Cap 5 Comportamento mecnico dos materiais 1 Justificao

Cap. 5. Comportamento mecânico dos materiais 1. Justificação da existência das relações constitutivas 2. Linearidade física 3. Definição de constantes elásticas 3. 1 Módulo de Young 3. 2 Lei de Hook 3. 3 Efeito de Poisson 3. 4 Módulo de corte (distorção) 3. 5 Módulo de volume 4. Definições ligadas ao comportamento do material 5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear 5. 1 Lei de Hook generalizada 5. 2 Composição da matriz de rigidez e de flexibilidade 6. Separação das partes volúmicas e desviatóricas 7. Estados planos 8. Carga de temperatura 8. 1 Carga de temperatura em estados planos 9. Materiais ortotrópicos 10. Outras designações para comportamento dos MC mais geral 10. 1 Cedência 10. 2 Modelos para o cálculo Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

1. Justificação da existência das relações constitutivas Resumo dos Capítulos 3 -4: O MC exibe devido às solicitações: Incógnitas do problema: 6+6+3=15 componentes 6 Equações deformações - deslocamento 3 Equações de equilíbrio [¶ ]× {s}+ {f }= {0} Faltam 6 equações Falta dependência da resposta do MC do tipo do material A ligação que falta são as equações que relacionam Chamam-se Equações constitutivas (6): é necessário definir os parâmetros que caracterizam o comportamento do MC Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

2. Linearidade física Ensaio uniaxial Tracção de uma barra Usa-se tensão nominal, ou seja a força aplicada sobre a área da secção transversal inicial Rotura Limite de linearidade Cedência Extensão na direcção da carga aplicada análise fisicamente linear análise geometricamente linear Estudos que abrangem apenas a parte inicial do gráfico, onde a relação entre a tensão e a deformação é linear Análise linear Pode-se usar o princípio de sobreposição Carregamento 1 Carregamento 2 α(Carregamento 1) + β(Carregamento 2) Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

3. Definição de constantes elásticas 3. 1 Módulo de Young declive inicial do gráfico tensão - deformação módulo de elasticidade: E = tgα unidade: Pa, GPa=109 Pa Análise fisicamente não-linear: módulos de elasticidade secantes ou tangentes usam-se juntamente com os incrementos de tensão e de deformação E tangente inicial E tangente E secante inicial E secante Thomas Young (1773 -1829) Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

3. 2 Lei de Hooke 3. 3 Efeito de Poisson Robert Hooke (1635 -1703) Siméon-Denis Poisson (1781 -1840) Δh: variação da altura < 0 ΔL: variação do comprimento > 0 : coeficiente ou número de Poisson (sem unidade) razão negativa extensão na direcção transversal à força aplicada extensão na direcção da força aplicada 0: não há variações transversais, 1/2: material incompressível Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Princípio de Saint-Vénant Cargas estaticamente equivalentes cargas cujas resultantes (força e binário) são iguais na secção transversal de aplicação Os efeitos locais na zona de aplicação de cargas diminuem rapidamente com a distância, por isso as cargas aplicadas na realidade podem ser substituídas pelas cargas estaticamente equivalentes Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, 1797 - 1886 Distribuição da tensão normal uniforme Excepção: algumas cargas concentradas aplicadas em cascas Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

3. 4 Módulo de corte (distorção) Assume-se a distribuição uniforme Ensaio de distorção (GPa) 3. 5 Módulo de volume Módulo de “bulk” K (GPa) E, , G, K: constantes elásticas do material 4. Definições ligadas ao comportamento do material Material homogéneo: o comportamento não varia com a posição (aço) Material heterogéneo: betão ? , rochas ? , solos ? , compósitos Material isotrópico: o comportamento não varia com a direcção (aço) Material não-isótrópico e ortotrópico: betão ? , madeira, compósitos Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear 5. 1 Lei de Hook generalizada [C], [D]: Tensores simétricos da 4ª ordem [C]: matriz de rigidez de material Devido às simetrias podem-se escrever na forma matricial (6, 6) [D]: matriz de flexibilidade de material Comportamento linear implica que as matrizes de rigidez e de flexibilidade são compostas por números (parâmetros de material) sem dependência do estado actual de tensão ou deformação A homogeneidade implica que os parâmetros de material não dependem da posição A isotropia implica que os parâmetros de material não dependem da direcção, ou seja que são indiferentes do referencial A isotropia implica ainda que as direcções principais das tensões e das deformações coincidem, inclusive a ordem Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

5. 2 Composição da matriz de rigidez e de flexibilidade Pode-se provar que duas constantes elásticas são suficientes para descrever o comportamento do material isotrópico E, , G, K: constantes elásticas do material Escolha mais comum em engenharia: Condição necessária e suficiente de isotropia Consequência da lei constitutiva Os princípios energéticos implicam, que os módulos tem que ser positivos Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Constantes de Lamé Às vezes as relações constitutivas chamam-se de Lamé Gabriel Lamé, 1795 -1870 Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Outra possível composição do bloco 6. Separação das partes volúmicas e desviatóricas Importante para a definição de energia de deformação (cap. 7) parte volúmica das tensões e das deformações: altera-se volume parte desviatórica das tensões e das deformações : altera-se forma em volume inalterado Partes volúmicas Com as componentes do slide anterior pode se justificar a fórmula do K Soma das primeiras 3 equações Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Partes desviatóricas Componentes fora de diagonal Componentes diagonais queremos provar relação verídica, prova está finalizada Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Invariante, dobro da energia de deformação Multiplicação “: “ significa “produto interno” entre matrizes Demonstração A prova da relação em cima é óbvia, se os termos “cruzados” davam zero o que também é fácil de mostrar, como As contribuições ao invariante separam-se directamente nas partes volúmicas e desviatóricas Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

7. Estados planos Quando nem carga, nem propriedades, nem geometria do MC depende do “z” a descrição do comportamento do MC pode-se simplificar para estados planos Tensão plana Exemplos: (1) Placas com espessura fina e carga aplicada no plano da placa (2) Superfícies dos sólidos sem carga aplicada (medição das extensões) Apenas índices x, y e xy (invariante) Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Deformação plana Exemplos: Sólidos com espessura grossa: barragens (invariante) Estados planos não correspondem um a outro !!! 8. Carga de temperatura Afecta apenas componentes normais Coeficiente da expansão térmica ºC-1 ou deg-1 Variação de temperatura Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Extensão térmica Deformação térmica Apenas componentes normais Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

8. 1 Carga de temperatura em estados planos Tensão plana Redução de 3 D Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Deformação plana Redução de 3 D Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

9. Materiais ortotrópicos Existem 3 direcções principais de ortotropia para as equações constitutivas é preciso 9 parâmetros as componentes de matrizes [D] e [C] mudam com a rotação do referencial os blocos de zeros terão em geral termos diferentes de zero Alinhando o referencial com as direcções de ortotropia De simetria Carga na direcção i -matriz de rigidez pela inversão -ambas sempre positivamente definidas direcções de ortotropia = dir. principais de tensão = dir. principais de deformação Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

10. Outras designações para comportamento dos MC mais geral Designações do comportamento têm que assumir a carga e a descarga Comportamento Elástico: linear ou não linear: não existem deformações permanentes, depois da descarga o MC encontra-se sem deformações Os estados das tensões e das deformações não dependem da história da aplicação das cargas C. Elasto-plástico: existem deformações plásticas, irreversíveis, ou seja permanentes E tangente inicial descarga linear parte elástica parte plástica, permanente Lei reversível com histerésis, c. elástico com atrito interno Constantes do material dependem da historia de cargas e descargas Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

transição entre o comportamento reversível e irreversível incompressibilidade após enfraquecimento, amaciamento, endurecimento plasticidade amolecimento Mais rígido após a cedência perfeita Menos rígido após a cedência 10. 1 Cedência Comportamento viscoso: há dependência no tempo : relaxação, fluência 10. 2 Modelos para o cálculo C. rígido perfeitamente plástico C. elasto-plástico com endurecimento Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016