Campi magnetici nella materia 26 novembre 2014 Campo

Campi magnetici nella materia 26 novembre 2014 Campo B nella materia Correnti di magnetizzazione, modello di Ampère Momenti angolari e magnetici dell’elettrone Teorema di Larmor Momento magnetico atomico indotto e permanente Diamagnetismo, paramagnetismo, ferromagnetismo Intensità di magnetizzazione M, campo H Eqq. di Maxwell nella materia Onde e. m. in un dielettrico

Campo B nella materia • Nonostante la grande complessità della struttura della materia, è possibile sviluppare il magnetismo nella materia in modo coerente e semplice • Consideriamo un circuito percorso da corrente nel vuoto, che generi un campo induzione magnetica B 0(r) • Il circuito venga poi “immerso” in una sostanza, che supporremo per semplicità omogenea e isotropa, il campo induzione magnetica generato sia ora B(r) • Il rapporto è una grandezza adimensionale detta permeabilità magnetica relativa (al vuoto) della sostanza considerata 2

Permeabilità magnetica • Se la sostanza è omogenea mr è uno scalare uniforme nello spazio, altrimenti dipende dalla posizione spaziale mr(r) • Se la sostanza non è isotropa mr non è uno scalare ma un tensore • Si introduce anche la grandezza detta permeabilità magnetica della sostanza considerata, avente le stesse dimensioni fisiche della permeabilità del vuoto m 0 3

Campo B nella materia • A parità di circuiti elettrici e correnti che li percorrono, la presenza di un mezzo altera il valore del campo da essi generato • Se il mezzo è omogeneo, isotropo e riempie tutto lo spazio, tale variazione è assai semplice • Il campo B si può infatti calcolare per mezzo della prima formula di Laplace, sostituendo m 0 con m • Inoltre la forza che tale campo esercita su un circuito immerso in esso si trova introducendo tale campo nella seconda formula di Laplace 4

Magnetizzazione • La presenza del mezzo provoca una variazione del modulo di B pari a • Ove si è introdotta la suscettibilità magnetica c • In un mezzo è come se oltre alle correnti presenti nei circuiti che generano il campo B 0 ci fosse una corrente aggiuntiva che genera un campo Bmag = c. B 0 : • Questa corrente non è fittizia, ma dovuta alla comparsa nel mezzo di correnti di origine atomica, generate a loro volta dalle correnti che producono il campo B 0 • Tali correnti si chiamano correnti di magnetizzazione 5

Magnetizzazione, modello di Ampère • La magnetizzazione della materia è dovuta a correnti microscopiche all’interno della materia stessa • Oggi sappiamo che queste correnti sono dovute al moto orbitale degli elettroni all’interno dell’atomo e al loro spin • Il modello suppone che questi moti siano equivalenti a microscopiche spire percorse da corrente (vedi il teorema di equivalenza di Ampère) 6

Momento magnetico • Siccome ogni mezzo materiale è costituito di atomi (o molecole), per trovare il momento magnetico totale M di una quantità macroscopica di materia, dobbiamo sommare (vettorialmente) tutti i momenti atomici • Il momento atomico è, a sua volta, la somma (vettoriale) di tutti i momenti magnetici orbitali e intrinseci dei suoi elettroni (bisogna usare la meccanica quantistica) • Basterà dire che alcuni di questi momenti si elidono tra loro a coppie, per cui in atomi con un numero pari di elettroni il momento risultante potrà, in generale, annullarsi, mentre per un numero dispari di elettroni il momento magnetico atomico sarà diverso da zero 7

Assenza di campo B esterno • Nel caso in cui i momenti atomici siano nulli, sarà nullo anche il momento totale • Nel caso in cui i momenti atomici non siano nulli, il momento totale è generalmente (ma non nel ferromagnetismo) ancora nullo in quanto i momenti elementari sono orientati a caso e in media la loro somma è zero 8

Presenza di campo B esterno • Indichiamo con B* la somma del campo induzione magnetica B 0 dovuto ai circuiti elettrici percorsi da corrente e del campo dovuto alle molecole del mezzo, con l’esclusione di quello della molecola stessa: B* è quindi il campo in cui la molecola che stiamo indagando è immersa • L’azione di B* produce un momento magnetico dovuto al primo o a entrambi dei seguenti fenomeni: 1) comparsa di un momento magnetico indotto, dovuto alla precessione di Larmor, che riguarda tutti gli atomi 2) orientamento degli atomi che posseggono un momento magnetico permanente, nella direzione del campo esterno 9

1) Momento indotto • Una quantità macroscopica di materiale contiene un gran numero N di atomi orientati diversamente • Possiamo allora definire il momento magnetico indotto totale del materiale e medio degli atomi come 10

2) Momento permanente • Una quantità macroscopica di materiale contiene un gran numero N di atomi orientati diversamente • Possiamo allora definire il momento magnetico permanente totale del materiale e medio degli atomi come 11

Magnetizzazione M • Detto M il momento magnetico totale • Definiamo (l’intensità di) magnetizzazione M come il momento magnetico per unità di volume • Se il momento magnetico del materiale non è uniforme, bisogna usare la definizione differenziale • Dimensioni • Unità 12

Momento magnetico orbitale dell’elettrone • Per semplicità usiamo un modello classico per rappresentare il moto di un elettrone in un atomo • L’elettrone percorrerà un’orbita circolare di raggio R e area A in un tempo T, moto che produce una corrente • e un momento magnetico orbitale • Tale momento è dell’ordine di grandezza di un magnetone di Bohr 13

Momento magnetico orbitale dell’elettrone • Introducendo il momento angolare orbitale l il momento magnetico è • morb risulta opposto in verso a l, a causa della carica negativa dell’elettrone • Tale calcolo è classico, non quantistico, ma il risultato è corretto 14

Momento magnetico intrinseco dell’elettrone • Oltre al momento angolare orbitale l, l’elettrone possiede un MA intrinseco s (o spin) indipendente dal moto orbitale • Tale momento non è descrivibile classicamente, ma solo quantisticamente • Per visualizzare il fenomeno si immagina l’elettrone come una sfera che ruota su se stessa • Essendo l’elettrone carico, in tal modo si “giustifica” la comparsa del momento magnetico intrinseco 15

Teorema di Larmor • Non lo dimostreremo rigorosamente (bisognerebbe usare la meccanica quantistica) • Se si immerge il materiale in un campo B, si genera una fem indotta che accelera o decelera gli elettroni atomici • La velocità angolare orbitale degli elettroni (w 0 in assenza di campo) cambia per una quantità (precessione di Larmor) 16

Dimostrazione classica • Consideriamo un modello classico molto semplice: un elettrone che percorre un’orbita circolare nel campo coulombiano del nucleo in assenza di campo magnetico • L’eq. del moto e` • Da cui si ricava la velocita` angolare • Il segno indica i due possibili versi di rivoluzione • Se ora accendiamo il campo, avremo una variazione di velocità e anche la comparsa di una forza di Lorentz • e l’eq. del moto diventa 17

Dimostrazione classica • Affinche’ l’eq. sia soddisfatta occorre che la velocita` angolare soddisfi l’equazione di 2 o grado • ove si e` definita la frequenza di Larmor • L’eq. ha le soluzioni B B w 0 w. L r w. L v r FL FL v w 0 18

Dimostrazione classica B • La soluzione corrisponde ad un aumento del modulo della velocita` angolare • La soluzione corrisponde ad una diminuzione del modulo della velocita` angolare v • In entrambi i casi compare una velocita` angolare aggiuntiva, equiversa al campo w 0 w. L r FL v B w. L r FL w 0 19

Momento indotto • Per un elettrone immerso in un campo B, la precessione di Larmor è associabile ad una corrente elettronica aggiuntiva (positiva o negativa) rispetto a quella dovuta al moto in assenza di campo • ed a un momento magnetico, il cui modulo e` • e il cui verso e` opposto al campo e quindi e` sempre 20

Diamagnetismo • Queste correnti elettroniche orbitali aggiuntive, sono dette correnti di magnetizzazione o amperiane • N. B. Le correnti elettroniche non comportano alcun effetto Joule • Queste correnti sono distribuite nel volume e sulla supeficie del materiale • Questo fenomeno è detto diamagnetismo ed è comune a tutti i materiali • Non dipende da T • È evidente nelle sostanze prive di momenti magnetici atomici permanenti 21

Campo magnetico totale • I momenti indotti generano un campo induzione magnetica che va a diminuire il campo esterno B 0, poiché essi sono sempre opposti a quest’ultimo • Questo fatto si puo` esprimere dicendo che la suscettivita` magnetica di una sostanza diamagnetica e` negativa (ovvero mr <1) • E quindi il campo risultante e` minore del campo in assenza di materia 22

Momento permanente • Per atomi dotati di momento magnetico permanente, avviene il fenomeno di orientamento del momento lungo la direzione del campo esterno (magnetizzazione per orientamento) • All’azione orientatrice del campo si oppone l’agitazione termica che tende a disorientare gli atomi in tutte le direzioni • All’equilibrio termico, gli atomi disposti nel verso del campo sono un po’ più numerosi degli altri • Questo fenomeno è detto paramagnetismo 23

Campo magnetico totale • In questo caso il campo induzione magnetica generato dal materiale va ad aumentare il campo esterno B 0 • Questo si puo` esprimere dicendo che la suscettivita` magnetica di una sostanza paramagnetica e` positiva (ovvero mr >1) • E quindi il campo risultante e` maggiore del campo in assenza di materia 24

Paramagnetismo • Il paramagnetismo è dovuto ai dipoli magnetici atomici, prodotti dalle correnti elettroniche orbitali e di spin (correnti amperiane) • Anche nelle sostanze paramagnetiche è presente il diamagnetismo • Questo, però, è più che compensato dal paramagnetismo dovuto ai momenti magnetici atomici permanenti 25

Confronto fra energia magnetica e termica • L’analisi statistica dell’orientamento dei momenti molecolari si basa sul confronto tra la differenza di energia tra i due stati estremi in cui i dipoli possono trovarsi • e l’energia termica media • A temperatura ambiente l’energia magnetica è piccola rispetto all’energia termica e per conseguenza il numero di dipoli orientati nel verso del campo sarà solo di poco superiore a quello di dipoli orientati in verso opposto • Quindi la variazione di campo induzione magnetica dovuta al paramagnetismo è generalmente piccola • Per aumentarla è necessario andare a basse temperature 26

Confronto fra energia magnetica e termica • Energia magnetica del dipolo è dell’ordine di • Il valore tipico del momento di dipolo magnetico è • In un campo intenso (1 T) otteniamo 27

Confronto fra energia magnetica e termica • Energia termica di un atomo è dell’ordine di • A temperatura ambiente (300 K) otteniamo • Cioè più di due ordini di grandezza maggiore dell’energia magnetica • Forti magnetizzazioni sono possibili solo a basse temperature 28

Paramagnetismo • In campi deboli M è proporzionale al campo e inversamente proporzionale a T (legge di Curie) • In campi molto forti M tende al valore di saturazione Ms (indipendente dal campo) Magnetizzazione in funzione del campo B 0 esterno M Ms B 0 29

Diamagnetismo Paramagnetismo 30

Ferromagnetismo • È presente in un numero limitato di elementi (o loro leghe): ferro, cobalto, nichel, gadolinio, disprosio • È dovuto all’allineamento dei momenti magnetici atomici • Un debole campo B 0 esterno è capace di produrre un altro grado di allineamento dei momenti magnetici atomici • Il campo B indotto può essere migliaia di volte più forte di quello esterno • Questo allineamento può persistere anche dopo che è stato soppresso il campo esterno: magnetizzazione residua 31

Ferromagnetismo • Il materiale è costituito da un insieme di domini (domini di Weiss) al cui interno i dipoli si allineano parallelamente fra loro lungo una direzione preferenziale • La direzione dei domini varia invece da dominio • Sotto l’influenza del campo esterno alcuni dipoli al confine tra domini cambiano orientamento, aumentando l’estensione dei domini allineati al campo a spese di quelli non allineati • Esiste una temperatura critica al di sopra della quale l’agitazione termica è abbastanza grande da sopprimere questo allineamento: temperatura di Curie (per il ferro vale 1043 K) • Sopra tale temperatura le sostanze diventano paramagnetiche 32

Domini di Weiss • Magnetic domains (Weiss domains) in a piece of ferromagnetic material, revealed in a Kerr micrograph. The metal is composed of microcrystalline grains. The magnetic domains are the red and green stripes within each grain. Due to its magnetic anisotropy, the crystal lattice of each grain has an "easy" preferential direction of magnetization, so the domains within each grain are oriented parallel to this easy axis. The magnetization of red and green domains is in opposite directions parallel to the long axis of the domain. Tratto da http: //en. wikipedia. org/wiki/File: Weiss-Bezirke 1. png 33

Ferromagnetismo • Prendiamo ferro ricotto, con M=0 e aumentiamo il campo B esterno partendo da 0 (punto O) • L’appiattimento della curva vicino ad A indica che M tende ad un valore di saturazione Ms M Ms A O B 0 34

Ferromagnetismo • Se ora diminuiamo B 0 e lo portiamo a 0, M non ritorna a 0 • La variazione dei domini di Weiss non è completamente reversibile • Il valore di M quando B 0 è detto magnetizzazione residua Mr ed è il principio fisico del magnete permanente • Se si diminuisce ancora B 0 (valori negativi), M diminuisce e si annulla nel punto C per un valore del campo Bc detto campo di coercizione M Mr Ms A C O Bc B 0 35

Ferromagnetismo • Diminuendo B 0 ulteriormente si arriva alla saturazione nel verso opposto (punto D) • Se ora aumentiamo il campo, M non seguirà la curva già percorsa ACD, ma ne percorrerà un’altra DC’A formando complessivamente un ciclo, il ciclo di isteresi • M dipende quindi dalla storia precedente della sostanza e non è legata a B 0 da una relazione semplice M A C C’ O B 0 D -Ms 36

Ferromagnetismo • L’area racchiusa dal ciclo di isteresi è proporzionale all’energia dissipata nella trasformazione irreversibile magnetizzazione/smagnetizzazione • Materiali dolci – l’area del ciclo (e la perdita di energia) è piccola, M residua è piccola – Questi materiali sono usati per i nuclei dei trasformatori per evitare di avere grandi perdite di energia quando B varia alternativamente • Materiali duri – la perdita del ciclo è grande, M residua è grande – Questi materiali sono usati per costruire magneti permanenti 37

Circuitazione di M • Si puo` dimostrare che la circuitazione di M è uguale alle correnti di magnetizzazione del materiale • Ed in forma differenziale 38

Circuitazione di M • Questa relazione ci permette di estendere la legge di Ampère in presenza di materia • A tal fine riscriviamo tale legge inserendo oltre alle correnti circolanti nei conduttori elettrici, che generano il campo B 0, anche le correnti di magnetizzazione che generano il campo Bmag : in totale otterremo il campo B • ovvero: 39

Circuitazione di M • Data l’arbitrarieta` della linea di circuitazione ne segue • E poiche’ • Abbiamo e anche • Dall’equazione • si deduce la forma differenziale: 40

Campo H • Dall’equazione: • dividendo entrambi i membri per m 0 e sostituendo la relazione tra M e Jmag : • Otteniamo • Introducendo il vettore campo magnetico • si ottiene l’eq. • Cioè il rotore di H dipende solo dalle correnti di conduzione e non da quelle di magnetizzazione 41

Campo B nella materia • Nelle sostanze paramagnetiche e ferromagnetiche M ha lo stesso verso di B 0 • In quelle diamagnetiche ha verso opposto • Nelle sostanze para- e dia- M è proporzionale a B 0 (se questo è abbastanza piccolo) • Dove c è la suscettività magnetica 42

Campo B nella materia • Diamagnetismo: mr < 1 – c è una piccola costante negativa indipendente dalla temperatura • Paramagnetismo: mr > 1 – c è una piccola costante positiva che dipende dalla temperatura • Ferromagnetismo: mr >> 1 – c è una funzione di B 0 che dipende dalla temperatura e dallo stato precedente di magnetizzazione. Assume valori molto elevati (103 -104) – Formalmente si può scrivere anche in questo caso 43

Campo B nella materia • Il campo B all’interno della materia risulta proporzionale al campo nel vuoto tramite la permeabilità magnetica relativa • L’equazione è simile a quella per il campo E nella materia 44

Relazioni tra B, M e H • Eliminando M dalle relazioni • Otteniamo • cioè 45

Campi nella materia • Come nel caso elettrico è stato introdotto il campo ausiliario spostamento elettrico D • così nel caso magnetico abbiamo introdotto il campo ausiliario magnetico H • Questi campi non servono nel vuoto, ma sono utili nello studio delle proprietà e. m. della materia 46

Eqq. di Maxwell nella materia • Le equazioni di Maxwell si riscrivono così • Ove per carica deve intendersi solo quella libera sui conduttori e non quella di polarizzazione • e per corrente deve intendersi solo quella circolante nei circuiti elettrici e non quella di magnetizzazione • A queste vanno aggiunte le relazioni tra campi 47

Eqq. di Maxwell nella materia • Nella materia le equazioni assumono la forma • In un dielettrico le ultime due equazioni divengono 48

Eqq. di Maxwell nella materia • Sostituendo le espressioni per D e H (supposto il dielettrico omogeneo e isotropo) • otteniamo 49

Eqq. di Maxwell nella materia • Quindi otteniamo esattamente le stesse equazioni trovate nel vuoto, con la sola differenza che la costante nell’ultima equazione invece che ora è • Per un dielettrico trasparente, ripetendo la derivazione delle onde e. m. , troviamo l’equazione 50

Eqq. di Maxwell nella materia • La velocità delle onde nel dielettrico è quindi • Quindi la teoria di Maxwell predice che l’indice di rifrazione di un dielettrico è uguale a 51

Eqq. di Maxwell nella materia • Per i dielettrici • Ma il confronto tra indice di rifrazione e costante dielettrica relativa dà materiale n er acqua 1. 334 80 etanolo 1. 365 25 • La discrepanza è dovuta al fatto che la costante dielettrica dipende dalla frequenza dell’onda: il valore riportato è relativo al caso statico, non al campo elettrico di frequenza ottica 52