade de aproximação igual a 42 m/s (aprox. 151 km/h) com fluido ar.

9. 6 – Gradientes de pressão no escoamento

PARTE B ESCOAMENTO SOBRE CORPOS SUBMERSOS

9. 7 – Arrasto V FD Coeficiente de Arrasto

Dois objetos com formas diferentes mas que apresentam o mesmo coeficiente de arrasto (cilindro e aerofólio com CD=0, 12.

Exemplo: Um grão de areia, com diâmetro K=0, 1 mm e densidade igual a 2, 3 decanta para o fundo de um lago. Determine a velocidade do movimento do grão de areia admitindo que a água do lago está estagnada.

m/s

Exemplo: Um vento forte pode remover a bola de golfe de seu apoio (observe que é possível o pivotamento em torno do ponto 1. Determine a velocidade do vento necessária para remover a bola do apoio. Adotando inicialmente

Comportamento do coeficiente de atrito em função de Re para vários corpos (escoamento bidimensionais)

Tendência histórica da redução do coeficiente de arrasto dos automóveis

9. 8 – Sustentação

relação (ou razão) de aspecto = ar = b 2 / Ap b Ap=área

relação (ou razão) de aspecto = ar = b 2 / Ap b Ap=área