Cap 3 Tenso 1 Existncia das foras internas

Cap. 3. Tensão 1. Existência das forças internas 2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy 3. Vector das tensões no ponto P 3. 1 Componentes cartesianas 3. 2 Componentes intrínsecas 4. Tensor das tensões no ponto P 4. 1 Valores necessários para determinar o estado das tensões 4. 2 Componentes de tensão 4. 3 Prova da simetria de componentes em 2 D 5. Equações de equilíbrio 5. 1 Prova em 2 D 6. Cálculo das componentes do vector das tensões 7. Carácter tensorial das tensões 7. 1 Prova da lei de transformação em 2 D 8. Notas sobre 3 D 9. Tensões principais 10. Estados de tensão 11. Outras designações 12. Outras representações 12. 1 Elipse de Lamé 12. 2 Quadricas de Cauchy Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Tensão é uma das repostas do MC ao carregamento 1. Existência das forças internas = sistema 3 A Forças externas = carregamento sistema 1 sistema 2 A sistema 1 sistema 2 B corte B Conjunto (sistema 1 & sistema 2) está em equilíbrio forças internas Conjunto (sistema 1 & sistema 3) está em equilíbrio = - sistema 3 sistema 2 e sistema 3 são equivalentes sistema 3 exprime o efeito da parte retirada B, carregada com o sistema 2 Conjunto (sistema 2 & (- sistema 3)) está em equilíbrio sistema 1 e – sistema 3 são equivalentes “- sistema 3” exprime o efeito da parte retirada A carregada com o sistema 1 Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy Leonhard Euler (1707 -1783) em vez de forças internas usa-se a densidade das forças internas Densidade das forças internas no ponto P, efeito de = normal exterior unitária Densidade das forças internas no ponto P, efeito de Augustin Cauchy (1789 -1857) Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

O vector da densidade das forças internas no ponto P chama-se A P B corte 3. Vector das tensões no ponto P Escolha-se um ponto P, que pertence à superfície de corte Define-se à volta do P um elemento infinitesimal de área que pertence à superfície de corte e que corresponde a duas facetas A faceta é sempre ligada ao resto do MC A faceta ligada a parte A com a normal exterior unitária Força interna elementar Densidade das forças internas, ou seja o vector das tensões A faceta ligada a parte B com a normal exterior unitária Força interna elementar Unidade N/m 2=Pa 106 Pa=MPa Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

é indiferente do modo que ΔA tende para zero é indiferente da superfície de corte, desde que a normal no P é igual O vector das tensões no ponto P é unicamente definido para uma dada normal, o sentido é sempre relacionado com a faceta onde actua O sentido do vector das tensões relacionado às duas facetas no mesmo ponto com a normal da mesma direcção é sempre oposto 3. 1 Componentes cartesianas tx, ty, tz: componentes cartesianas do vector das tensões 2 componentes em 2 D, 3 em 3 D Verifica-se que o sinal das componentes cartesianas é oposto Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

3. 2 Componentes intrínsecas tn, tt: componentes intrínsecas do vector das tensões 2 componentes em 2 D e em 3 D tn: componente normal tt: componente tangencial ou de corte tn: com sentido da normal tn: contra sentido da normal tracção, positiva compressão, negativa Verifica-se que o sinal da componente intrínseca normal é igual nas duas facetas. Verifica-se que as intensidades de ambas componentes não dependem do referencial Pode-se atribuir o sinal à componente tangencial, mas apenas em 2 D. Este sinal depende do referencial e segue as regras das facetas positivas e negativas (explicação mais tarde). Se o referencial for igual nas duas facetas, o sinal seria também igual. Nota: Pontos da circunferência Mohr = componentes intrínsecas das facetas Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

4. Tensor das tensões no ponto P 4. 1 Valores necessários para determinar o estado das tensões Mantém-se o ponto P mas escolha-se uma faceta com normal diferente as componentes do vector das tensões serão diferentes Diz-se que se conhece o estado das tensões no ponto P, quando se conhecem as componentes do vector das tensões em qualquer faceta que nele passa É preciso determinar o número dos valores necessários para poder unicamente exprimir componentes do vector das tensões a qualquer faceta Pode-se provar, que para isso tem que se saber vector das tensões relacionado: - em 3 D a 3 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P - em 2 D a 2 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P Devido a simetria do tensor das tensões (provada mais tarde) as componentes destes vectores das tensões devem finalizar 3 dados não contraditórios em 2 D e 6 dados não contraditórios em 3 D Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Prova em 2 D Marque-se uma vizinhança infinitesimal em torno do ponto P Lados da vizinhança são infinitesimais, por isso a distribuição das componentes do vector das tensões pode ser considerada uniforme Sabendo componentes cartesianas facetas (x) e (y) é possível determinar as componentes cartesianas na faceta inclinada Nota: as condições de equilíbrio escrevem-se para forças e momentos, nunca para componentes de tensão As forças de volume não foram consideradas, porque contribuem com o termo de ordem maior (área versus aresta) Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

4. 2 Componentes de tensão Representação geométrica das componentes de tensão em 2 D no rectângulo elementar Comprovando, que o conhecimento de vector das tensões nas duas facetas é suficiente para determinar o vector das tensões a qualquer faceta, ou seja é suficiente para definir o estado das tensões no ponto P, costumam-se escolher facetas do referencial original e em vez de componentes cartesianas marcam-se nelas componentes intrínsecas. Mais ainda, cada faceta representa-se nas suas duas formas e assim de facto recorta-se um rectângulo elementar do MC. Convenciona-se Quando o sentido da normal coincide com o sentido do eixo coordenado Faceta positiva : o sentido da componente positiva coincide com o sentido do eixo coordenado Quando o sentido da normal é oposto ao sentido do eixo coordenado Faceta negativa : o sentido da componente positiva é oposto ao sentido do eixo coordenado Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Neste caso as componentes intrínsecas do vector das tensões chamam-se componentes do tensor das tensões Componente normal Facetas positivas Facetas negativas Componente tangencial ou componente de corte o 1 índice da componente tangencial corresponde à normal, o 2 à direcção Neste caso as direcções das componentes cartesianas e intrínsecas do vector das tensões em cada faceta coincidem, contudo o sentido positivo satisfaz as regras definidas no slide anterior Representação das componentes na forma matricial Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

4. 3 Prova da simetria de componentes em 2 D Escolha-se vizinhança elementar rectangular em torno do ponto P, mergulhada no MC e escreve-se o equilíbrio dos binários Equilíbrio dos binários As forças de volume e as variações de tensão não foram consideradas, porque contribuem com o termo de ordem maior força momento Representação das componentes na forma matricial Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

5. Equações de equilíbrio 5. 1 Prova em 2 D Augustin Cauchy (1789 -1857) Interior Vizinhança elementar rectangular em torno do ponto P, mergulhada no MC Nota: o equilíbrio dos momentos dava a relação de simetria, agora com a prova mais rigorosa do que no slide anterior 2 equações de equilíbrio não suficientes para resolver 3 incógnitas Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Fronteira Carga cartesiana distribuída na superfície, valores dados Vizinhança elementar triangular do ponto de superfície P Condições de fronteira 6. Cálculo das componentes do vector das tensões Componentes cartesianas de analogia: P: ponto interior, a normal {n} tem que ser exterior e unitária 2 D 3 D Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Componentes intrínsecas Componente normal e tangencial calculam-se como escalares Tensão normal na direcção {n} A componente normal é positiva quando o sentido dela coincide com o sentido da normal: tracção Tensão tangencial na faceta {n} O sentido da componente tangencial não está definido pela esta expressão Alternativamente, em 2 D apenas!!! Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

7. Carácter tensorial das tensões Equações de equilíbrio em 2 D 7. 1 A prova da lei de transformação em 2 D Analogamente: Tensão é tensor da 2ª ordem Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

8. Notas sobre 3 D Representação geométrica das componentes no paralelepípedo elementar (facetas positivas) Representação das componentes na forma matricial Equações de equilíbrio (de Cauchy) no interior 3 equações de equilíbrio não suficientes para resolver 6 incógnitas Condições de fronteira Tensão é tensor simétrico 6 componentes em 3 D Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

9. Tensões principais Para o ângulo de rotação θp, que satisfaz a tensão de corte anula-se e as tensões normais atingem os seus máximos e mínimos; estas componentes normais chamam-se as tensões principais onde qualquer componente normal , Tensão de corte máxima: acompanhada de Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Notas sobre a circunferência de Mohr Os pontos da circunferência correspondem às componentes intrínsecas do vector das tensões nas facetas correspondentes. As facetas positivas e negativas diferem de 180º, o que representa uma rotação de 360º na CM, por isso as componentes são iguais, como era de esperar. Orientação das componentes de corte determina a posição do ponto na circunferência de Mohr indiferentemente do referencial Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

10. Estados de tensão Homogéneo ou uniforme: as componentes do tensor das tensões não variam com a posição Tracção pura Compressão pura Pressão hidrostática Estado tangencial puro Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Isostáticas Tangentes às direcções principais Tracção pura Estado tangencial puro analogamente Compressão pura Pressão hidrostática Qualquer direcção é principal, isostáticas não fazem sentido Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Tensor esférico e tensor desviador de tensão 11. Outras designações importante para a energia de deformação onde σm é a tensão média consequentemente Tensão octaédrica são as componentes intrínsecas do vector tensão no plano cuja normal é importante para teoria de plasticidade Tensão de von Mises Importante para teoria de plasticidade 2 D 3 D Richard von Mises (1883 -1953) Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

12. Outras representações 12. 1 Elipse de Lamé em 2 D Elipsóide de Lamé em 3 D Gabriel Lamé (1795 -1870) Assume-se, que correspondem às componentes do vector das tensões numa faceta com a normal {n} de componentes nx, ny, nz no referencial principal Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Em 2 D Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

12. 2 Quádricas de Cauchy Quádrica = superfície que se pode representar por uma equação algébrica do segundo grau Quádrica de Cauchy = coeficientes desta equação coincidem com as componentes do tensor das tensões em 2 D A curva não depende do referencial, porque o determinante de [σ] é invariante Quando ou seja quando os valores próprios têm o mesmo sinal, a curva corresponde a elipse Positivo para v. p. positivos Negativo para v. p. negativos Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Real para +1 Imag. para -1 Real para -1 Imag. para +1 Real para +1 Imag. para -1 Hipérboles Assimptotas com declives Real para -1 Imag. para +1 No referencial principal Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

em 3 D como em 2 D Vamos analisar superfícies reais Todos v. p. positivos e +1 no lado direito Todos v. p. negativos e -1 no lado direito 2 valores positivos 1 negativo Elipsóide 2 Hiperbolóides assimptóticos à mesma superfície cónica De uma folha, real para +1 De duas folhas, real para -1 Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

1 valor positivo 2 negativos 2 Hiperbolóides assimptóticos à mesma superfície cónica De uma folha, real para -1 De duas folhas, real para +1 As rotações são apenas consequências da ordenação dos valores próprios, no slide anterior o “eixo” foi formado pelo (3), neste slide o “eixo” coincide com (1) Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016