Cap 11 B Rotacin de cuerpo rgido Presentacin

Cap. 11 B – Rotación de cuerpo rígido Presentación Power. Point de Paul E.

Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: • Definir y calcular el momento de inercia para sistemas simples. • Definir y aplicar los conceptos de segunda ley de Newton, energía cinética rotacional, trabajo rotacional, potencia rotacional y cantidad de movimiento rotacional a la solución de problemas físicos. • Aplicar principios de conservación de energía y cantidad de movimiento a problemas que involucran rotación de cuerpos rígidos.

Inercia de rotación Considere la segunda ley de Newton para que la inercia de rotación se modele a partir de la ley de traslación. F = 20 N a = 4 m/s 2 F = 20 N R = 0. 5 m = 2 rad/s 2 Inercia lineal, m 24 N 4 m = m/s 2 = 5 kg Inercia rotacional, I (20 N)(0. 5 m) 2 I= = = 2. 5 kg m 4 m/s 2 La fuerza hace para la traslación lo que el momento de torsión hace para la rotación:

Energía cinética rotacional Considere masa pequeña m: v = R m K = ½mv 2 K= ½m( R)2 K= ½(m. R 2) 2 m 4 m 1 eje m 3 m 2 Suma para encontrar K total: Objeto que rota a constante. K = ½(Sm. R 2) 2 Definición de inercia rotacional: (½ 2 igual para toda m ) I = Sm. R 2

Ejemplo 1: ¿Cuál es la energía cinética rotacional del dispositivo que se muestra si rota con rapidez constante de 600 rpm? Primero: I = Sm. R 2 3 m 3 kg m)2 I = (3 kg)(1 + (2 kg)(3 m)2 + (1 kg)(2 m)2 I = 25 kg m 2 2 kg 1 m 2 m 1 kg = 600 rpm = 62. 8 rad/s K = ½Iw 2 = ½(25 kg m 2)(62. 8 rad/s) 2 K = 49, 300 J

Inercias rotacionales comunes L L R R I = m. R 2 I = ½m. R 2 Aro Disco o cilindro R Esfera sólida

Ejemplo 2: Un aro circular y un disco tienen cada uno una masa de 3 kg y un radio de 30 cm. Compare sus inercias rotacionales. R I = 0. 120 kg m 2 I = m. R 2 Aro R I = ½m. R 2 Disco I = 0. 0600 kg m 2

Analogías importantes Para muchos problemas que involucran rotación, hay una analogía extraída del movimiento lineal. x m f Una fuerza resultante F produce aceleración negativa a para una masa m. I R 4 kg = 50 rad/s o = 40 N m Un momento de torsión resultante t produce aceleración angular de disco con inercia rotacional I.

Segunda ley de rotación de Newton ¿Cuántas revoluciones requiere para detenerse? t = I FR = (½m. R 2) = 100 rad/s 2 F R 4 kg o = 50 rad/s R = 0. 20 m F = 40 N 0 2 = f 2 - o 2 = 12. 5 rad = 1. 99 rev

Ejemplo 3: ¿Cuál es la aceleración lineal de la masa de 2 -kg que cae? Aplique 2 a ley de Newton al disco rotatorio: TR = = I (½MR 2) R = 50 cm M 6 kg a=? 2 kg a a = R; = T = ½MR pero R a T = ½MR( ) ; R y T = ½Ma R = 50 cm 6 kg Aplique 2 a ley de Newton a la masa que cae: mg - T = ma mg - ½Ma T = ma T +a (2 kg)(9. 8 m/s 2) - ½(6 kg) a = (2 kg) a 19. 6 N - (3 kg) a = (2 kg) a T a = 3. 92 m/s 2 2 kg mg

Trabajo y potencia para rotación Trabajo = Fs = FR Trabajo = Potencia = Trabajo t = t s = t F F s = R Potencia = Momento de torsión x velocidad angular promedio

Ejemplo 4: El disco rotatorio tiene un radio de 40 cm y una masa de 6 kg. Encuentre el trabajo y la potencia si la masa de 2 kg se eleva 20 m en 4 s. Trabajo = = FR s 20 m = = = 50 rad R 0. 4 m 2 kg 6 kg Potencia = Trabajo t = 392 J 4 s F F=W s = 20 m F = mg = (2 kg)(9. 8 m/s 2); F = 19. 6 N Trabajo = (19. 6 N)(0. 4 m)(50 rad) s Trabajo = 392 J Potencia = 98 W

El teorema trabajo-energía Recuerde para movimiento lineal que el trabajo realizado es igual al cambio en energía cinética lineal: Al usar analogías angulares, se encuentra que el trabajo rotacional es igual al cambio en energía cinética rotacional:

Aplicación del teorema trabajo-energía: ¿Qué trabajo se necesita para detener la rueda que rota? Trabajo = DKr F R 4 kg o = 60 rad/s R = 0. 30 m F = 40 N Primero encuentre I para rueda: I = m. R 2 = (4 kg)(0. 3 m)2 = 0. 36 kg m 2 0 Trabajo = -½I o 2 Trabajo = -½(0. 36 kg m 2)(60 rad/s)2 Trabajo = -648 J

Rotación y traslación combinadas vcm vcm Primero considere un disco que se desliza sin fricción. La velocidad de cualquier parte es igual a la velocidad vcm del centro de masa. Ahora considere una bola que rueda sin deslizar. La velocidad angular en torno al punto P es igual que para el disco, así que se escribe: O v R P

Dos tipos de energía cinética Energía cinética de traslación: Energía cinética de rotación: K= ½mv 2 v R K = ½I 2 P Energía cinética total de un objeto que rueda:

Conversiones angular/lineal En muchas aplicaciones, debe resolver una ecuación con parámetros angulares y lineales. Es necesario recordar los puentes: puentes Desplazamiento: Velocidad: Aceleración:

¿Traslación o rotación? Si debe resolver un parámetro lineal, debe convertir todos los términos angulares a términos lineales: Si debe resolver un parámetro angular, debe convertir todos los términos lineales a términos angulares:

Ejemplo (a): Encuentre la velocidad v de un disco dada su energía cinética total E. Energía total: E = ½mv 2 + ½I 2

Ejemplo (b) Encuentre la velocidad angular de un disco dada su energía cinética total E. Energía total: E = ½mv 2 + ½I 2

Estrategia para problemas • Dibuje y etiquete un bosquejo del problema. • Mencione lo dado y establezca lo que debe encontrar. • Escriba fórmulas para encontrar los momentos de inercia de cada cuerpo que rota. • Recuerde conceptos involucrados (potencia, energía, trabajo, conservación, etc. ) y escriba una ecuación que involucre la cantidad desconocida. • Resuelva para la cantidad desconocida.

Ejemplo 5: Un aro y un disco circulares, cada uno con la misma masa y radio, ruedan con rapidez lineal v. Compare sus energías cinéticas. Dos tipos de energía: v KT = ½mv 2 Kr = ½I 2 Energía total: E = ½mv 2 + ½I 2 v = R Disco: E = ¾mv 2 Aro: E = mv 2 v

Conservación de energía La energía total todavía se conserva para sistemas en rotación y traslación. Sin embargo, ahora debe considerar la rotación. Inicio: (U + Kt + KR)o = Fin: (U + Kt + KR)f ¿Altura? mgho ¿Rotación? ½I o 2 ¿Velocidad? ½mvo 2 = mghf ¿Altura? ½I f 2 ¿Rotación? ½mvf 2 ¿Velocidad?

Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa de 2 kg justo antes de golpear el suelo. R = 50 cm mgho ½I o 2 ½mvo 2 = mghf ½I f 2 ½mvf 2 6 kg 2 kg h = 10 m 2. 5 v 2 = 196 m 2/s 2 v = 8. 85 m/s

Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desde lo alto de un plano inclinado. ¿Cuáles son sus rapideces en el fondo si la altura inicial es 20 m? mgho = ½mv 2 + ½I 2 Aro: I = m. R 2 20 m mgho = ½mv 2 + ½mv 2; mgho = mv 2 Aro: v = 14 m/s Disco: I = ½m. R 2; mgho = ½mv 2 + ½I 2 v = 16. 2 m/s

Definición de cantidad de movimiento angular Considere una partícula m que se mueve con velocidad v en un círculo de radio r. Defina cantidad de movimiento angular L: L = mvr Al sustituir v= r, da: L = m( r) r = mr 2 Para cuerpo extendido en rotación: L = (Smr 2) v = r m m 4 m 1 eje m 3 m 2 Objeto que rota constante. Dado que I = Smr 2, se tiene: L = I Cantidad de movimiento angular

Ejemplo 8: Encuentre la cantidad de movimiento angular de una barra delgada de 4 kg y 2 m de longitud si rota en torno a su punto medio con una rapidez de 300 rpm. L=2 m m = 4 kg I = 1. 33 kg m 2 L = I = (1. 33 kg m 2)(31. 4 rad/s)2 L = 1315 kg m 2/s

Impulso y cantidad de movimiento Recuerde que, para movimiento lineal, el impulso lineal es igual al cambio en cantidad de movimiento lineal: Al usar analogías angulares, se encuentra que el impulso angular es igual al cambio en cantidad de movimiento angular :

Ejemplo 9: Una fuerza de 200 N se aplica al borde de una rueda libre para girar. La fuerza actúa durante 0. 002 s. ¿Cuál es la velocidad angular final? I = m. R 2 = (2 kg)(0. 4 m)2 I = 0. 32 kg m 2 Momento de torsión aplicado = FR D t = 0. 002 s = 0 rad/s o R R = 0. 40 m F 2 kg F = 200 N Impulso = cambio en cantidad de movimiento angular 0 Dt = I f - I o FR Dt = I f f = 0. 5 rad/s

Conservación de cantidad de movimient En ausencia de momento de torsión externo, se conserva la cantidad de movimiento rotacional de un sistema (es constante). 0 I f f = I o o If f - Io o = Dt Io = 2 kg m 2; o = 600 rpm If = 6 kg m 2; o = ? f = 200 rpm

Resumen – Analogías rotacionales Cantidad Lineal Rotacional Desplazamiento x Radianes Inercia Masa (kg) I (kg m 2) Fuerza Newtons N Velocidad v “ m/s ” Momento de torsión N·m Rad/s Aceleración a “ m/s 2 ” Cantidad de movimiento mv (kg m/s) Rad/s 2 I (kg m 2 rad/s)

Fórmulas análogas Movimiento lineal Movimiento rotacional F = ma K = ½mv 2 Trabajo = Fx = I K = ½I 2 Trabajo = tq Potencia = Fv Potencia = I Fx = ½mvf 2 - ½mvo 2 = ½I f 2 - ½I o 2