Campo Multiplicativo de Vergnaud PIBID INTERDISCIPLINAR UEPG Estruturas

Campo Multiplicativo de Vergnaud PIBID INTERDISCIPLINAR UEPG

Estruturas Multiplicativas As estruturas multiplicativas envolvem muitos conceitos para além das operações de multiplicação e divisão, entre eles temos: fração, função linear, proporção, produto cartesiano, entre outros.

Multiplicação e Adição: continuidade e descontinuidade • É comum ensinar que multiplicar é o mesmo que somar de forma interada. • Porém, isso gera barreiras na própria comutatividade da multiplicação. Observe: Em cada pacote de adesivos vêem 3 adesivos. Quantos adesivos se obtém em 4 pacotes? Pode-se pensar no problema de duas maneiras: 1. 3 adesivos + 3 adesivos = 12 adesivos - (4 x 3); 2. 4 pacotes + 4 pacotes = 12 pacotes (3 x 4);

• Esta operação envolve 4 grandezas, a relação quaternária, que pode ser esquematizada da seguinte maneira: G 1 – pacotes G 2 - adesivos 1 3 4 ?

Na primeira solução, em que o aluno resolve por multiplicação de 4 x 3 ou soma repetida de 3 figurinhas 4 vezes. Existe uma propriedade matemática que garante a validade dessa estratégia, a propriedade linear ou a propriedade multiplicativa do isomorfismo entre as duas grandezas.

Comprei 3 sorvetes por 6 reais. Quanto vou gastar para comprar 6 sorvetes?

A razão 6 sorvetes/3 sorvetes = 2 é um número sem dimensão, que é utilizado para calcular o preço final. Assim sendo, ao contrário da primeira estratégia em que a soma repetida mantém a grandeza em foco, a segunda: 4 pacotes + 4 pacotes, não teria o mesmo significado.

No entanto, existe uma outra estratégia que suporta a solução 3 x 4, a qual é mais difícil de ser encontrada nas respostas dos alunos pequenos, em sala de aula, pois envolve um conceito em ação mais complexo.

Como a proporção simples é um caso da função linear em toda função linear é escrita como f(x) = a x, onde a é o coeficiente de proporcionalidade ou ainda coeficiente de dimensão, ou ainda a taxa de proporcionalidade, ou ainda o valor da unidade. Portanto, f(4) = 3 (figurinhas/pacote) x 4 pacotes, e portanto, f(4) = 12 figurinhas.

Essa estratégia é mais complexa para o aluno iniciante, pois o mesmo não consegue reconhecer que o 3 que multiplica não é um número, não são 3 figurinhas, mas uma taxa de 3 figurinhas por pacote. Uma esquematização dessa nova estratégia revela a relação entre as duas medidas grandezas de naturezas diferentes.

A dificuldade da criança em lidar com uma análise dimensional, no caso da introdução da multiplicação, torna-se ainda mais grave quando ela se depara com problemas de proporção simples em que o valor desconhecido é a o número de pacotes (com 3 figurinhas) que se pode formar com 12 figurinhas, por exemplo:

Tem-se 12 figurinhas, e deve-se fazer pacotes com 3 figurinhas. Quantos pacotes serão feitos? É difícil encontrar crianças que resolvam tal problema pela divisão de 12 por 3, ela fica sem entender como aparecem os pacotes, pois é como dividir figurinhas por figurinhas e obter pacotes. Gera-se um conflito, pois surge no problema uma nova grandeza, que a princípio, é desconsiderada pela criança ao construir o raciocínio relacional. De fato, com a análise dimensional, buscamos:

Nessa análise, vemos que de fato dividimos pela taxa que é o mesmo que multiplicar pelo inverso da taxa, algo bastante complexo para crianças pequenas. Apesar de que nesse tipo de problema, a criança dificilmente associe o a um problema multiplicativo que pode ser resolvido por uma divisão, quando trabalhando com os agrupamentos, já no 2º ano, é comum a criança resolver tal tipo de problema. Elas agrupam as figurinhas de três em três, em geral por meio de desenho, e contam quantos pacotes é possível formar. Essa estratégia busca a razão (4) entre o número total de figurinhas e o número de figurinhas em um pacote, para achar o valor de pacotes formado.

Novamente, a criança se utiliza da propriedade linear das relação de proporcionalidade. E é nesse sentido que é cada vez mais importante enfatizar a multiplicação como uma relação quaternárias com as propriedades utilizadas pela criança, que aproxima os problemas da multiplicação por um escalar e não por uma taxa dimensional. A propriedade de isomorfismo é naturalmente compreendida pela criança. A partir da análise dimensional fica ainda mais clara a descontinuidade entre a multiplicação e a adição. A multiplicação mesmo que muitas vezes seja ensinada como por seu caráter de continuidade com a adição, apresenta rupturas que leva os alunos a diversas dificuldades.

A conservação da adição nas relações de proporcionalidade Outra importante propriedade dos isomorfismos ou das proporcionalidades utilizadas pelas crianças é a manutenção da adição. No problema, por exemplo: Duas jarras enchem 6 copos, três jarras enchem quantos copos?

Nesse novo caso, a razão entre 2 e 3 é um número racional não natural, em geral, não dominado pela criança quando começa a lidar com tal tipo de problema. É muito comum a criança achar por razão o correspondente a uma jarra e usar o fato que 3 jarras são duas jarras mais uma jarra, e portanto, a quantidade de copos é o correspondente a duas jarras mais o correspondente a uma jarra.

Usa outro teorema-em-ação que corresponde a segunda propriedade das relações de proporcionalidade ou do isomorfismo, i. e. Dados x e y, f(x+y) = f(x) + f(y)

É comum, professor, ter-se a tendência de apresentar a multiplicação em situações de proporcionalidade valorizando a terna – grandeza inicial, taxa e grandeza final. No entanto, essa estratégia inviabiliza as estratégias mais facilmente compreendidas pela criança, que são as propriedades lineares, ou do isomorfismo, como já discutido anteriormente. É nesse sentido, que buscamos evitar apresentar à criança a multiplicação (como proporcionalidade simples) como o diagrama:

Problema 1: Um pacote de adesivos vem com 3 adesivos. Quantos adesivos vêm em 4 pacotes? Problema 2: Uma loja A vende tudo 3 vezes mais caro que a loja B. Sabendo que uma blusa custa R$ 4, 00 na loja B, quanto a mesma blusa custa na loja A? Problema 3: Um parque cobra R$ 1, 00 por pessoa a cada hora nos brinquedos. Uma mãe mandou seus três filhos ao parque para brincarem durante 4 horas. Quanto a mãe pagou? Problema 4: Em um cinema há 3 entradas e 4 saídas. De quantas maneiras diferentes podemos entrar e sair do cinema?

Professor! É pra multiplicar ou dividir?

Para Vergnaud o cálculo relacional diz respeito às operações do pensamento necessárias para que haja a exploração das relações envolvidas nas situações focalizadas. Ele sugere a utilização de diagramas para auxiliar o cálculo reacional – a interpretação dos problemas também no campo multiplicativo. Como no exemplo a seguir:

Comparação Multiplicativa situações bem próximas às aditivas em que se têm apenas duas grandezas de mesma natureza que são comparadas de forma multiplicativa por um escalar (uma razão ou relação), uma o referente e outra o referido. Estamos diante de uma operação, assim como na adição, ainda ternária, que envolve três números ou grandezas. Um exemplo é o seguinte problema:

Caso 1: Referido desconhecido Uma loja A vende tudo 3 vezes mais caro que a loja B. Sabendo que uma blusa custa R$ 4, 00 na loja B, quanto a mesma blusa custa na loja A? Caso 2: Referente desconhecido A idade do pai é 5 vezes maior que a idade de seu filho. O pai tem 30 anos. Qual é a idade de seu filho?

Caso 3: Relação desconhecida (vezes maior e vezes menor) João ganhou 18 pirulitos e Maria ganhou 6 pirulitos. A quantidade de pirulitos que Maria ganhou é quantas vezes menor que João?

Proporção simples São situações em que se tem uma relação de proporcionalidade entre 4 grandezas, duas a duas de mesma natureza, que estão relacionadas por uma taxa entre as duas grandezas.

Caso 1: Um para muitos A receita de brigadeiro de Ana leva uma lata de leite condensado para 5 colheres de chocolates. Ela vai fazer brigadeiros com 4 latas de leite condensado. Quantas colheres de chocolate ela usara para fazer sua receita de brigadeiro corretamente.

Tal estratégia é mais fácil de ser realizada pelo aluno, pois multiplica por um escalar, promovendo uma adição repetida. No entanto, tal problema pode também ser resolvido pela identificação da taxa de proporcionalidade (coeficiente de dimensão) que relaciona as duas grandezas de naturezas diferentes.

Caso 2: partição O médico mandou Marta tomar 24 comprimidos em 8 dias. Ela tem que tomar a mesma quantidade de comprimidos todos os dias. Quantos comprimidos ela tomará por dia?

Caso 3: Cota Para ficar boa de uma doença, Ana tomou 32 comprimidos. O médico mandou Ana tomar 4 comprimidos por dia. Quantos dias este tratamento durou?

Caso 4: Quarta proporcional Quando o valor da unidade, ou taxa, não aparece nem tampouco é solicitado, como no exemplo da seguinte situação. Dona Benta usa 15 ovos para fazer 3 bolos. Quantos ovos ela precisa para fazer 5 bolos?

Este é o tipo de problema, que durante muitos anos na escola era abordado somente por regra de três, os conhecidos problemas de proporção.

Produtos Cartesianos Quando uma nova grandeza é obtida como produto de duas (ou mais) outras , como é o caso das áreas , volume, das combinações, sem que uma das grandezas dependam das outras.

Caso 1: Área (contínua x contínua) A casa de Mário tem um formato retangular, com 5 metros de largura e 7 metros de comprimento. Qual e a área da casa de Mário? Nota-se que nesse tipo de problema, também há diversas alterações, que não detalharemos aqui, bastando alterar o valor desconhecido.

Caso 2: combinação Diferentemente dos problemas de área, os de combinação, apresentam um produto cartesiano entre grandezas discretas.

a) Combinação com todo desconhecido + um dos números implícitos Em uma sorveteria, o sorvete de uma bola pode servido em casquinho ou copinho. Tem 4 sabores diferentes: menta, baunilha, chocolate, morango. Maria quer um sorvete de uma bola, de quantas maneiras diferentes ela tem para escolher?

b) Combinação com parte desconhecida Uma loja vende bola de cores diferentes e em 2 tamanhos: grande e pequena. Para cada cor tem bolas dois tamanhos. No total são 12 bolas diferentes. Quantas cores diferentes podem ser as bolas?

c) Combinação com Total desconhecido e números implícitos

Função bilinear A multiplicação assume também o significado de produtos cartesianos em que há uma linearidades com cada uma das grandezas envolvidas, com taxa diferente de um, como no problema a seguir: Um parque de diversão cobra R$ 4, 00 para cada criança brincar em qualquer brinquedo durante 1 hora. Dona Lulu levou seus 3 filhos para brincar no parque durante 2 horas. Quanto ela pagou?

Proporção múltipla Um última situação que dá significado à multiplicação que trataremos aqui é a composição de duas proporções simples, à qual denominaremos de proporção múltipla. Diferentemente, das funções bilineares, aqui ao alterar o valor de qualquer das grandezas envolvidas alt. Eram-se todas elas, como é o caso do problema.

A receita da massa de pastel do “seu” Manoel é assim: para cada copo de leite ele usa 3 ovos, e para cada ovo, 2 xícaras de farinha. Para fazer a massa usando 2 copos de leite, quantas xícaras de farinha ele vai precisar?

Esquemas de ação: Correspondência um-a-muitos Distribuição equitativa

Adição envolve uma grandeza, e a relação parte-todo; A multiplicação envolve duas grandezas; A reta numérica é indicada para operações de adição e subtração, mas não para a multiplicação e divisão, nestes dois últimos casos usar tabelas, no início com bastante uso de imagens;

GODINO: conhecimento da multiplicação e divisão envolve Fatos fundamentais Técnicas de cálculo mental Técnicas escritas Propriedades Situações