Caminhamento em Grafos Busca em Largura e Busca

Caminhamento em Grafos: Busca em Largura e Busca em Profundidade Estruturas Discretas

Busca em Largura BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s) 3 mark vertex s as visited while S is not empty do 4 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then if v is unexplored then 7 8 mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Notação • Adj[u] : lista dos vértices adjacentes a u em alguma ordem • Dequeue(S): Remove o primeiro elemento da fila S • Enqueue (S, v) : Adiciona o nó v na fila S Estruturas Discretas

Exemplo S 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 1 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 4 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 45 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 452 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 52 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 52 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 52 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 2 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 6 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 3 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 3 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Exemplo S 7 3 4 1 BFS(G) 2 1 for every vertex s of G not explored yet 2 do Enqueue(S, s); 3 4 5 6 7 8 mark vertex s as visited while S is not empty do 7 5 6 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then mark edge (v, u) as tree edge 9 10 mark vertex v as visited Enqueue(S, v) Estruturas Discretas

Distâncias da origem aos demais vértices BFS(G) 1 2 For each v do d[v] infinito 3 mark vertex s as visited while S is not empty do 4 5 6 7 8 9 (inicia o vetor d) Enqueue(S, s) ; d[s] 0 u ← Dequeue(S); For each v in Adj[u] then if v is unexplored then d[v] d[u]+1 10 11 (atualiza o valor de d[v]) mark edge (v, u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S, v) • Assumimos que o grafo é conexo • Ao término da execução d[v] guarda a distância entre a origem s e o vértice v Estruturas Discretas

Propriedades da Busca em Largura Teorema: A BFS visita os vértices em ordem crescente de distâncias L 0 L 4 L 1 L 3 L 2 Teorema: Para toda aresta (v, w) em G tal que v Li e w Lj, |i – j| ≤ 1. Estruturas Discretas

Busca em Profundidade DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) 1 2 DFS-Visit(G, v) 6 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) 3 Se w não visitado então 4 Insira aresta (v, w) na árvore 5 DFS-Visit(G, w) Estruturas Discretas 3 4 7 5

Busca em Profundidade : Exemplo DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) 1 2 DFS-Visit(G, v) 6 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) 3 Se w não visitado então 4 Insira aresta (v, w) na árvore 5 DFS-Visit(G, w) Estruturas Discretas 3 4 7 5

Busca em Profundidade : Exemplo DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) 1 2 DFS-Visit(G, v) 6 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) 3 Se w não visitado então 4 Insira aresta (v, w) na árvore 5 DFS-Visit(G, w) Estruturas Discretas 3 4 7 5

Busca em Profundidade : Exemplo DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) 1 2 DFS-Visit(G, v) 6 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) 3 Se w não visitado então 4 Insira aresta (v, w) na árvore 5 DFS-Visit(G, w) Estruturas Discretas 3 4 7 5

Busca em Profundidade : Exemplo DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) 1 2 DFS-Visit(G, v) 6 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) 3 Se w não visitado então 4 Insira aresta (v, w) na árvore 5 DFS-Visit(G, w) Estruturas Discretas 3 4 7 5

Busca em Profundidade : Exemplo DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) 1 2 DFS-Visit(G, v) 6 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) 3 Se w não visitado então 4 Insira aresta (v, w) na árvore 5 DFS-Visit(G, w) Estruturas Discretas 3 4 7 5

Busca em Profundidade : Exemplo DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) 1 2 DFS-Visit(G, v) 6 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) 3 Se w não visitado então 4 Insira aresta (v, w) na árvore 5 DFS-Visit(G, w) Estruturas Discretas 3 4 7 5

Busca em Profundidade : Exemplo DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) 1 2 DFS-Visit(G, v) 6 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) 3 Se w não visitado então 4 Insira aresta (v, w) na árvore 5 DFS-Visit(G, w) Estruturas Discretas 3 4 7 5

Busca em Profundidade : Exemplo DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) 1 2 DFS-Visit(G, v) 6 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) 3 Se w não visitado então 4 Insira aresta (v, w) na árvore 5 DFS-Visit(G, w) Estruturas Discretas 3 4 7 5

Aplicações: Determinar as Componentes Conexas Vetor Componente(v) • Armazena um número inteiro correspondente a componente conexa aonde v se encontra Estruturas Discretas

Aplicações: Determinar as Componentes Conexas COMPONENTES (G) 1 2 num =1 3 4 5 Para todo v em G Se v não visitado então componrnte(v) num DFS_visit(v, num) 6 num ++ DFS_Visit(v, num) 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) 3 Se w não visitado então 4 DFS_Visit(w, num) 5 Estruturas Discretas componente(w) num

Aplicações: Determinar se um grafo é bipartido ■ G = (V, E) = (X, Y, E) ■X Y = V ■X Y = ■{u, w} E então u X e w Y ■ Exemplos ■professores e horários ■candidatos e postos ■masculino e feminino Estruturas Discretas A D B E C F

Aplicações: Determinar se um grafo é bipartido BIPARTITE (G) 1 2 3 4 Bipartite true Para todo v em G Se v não visitado então DFS_Visit(v, 0) DFS_Visit(v, p) 1 Marque v como visitado 2 partição(v) p 3 Para todo w em Adj(v) 4 Se w não visitado então 5 DFS_Visit (w, 1– p ) 6 Senão 7 Se partição(w)=p 8 Bipartite false Estruturas Discretas A D B E C F Estrutura de Dados Partição: vetor de |V| posições • Partição(u) armazena 0 ou 1, dependendo da partição em que o vértice u se encontra

DFS: Estrutura de Dados cor • cor(u)=branco, u não foi visitado • cor(u)=cinza, u já foi visitado mas seus vizinhos ainda não • cor(u)=preto, u e seus vizinhos já foram visitados • (u) = v se e somente se u é visitado quando a lista dos vizinhos de v é percorrida d • d(u) marca o momento em que u é visitado f • f(u) marca o momento em que a DFS a partir de u termina (u se torna preto) Estruturas Discretas

Busca em Profundidade DFS(G) 1 for every vertex u of G 2 cor[u] white; [u] NIL 3 time 0 4 for every vertex v of G 5 if cor[v]=BRANCO then 6 DFS-Visit(u) 1 cor[u] CINZA 2 time+1 3 d[u] time 4 for each v in Adj[u] 5 if cor[v]=BRANCO then 6 [v] u; 7 DFS-Visit[u] 8 cor[u] NEGRO 9 time+1 10 f[u] time+1 Estruturas Discretas

Busca em Profundidade Estruturas Discretas

Propriedades da DFS Teorema 1: Seja T a árvore produzida por uma DFS em G e seja vw uma aresta de G. Se v é visitado antes de w então v é ancestral de w em T. Estruturas Discretas

Propriedades da DFS Teorema 2: Sejam u e v dois vértices de G tal que u é visitado antes de v. Então uma das duas possibilidades ocorre • d(u) < d(v) < f(u) • d(u) < f(u) <d(v) < f(v) Estruturas Discretas

Propriedades da DFS Teorema 3: Um nó v é descendente de um nó u em uma busca em profundidade se e somente se existe um caminho de u até v que utilize apenas nós com cor branca no momento que u se torna cinza => Se existe o caminho branco podemos argumentar por indução no tamanho do caminho. Seja w o primeiro vértice do caminho ‘branco’ que liga u a v que é visitado durante DFS(u). Este w tem que existir já que o sucessor de u no caminho é visitado durante a DFS(u) pela Teorema 1. Segue que w é descendente de u e v é descendente de w pela hipótese de indução. <= Se não existe caminho branco então DFS(u) não alcança v Estruturas Discretas

Classificação de arcos em um dígrafo 1. Arco de Árvore: (u, v) é do tipo ‘A’ se v é visitado pela primeira vez quando a lista Adj[u] é percorrida 2. Arco Reverso: (u, v) é do tipo ‘R’ se v é ancestral de u na árvore gerada pela DFS 3. Arco Direto: (u, v) é do tipo ‘D’ se v é descendente de u na árvore gerada pela DFS e (u, v) não é do tipo ‘A’ 4. Arco Cruzado: Demais arcos Estruturas Discretas

Propriedades da DFS Estruturas Discretas

Testando se um grafo direcionado contem ciclos Teorema: O grafo G é cíclico se e somente se a execução de uma DFS em G produz um arco reverso. Prova Seja C um ciclo em G e seja u o primeiro nó de C visitado pela DFS. Seja v o predecessor de C no ciclo. Portanto, v é descendente de u (caminhos brancos) e o arco (u, v) é reverso. Seja (u, v) um arco reverso. Portanto, v é descendente de u. Logo, existe um caminho de v para u em G. Adicionando (u, v) a este caminho obtemos um ciclo Estruturas Discretas

Testando se um grafo direcionado contem ciclos DFS(G) 1 for every vertex v of G 2 do set d[v] 0, f[v] 0 3 Time 1; Aciclico true 4 for every vertex v of G 5 if d[v] =0 then 6 DFS(G, v) 7 Return Aciclico DFS_Visit (v) 1 d[v] time ; time ++ 2 For every w in Adj(v) 3 if d[w]=0 then 4 DFS_Visit (w) 5 Else if f[w]=0 then 6 Aciclico false 7 f[v] time; time ++ Estruturas Discretas ( ‘arco reverso’)