CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI
CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI.
Argomenti della lezione è Cambiamento di variabili per integrali doppi e tripli è Applicazioni al calcolo di aree, volumi, baricentri, momenti
CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI.
Il teorema sul cambiamento di variabili negli integrali multipli, in particolare doppi e tripli, è uno dei teoremi più sofisticati del Calcolo. Noi ci limiteremo ad enunciarlo e a mostrarne l’applicazione nei casi più comuni
Abbiamo già introdotto la nozione di funzione localmente invertibile. Ripetiamo e precisiamo meglio questa nozione Abbiamo affermato che se f : A Rm, A aperto, è di classe C 1(A), e se det J(xf)(x 0) ≠ 0 allora f è localmente invertibile; cioè esistono intorni aperti U di x 0 e V di y 0 = f(x 0) tra i quali f è biiettiva; dunque f(U) = V
Sappiamo che se una trasformazione è regolare, essa ha il determinate jacobiano non nullo in ogni punto del dominio e quindi f(A) è aperto anche se f non è necessariamente iniettiva su A. Una siffatta f è adatta a definire un cambiamento di variabili. Si può dimostrare poi che i punti singolari non costituiscono un insieme molto “pesante” (ha misura nulla secondo Lebesgue: Teorema di Sard)
Inoltre l’inversa locale tra gli intorni aperti V e U è di classe C 1(V), e la sua matrice jacobiana è l’inversa della matrice jacobiana di f. Con queste precisazioni, possiamo enunciare il teorema sul cambiamento di variabili negli integrali multipli
Teorema (cambiamento di variabili ) Sia h : U Rm V Rm, U, V aperti, regolare e di classe C 1(U), sia E U un compatto PJ-misurabile e f: h(E) R integrabile. Allora è integrabile f • h su E e si ha
ò f (y)dy = ò f (h(x))| det h¢(x) | dx h(E) E Per brevità di notazione abbiamo indicato y=h(x), e scritto h’(x) al posto della matrice jacobiana. È chiaro che questa trasformazione di coordinate è conveniente se l’integrazione su E è più agevole di quella su h(E); per esempio E è un rettangolo e la nuova funzione da integrare non è troppo complicata
Esempio: Si voglia calcolare òòE (x + y)dxdy con E = {(x, y): 0<x≤y≤ 2 x, 1≤xy≤ 2} Posto u= x y e v = y/x , la Trasformazione h così individuata manda l’insieme E del piano xy
nel rettangolo J= [1, 2] del piano uv. La trasformazione inversa di h è ì u x= ï g(u, v) : í v ïy î = u ×v che ha determinate jacobiano det g’(u, v) = 1/2 v > 0
Dunque òòE (x + y)dxdy u 1 = òò ( uv ) dudv + J v 2 v A conti fatti si trova 1/3 (4 - 2). Il dominio è divenuto un rettangolo e la funzione non si è troppo complicata
A parte i cambiamenti di variabili che possono essere suggeriti dalla natura del problema (tipo di dominio o particolarità della funzione), come abbiamo visto nell’esempio precedente, i tipi di trasformazioni di coordinate più comuni, sono quelli che già abbiamo introdotto in una lezione precedente: il cambiamento di coordinate polari o (polari ellittiche) nel piano; il
cambiamento di coordinate cilindriche (o cilindrico ellittiche) e il cambiamento di coordinate sferiche (o ellissoidali) nello spazio. Precisamente
COORDINATE POLARI Sono le coordinate così individuate ì x = r cos J í r ³ 0, 0 £ J < 2 p ïîy = r sen J Sappiamo che questa trasformazione ha un solo punto singolare: l’origine (0, 0)T
Infatti il determinante jacobiano è det J(x y) = La trasformazione è biiettiva tra R 2(0, 0)T, e {( , ): >0, 0 < < 2π} Cioè vi è corrispondenza biunivoca tra tutto il piano x y privato dell’origine e una striscia infinita nel piano . Se indichiamo con h-1(x, y) la trasformazione che a ,
fa corrispondere x, y abbiamo òòE f (x, y)dxdy = = òò f (r cos J , r sen. J )r drd. J h-1 (E) Se il dominio E è un’ellisse o parte di essa di semiassi a e b, è conveniente usare le coordinate polari ellittiche x = a cos , y = b sen . Il determinante Jacobiano è a b
Mostriamo come ciò sia utile nel calcolo dell’area di un ellisse o del volume di un ellissoide Sia E = {(x, y): x 2/a 2 + y 2/b 2 = 1} m(E) = òò dxdy = òò abrdrd. J E h (E) -1 Si trova facilmente m(E) = πab
Calcolo del volume di un ellissoide E = {(x, y): x 2/a 2 + y 2/b 2 + z 2/c 2 = 1} Si trova, dopo qualche calcolo non difficile, m(E) = (4/3)π abc Ricordiamo che il calcolo in coordinate cartesiane presentava invece qualche difficoltà
COORDINATE CILINDRICHE Sono le coordinate così individuate ì x = r cos J ï íy = r sen J ïz = u 0, 0 £ J < 2 p , u Î R r ³ î Il determinante jacobiano di questa trasformazione è . L’asse z è fatto di punti singolari
La trasformazione è biunivoca tra l’aperto da R 3{asse z} dello spazio x y z e l’aperto > 0, 0 < < 2π, u R, dello spazio u. Si può combinare questa trasformazione con quella delle coordinate ellittiche
COORDINATE SFERICHE Sono le coordinate così descritte ì x = r sen j cos J ï íy = r sen j cos J ïz cos = r j î r ³ 0, 0 £ j £ p, 0 £ J < 2 p
Il determinante jacobiano di questa trasformazione è 2 sen . L’asse z è fatto tutto di punti singolari. La trasformazione è biunivoca tra l’aperto da R 3{semipiano x z, con x≤ 0} dello spazio x y z e l’aperto r> 0, 0 < < π, 0 < < 2π, dello spazio . Si può combinare questa trasformazione con quella delle coordinate ellittiche
Mostriamo come ciò sia facilissimo con questa trasformazione calcolare il volume dell’ellissoide E = {(x, y): x 2/a 2 + y 2/b 2 + z 2/c 2 = 1} 1 p 2 p 0 0 dxdydz òòò = abc ò r dr ò sen jd j ò d. J E 0 2 Si trova facilmente, come noto, (4/3)π abc
APPLICAZIONI AL CALCOLO DI AREE, VOLUMI, BARICENTRI, MOMENTI
Già abbiamo applicato le trasformazioni di coordinate per calcolare alcune aree e volumi notevoli. Vogliamo ora presentare alcuni ulteriori esempi
Si calcolino i seguenti integrali doppi 1) Calcolare òò E x + y dxdy 2 2 dove E è la semicorona circolare con y ≥ 0 compresa tra i cerchi di raggi 2 e 3 e centro nell’origine
2) Calcolare y òòE arctg x dxdy dove E è la parte di piano compresa fra la spirale d’Archimede d’equazione = 2 , per 0≤ ≤ π, e l’asse x.
3) Calcolare òòE (x + y )dxdy 2 2 dove E è la parte di piano compresa fra l’asse x, la circonferenza di raggio 1 e centro l’origine e la circonferenza di raggio 1 e centro in (1, 0)T
Si calcolino i seguenti volumi 1) Volume della porzione di semisfera per z ≥ 0, che si proietta Sul piano x y sulla circonferenza di diametro r e centro in (r/2, 0)T 2) Volume della porzione di cilindro circolare d’equazione z = √ 1 -x 2 , che si proietta sul piano x y sul triangolo rettangolo di vertici (0, 0)T, (1, 0)T, (0, 1)T
3) Volume della porzione di superficie paraboloidica d’equazione 2 p z = x 2 + y 2 che si proietta sul piano x y in un cerchio con centro nell’origine a raggio r
BARICENTRI Il baricentro d’una lamina piana E è dato dal punto di coordinate x= òòE xdxdy m(E) , y= òò ydxdy E m(E)
Si calcolino i seguenti baricentri 1) Di un triangolo rettangolo 2) Di un settore circolare 3) Di una semiellissi 4) Di un segmento di parabola
MOMENTI D’INERZIA Il momento d’inerzia di un solido di densità unitaria rispetto a un asse assunto come asse z, solido che occupa la regione dello spazio E, è dato da M = òòò (x + y )dxdydz 2 E 2
Si calcolino i seguenti momenti d’inerzia 1) Di un parallelepipedo rettangolo, rispetto ad uno spigolo 2) Di un cilindro rotondo, rispetto all’asse 3) Di un ellissoide, rispetto ad un asse
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