CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PI VARIABILI ESTREMI

CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. ESTREMI VINCOLATI, ESEMPI.

Argomenti della lezione è Estremi vincolati. è Esempi.

ESTREMI VINCOLATI

Abbiamo appreso come calcolare gli estremi liberi di funzioni di più variabili. Spesso tuttavia si debbono cercare i valori massimi o minimi di una funzione quando le variabili non sono libere di muoversi in un aperto A Rm ma sono soggette a vincoli, rappresentati da certe funzioni definite in A.

Per esempio, si cerca la posizione d’equilibrio di una particella soggetta a un campo di forze di potenziale f(x, y) vincolata a stare su una linea piana espressa da g(x, y) = 0. Se l’equazione della linea piana si può esplicitare nella forma y = h(x), x I allora si potrà sostituire nella f(x, y) e cercare il minimo “libero” di F(x) = f(x, h(x)) al variare di in un intervallo I di R.

Sia f : A Rm R una funzione e K Rm un sottoinsieme proprio non vuoto di A. x 0 è punto d’estremo vincolato o condizionato per f su K se x 0 è punto d’estremo per la restrizione di f a K.

Teorema (moltiplicatori di Lagrange ) (m=2) Siano f, g : A R 2 R, A aperto, funzioni di classe C 1(A). Sia (x 0, y 0) punto d’estremo per f ,

sotto il vincolo g(x, y) = 0 e sia g (x 0, y 0) ≠ 0 , allora esiste un numero reale 0, tale che f (x 0, y 0) + 0 g (x 0, y 0) = 0.

Ossia (x 0, y 0, 0) è soluzione del sistema fx(x 0, y 0) + 0 gx(x 0, y 0) = 0 fy(x 0, y 0) + 0 gy(x 0, y 0) = 0 g(x, y) = 0

Teorema (moltiplicatori di Lagrange ) Siano f e g 1, . . , gn : A Rm+n R, A aperto, funzioni di classe C 1(A). Sia (x 10, …, xm 0, y 10, …, yn 0)T punto d’estremo

per f , sotto i vincoli gi(x, y) = 0 , i = 1, . . , n e sia det g 1 g 2. . gn 0 0 J(y y. . y )(x , y ) 1 2 n ≠ 0 , allora esistono n numeri reali i 0, tali che f (x 0, y 0) + ni=1 i 0 gi(x 0, y 0) = 0.

Interpretazione geometrica Sia data la funzione f(x 10, …, xm 0, xm+10, …, xm+n 0) : A Rm+n R e il vincolo K A sia descritto dalle equazioni gi (x 1, …, xm+1, …, xm+n) = 0 i = 1, . . , n , con det g 1 g 2. . gn J(y y. . y )(x 1, …, 1 2 n xm, xm+1, …, xm+n) ≠ 0

Sia xi(t) = hi(t), i= 1, … , m+n una curva regolare, cioè h 12(t)+. . + hm+n 2(t) ≠ 0 , che giace su K, allora Gi(t) =gi(h 1(t), …, hm+n (t)) = 0 i=1, …, n e quindi 0 = G’i(t) = gi , h’(t) Dunque il vettore tangente alla curva h(t) che giace su K è ortogonale ciascuno dei vettori gi.

Se (x 10, …, xm 0, y 10, …, yn 0)T è punto d’estremo vincolato, la condizione f (x 0, y 0) + ni=1 i 0 gi(x 0, y 0) = 0, afferma che anche f (x 0, y 0) è ortogonale al vincolo.

ESEMPI