Cap 2 Definizioni postulati e assiomi Definizioni Una

Cap. 2 Definizioni, postulati e assiomi

Definizioni § Una delle cose che rende la geometria e le discipline scientifiche “materie difficili” sono le definizioni § Vediamo cosa significa definire § Definire : determinare il contenuto di un concetto, dichiarare con brevi e precise parole le qualità essenziali di una cosa, in modo da distinguerla nettamente da un’altra

§ Analizziamo “dichiarare con brevi e precise parole le qualità essenziali di una cosa” § Una definizione deve essere: § breve (non può essere resa tramite esempi e deve avere il minor numero di termini possibili) § essenziale (al suo interno non deve contenere termini superflui o che la abbelliscono) § precisa: non può essere adatta a due o più cose ma solo ad una § In pratica per ottenere il massimo punteggio dovete rispettare queste regole e questo non è affatto semplice

Es. definizione di quadrato § § § Analizziamo le seguenti definizioni: Il quadrato è un quadrilatero Il quadrato è un poligono con tutti i lati uguali Il quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali Sono tutte definizioni brevi, esenti da termini superflui ma nessuna di esse è pertinente § Pur essendo il quadrato un quadrilatero e un poligono con tutti i lati uguali nessuna delle due è precisa (la prima va bene anche per rettangolo, parallelogramma ecc. la seconda per tutti i poligoni equilateri, la valutazione va sotto la sufficienza)

§ La terza definizione combina le prime due entrambe parzialmente vere pertanto ha un contenuto informativo maggiore, continua ad essere breve e ad utilizzare parole precise ma continua ad essere adatta a più cose § Raggiunge sicuramente la sufficienza ma non il punteggio massimo § Le seguenti due figure sono entrambe ben descritte dalla nostra proposizione

Definizione scientifica § La definizione scientifica e sicuramente più complessa di una definizione normale perché utilizza un linguaggio specifico § Un linguaggio si dice specifico se appartiene ad una particolare disciplina § La prossima diapositiva vi mostrerà diverse definizioni di quadrato, tutte corrette ma la cui valutazione può essere differente

Definizione di quadrato § Il quadrato è un quadrilatero con tutti gli angoli e i lati uguali (punteggio 8 ½) § Quadrilatero angolo e lato fanno parte del linguaggio specifico della disciplina § Omettere le parole è un quadrilatero e inserire “poligono che ha quattro lati uguali e quattro angoli retti” porta ad una definizione che manca del carattere di brevità (punteggio 8)

§ Il quadrato è un quadrilatero con tutti gli angoli e i lati congruenti (punteggio 9) § La parola congruente appartiene al linguaggio specifico della geometria perciò la definizione ha un utilizzo migliore del linguaggio specifico § Il quadrato è un quadrilatero equilatero ed equiangolo (punteggio 10) § C’è un uso preciso del linguaggio specifico e una definizione più breve § equilatero equiangolo

§ Se l’insegnante ha spiegato i poligoni regolari (poligoni che sono contemporaneamente equilateri ed equiangoli) allora la definizione giusta per ottenere il massimo punteggio è: Il quadrato è un quadrilatero regolare

Definizione di postulato § Dal dizionario della Treccani § postulato dal lat. postulatum «ciò che è richiesto; richiesta» § Proposizione che, senza essere evidente né dimostrata, si assume come fondamento di una dimostrazione o di una teoria § i postulati fanno riferimento ad una materia particolare

Definizione di assioma § L’assioma è un principio certo ed evidente senza ulteriori indagini che costituisce la base per ulteriori ricerche § Gli assiomi hanno una validità più generale dei postulati e sono alla base di più discipline

I postulati di Euclide § § § Insieme agli enti geometrici fondamentali la geometria euclidea utilizza 5 postulati per rendere coerente la sua struttura. 1 Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta. 2 Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente. 3 Dato un punto (centro) e una lunghezza (raggio), è possibile descrivere un cerchio. 4 Tutti gli angoli retti sono uguali. 5 Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti.

Primo postulato Punto A Punto B Retta r È evidente che qualsiasi altra retta non passerà per i due punti

Terzo postulato Punto A (centro) Lunghezza Circonferenza Per definire un circonferenza basta prendere un punto come centro e una lunghezza come raggio

Gli assiomi 1. Le cose uguali ad una stessa cosa sono uguali 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. tra loro. A = B B = C A = C [proprietà transitiva] Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme ottenute sono uguali. Se da cose uguali si tolgono cose uguali, le parti rimanenti sono uguali. Se cose uguali sono aggiunte a cose disuguali, le somme ottenute sono disuguali. I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro. Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro. Cose che coincidono tra loro sono uguali. A = B B = A [proprietà riflessiva] Il tutto è maggiore della parte.

Metodo assiomatico deduttivo § … roba da panico!!!!!! § Chiunque di voi leggendo queste tre parole si porrà questa domanda …. “ma che roba è …” § L’unica speranza risiede nel vocabolario § Metodo In genere, il modo, la via, il procedimento seguito nel perseguire uno scopo, secondo un ordine e un piano prestabiliti in vista del fine che s’intende raggiungere § Assiomatico che fa uso di assiomi, principi assunti come veri senza dimostrazione perché evidenti § Deduttivo il metodo da usare è basato soltanto sul ragionamento senza far ricorso all’esperienza nel corso del suo sviluppo

La geometria euclidea fa uso del metodo assiomatico-deduttivo perché partendo dagli enti geometri fondamentali (3) e dai postulati (5), riesce a dimostrare, col puro ragionamento, tutto il resto utilizzando proposizioni già dimostrate