Camminimi tra tutte le coppie 1 Camminimi tra

Camminimi tra tutte le coppie 1

Camminimi tra tutte le coppie Dato un grafo (orientato o non orientato) G = (V, E) con funzione di peso w: E R, trovare per ogni coppia di vertici u, v V il minimo peso di un cammino da u a v. Verrà calcolata anche una matrice di predecessori ( uv) dove uv è NIL se u=v o se non c’è un cammino da u a v, altrimenti è un predecessore di v su di un cammino minimo da u. Il sottografo indotto dall’i-esima riga della matrice sarà un albero di camminimi con radice in i. 2

Algoritmo di Floyd-Warshall E’ un algoritmo di programmazione dinamica, può gestire archi di peso negativo ma si assume che non ci siano cicli negativi. Idea: ds, t(i): cammino minimo da s a t contenente solo i vertici intermedi v 1, . . . , vi ds, t(0) = w(s, t) 3

Algoritmo di Floyd-Warshall: idea ds, t(i): cammino minimo da s a t contenente solo i vertici intermedi v 1, . . . , vi ds, t(0) = w(s, t) ds, t(k) = w(s, t) if k = 0 min{ds, t(k-1), ds, k(k-1) + dk, t(k-1)} if k > 0 4

Algoritmo di Floyd-Warshall(W) 1 n=rows[W] 2 D(0)=W 3 for k = 1 to n do 2 for i = 1 to n do 3 for j = 1 to n do 4 dij(k) = min(dij(k-1), dik(k-1) + dkj(k-1)) 5 return D(n) 5

Algoritmo di Floyd-Warshall: esempio W 3 2 7 1 1 5 6 0 3 8 2 -4 4 -5 4 2 3 0 4 8 1 -4 7 6 0 0 -5 0 6

Algoritmo di Floyd-Warshall: esempio (0) D(0) 0 2 3 0 4 8 1 -4 7 1 3 6 0 0 -5 0 1 2 4 5 7

Algoritmo di Floyd-Warshall: esempio (1) D(1) 0 8 2 3 0 4 5 1 0 -5 0 6 -4 7 1 -2 3 1 0 1 2 4 4 1 2 1 5 8

Algoritmo di Floyd-Warshall: esempio (2) D(2) 0 8 2 3 0 4 5 4 1 0 5 -5 0 6 -4 7 11 -2 0 4 1 1 3 1 4 2 2 2 1 5 9

Algoritmo di Floyd-Warshall: esempio (3) D(3) 0 8 2 3 0 4 -1 4 1 0 5 -5 0 6 -4 7 11 -2 0 4 1 1 3 3 4 2 2 2 1 5 10

Algoritmo di Floyd-Warshall: esempio (4) D(4) 0 3 7 2 3 0 4 -1 -1 -4 0 -5 4 1 5 0 -4 -1 3 -2 1 4 4 4 3 3 4 8 5 1 6 0 4 3 4 2 2 2 1 1 5 11

Algoritmo di Floyd-Warshall: esempio (5) D(5) 0 3 7 2 3 0 4 -1 -3 -4 0 -5 2 1 5 0 -4 -1 3 -2 1 4 4 4 3 3 4 8 5 1 6 0 4 3 4 5 2 2 1 1 5 12

Algoritmo di Floyd-Warshall: complessità Determinata dei tre cicli for. Ogni esecuzione dell’istruzione interna è O(1), quindi: T(V, E) = (n 3) = (V 3) 13