CALCULO DE ESTRUCTURAS y CONSTRUCCIN Jess Moiss Castro

CALCULO DE ESTRUCTURAS y CONSTRUCCIÓN Jesús Moisés Castro Iglesias E. U. E. T. E. F – Pontevedra 2011

CAPITULO I : • Tensiones Principales

Lección 2 : • 2. 1 Componentes de un Vector. Cosenos directores. • 2. 2 Componentes del Vector Tensión • 2. 3 Expresión matricial le las componentes del Vector • 2. 4 Estado tensional de un punto • 2. 5 Teorema de Reciprocidad de las tensiones tangenciales. • 2. 6 Definición de las Tensiones Principales. Direcciones Principales. • 2. 7 Cálculo Matricial. Ecuación característica. • 2. 8 Ejemplos

Componentes de un vector Z V = Vx + Vy + Vz Vz Vx = V· cos a = V· a V Vy = V· cos b = V · b g b Vy Y a Vx Vz = V· cos g = V · g X

Componentes del vector tensión k s=sx+sy +sz sz sx=s·a s sy=s·b g a b sy sx dz sz=s·g i dx dy u=a·i+b·j +g·k 1=a 2+b 2+g 2 j

Componentes de un vector en expresión matricial a 0 0 u = 0 b 0 0 0 g sx 0 s = i * j k 0 0 sy 0 0 0 sz i * j k

Estado tensional de un punto z snz tzy snx t xz dz tyz txy sny dx y tzx tyx txy dy snx x

Estado tensional de un punto: Fuerzas Cálculo de esfuerzos en “Z”: dy·dx·s nz z snz tzy tzx txy t xz tyz snx txy t xz sny snx x tyx dy·dz·t xz dx·dz·t yz y S Fx = 0 dy·dz·s nx +dx·dz·t yx +dy·dx·t zx = dy·dz·s nx +dx·dz·t yx +dy·dx·t S Fy = 0 zx dy·dz·t S Fz = 0 dy·dz·t xy +dx·dz·s xz +dx·dz·t ny yz +dy·dx·t + dy·dx·s zy = dy·dz·t xy +dx·dz·s ny +dy·dx·t zy nz= dy·dz·t xz +dx·dz·t yz + dy·dx·s nz

Estado tensional de un punto: Momentos Los términos se anulan dos a dos: Mxz =(dy·dx·s nz )·dy· 1/2 - (dy·dx·s nz )·dy· 1/2 z snz tzy Myz =(dy·dx·s nz )·dx· 1/2 - (dy·dx·s nz )·dx· 1/2 tzx txy snx t xz y dz t xz tyz txy snx x Salvo tyx dy dx snz S Mx = 0 => (dx·dz·t yz )·dy – (dy·dx·t zy)·dz = 0 S My = 0 => (dy·dx·t zx )·dz – (dy·dz·t xz )·dz = 0 S Mz = 0 => (dx·dz·t xx )·dy – (dy·dz·t xy)·dx = 0 Teorema de la reciprocidad de las Tensiones Tangenciales

Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales tyz tzy = tyz tzx = txz txy = tyx tzy

Vectores tensión en un punto Como resumen Esfuerzos en X, Y, Z: S Fx = 0 => snx dy dz + tzx dx dy + tyx dx dz = X S Fy = 0 => sny dx dz + tzy dy dx + txy dy dz = Y S Fz = 0 => snz dx dy + txz dy dz + tyz dx dz = Z Tomamos momentos respecto al eje Z, Y, X S Mx = 0 => ( tzy dx dy ) dz - ( tyz dx dz ) dy = 0 S My = 0 => ( tzx dy dx ) dz - ( txz dy dz ) dx = 0 S Mz = 0 => ( txy dy dz ) dx - ( tyx dx dz ) dy = 0 Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales

Tensiones principales de un punto z N d. Sx = d. W·a d. Sy = d. W ·b snx t xz y d. W txy x d. Sz = d. W · g

Tensiones principales de un punto z snx t xz N s 1 txy s 2 s 3 y x s = s 1+ s 2 + s 3 s 1 s 2 s 3

Condiciones de equilibrio sx d. W = snx d. W a + tyx d. W b + tzx d. W g sy d. W = txy d. W a + sny d. W b + tzy d. W g sz d. W = txz d. W a + tyz d. W b + snz d. W g sx s = sy = sz [s =[T *[u snx txy t xz a tyx snytyz * tzx tzy snz b g cosenos directores

Matriz de tensiones snx txy t xz T = tyx snytyz tzx tzy snz sx s = sy sz = s=T*u snx txy t xz a tyx snytyz * tzx tzy snz b g cosenos directores

Tensiones y direcciones principales [s =[T *[u Existe un plano cuya tensión es perpendicular a él: 0 = (snx -s )*a + tyx * b + tzx * g 0 = txy * a + (sny - s)*b + tzy * g 0 = txz * a + tyz * b + (snz -s)*g Su determinante es : (snx -s ) txy txz tyx (sny - s) tyz tzx tzy (snz -s) =0 que desarrollado es -s 3 + I 1 s 2 - I 2 s + I 3 = 0

Calculo matricial

Calculo matricial

Tensiones y direcciones principales [s =[T *[u Ecuación característica o secular -s 3 + I 1 s 2 - I 2 s + I 3 = 0 Tensiones principales : son las raíces de la ecuación donde : I 1 = snx + sny + snz I 2 = snxsny+snysnz+snzsnx-t 2 yz-t 2 zx-t 2 xy I 3 = | T |

Tensiones Principales s 1 0 T = 0 0 s 2 0 0 0 s 3 s = s 1. a. i + s 2. b. j + s 3. g. k sn = s. u = s 1. a 2 + s 2. b 2 + s 3. g 2 t 2 = s 2 - s n 2 sn= t = d. FN d. S d. Ft d. S

Tensiones y direcciones principales 0 0 s 2 0 0 s 3 s 1 0 0 s 1 > s 2 > s 3 s 2 Direcciones principales x y = z s 1 0 0 0 s 2 0 0 0 s 3 Elipsoide de Lamé s 3 a b g x = a s 1 => y = b s 2 z=g s 3 => x 2 + y 2 s 12 s 22 2 z + 2 s 3 =1

Unidades utilizadas en Tensiones. • Sistema C. G. S. => dynas/cm 2 = 0, 1 Pa • Sistema Internacional => Newton/m 2 = 1 Pa • Sistema Técnico => 1 Kp/m 2 = 9, 8 Pa • Utilizamos => 1 Kg/cm 2 = 9, 8. 10 4 Pa = 10 4 Kp/m 2

Conclusiones Solicitaciones sobre un prisma mecánico. Componentes Intrínsecas de la Tensión s = d. F d. S sn= d. FN d. S t = d. Ft d. S Matriz de tensiones Tensiones principales Cosenos directores s 1 s 2 s 3 s = s 1. a. i + s 2. b. j + s 3. g. k

Problema Nº 1 En un punto P de un sólido elástico la matriz de tensiones referida al triedro OXYZ es: T = 2 1 0 -1 2 2 3 Calcular en el punto P el vector correspondiente a un plano cuya normal exterior está definida por un vector que forma ángulos iguales de 45º con los ejes X e Y y siendo positivas sus componentes. Indicar si las tensiones principales son de tracción o de compresión.

Problema Nº 1 = T [s = sx sy sz 2 1 1 0 -1 2 2 3 snx txy t xz 0 u = 2 2· i + 2 2 · j + 0 · k a = tyx sny tyz * b tzx tzy snz g 2 = 1 0 2 2 -1 2 * 2 2 2 3 0 s = 3· 2 2· i + 0· j + 2 · k 3· 2 2 = 0 2· 2 2

Problema Nº 1 2 -s 1 0= 1 0 0 -1 -s 2 3 -s 2 s 1 = 4 s 2 = 2, 1 0 = s 3 - 4 s 2 - 4 s +17 s 3 = -2, 1

Problema Nº 1 [T] = s 1 = 4 2 1 0 s = 3· 2 2· i + 0· j + 2 · k 1 0 -1 2 2 3 s = s 1. a. i + s 2. b. j + s 3. g. k s 2 = 2, 1 s 3 = -2, 1 sn = s. u = s 1. a 2 + s 2. b 2 + s 3. g 2 = 4·(2/4) +2, 1· 0 – 2, 1·(1/2) = 1, 95 t 2 = s 2 - sn 2 = 9·(1/4) + (1/2) – (1, 95) 2 t = -1, 05

Problema Nº 2 Las tensiones principales en un punto P de un sólido elástico, referidas a un sistema cartesiano ortogonal OXYZ y expresadas en MPa son: s 1 = 50/3. (2. i + 2. j + k) s 2 = 20. i - 10. j - 20. k s 1 s 2 s 3 = - 20 3. ( i - 2. j + 2. k) Calcular la tensión correspondiente a un plano cuya normal exterior forma ángulos agudos iguales con los semiejes positivos del triedro OXYZ. (u 1 )2= (4 + 1) u 1 = 1/3. (2. i + 2. j + k) (u 2 )2 = (4 + 1 + 4) (u 3 )2 = (1 + 4) (u 1 )2 +(u 2 )2 +(u 3 )2 = u 2 = 1/3·(2. i - 1. j - 2. k) 1 u 3 = 1 3. (- i + 2. j - 2. k)

Problema Nº 2 s 1 = 50/3. (2. i + 2. j + k) s 1 s 2 s 3 s 2 = 20. i - 10. j - 20. k s 3 = - 20 3. ( i - 2. j + 2. k) a 2 + b 2 + g 2 = 1 u 1 = 1/3. (2. i + 2. j + k) a = b = g = 3 -1/2 u 2 = 1/3·(2. i - 1. j - 2. k) u = a · i + b · j + g · k = 3 -1/2· ( i + j + k) u 3 = 1 3. (- i + 2. j - 2. k) a’ = u 1·u = 3 -1/2 · 1/3·(2 + 1) = 5· 33/2 b’ = u 2·u = 3 -1/2 · 1/3·(2 - 1 - 2) = - 3 -3/2 g’ = u 3·u = 3 -1/2 · 1/3·(-1 + 2 - 2) = - 3 -3/2 x = x*a 1 + y*a 2 + z*a 3 y = x*b 1 + y*b 2 + z*b 3 z = x*g 1 + y*g 2 + z*g 3 s 1 0 [s]= 0 0 0 a’ s 2 0 * b’ 0 s 3 g’ = 50 0 30 0 20 * 5· 3 -3/2 - 3 -3/2 = 250· (3 -3/2 )·i - 30· 3 -3/2 ·j- 20· 3 -3/2 ·k -3/2 -3 = 48, 61 MPa