CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PI VARIABILI 4
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 4.
Argomenti della lezione è Funzioni definite implicitamente. è Invertibilità locale. Cambiamento di variabili.
FUNZIONI DEFINITE IMPLICITAMENTE
Un modo ben noto di rappresentare graficamente una funzione di due variabili z = f(x, y) è quello di tracciarne le linee di livello. Ossia i luoghi dei punti del piano (x, y) che soddisfano la condizione f(x, y) = costante. Si ritiene, in generale, che questi luoghi siano curve piane più o meno “regolari”.
Sono ben noti alcuni esempi: 1) x 2 + y 2 - 2 y = 3 È una circonferenza con centro in (0, 1)T e raggio 2. 2) x 2 + 4 y 2 = -3 È l’insieme vuoto di punti del piano.
3) x 2 + y 2 = 0 È l’insieme contenente solo l’origine del piano. 4) x 2 - y 2 = 0 È l’insieme del piano formato dall’unione delle due rette y = x e y = - x.
5) x 3 - y 2 = 0 È una curva piana non regolare, dotata di una cuspide nell’origine. Possiamo dunque chiederci sotto quali condizioni un’equazione del tipo f(x, y) = costante, possa rappresentare una curva piana. Anzi, almeno localmente, una curva che sia grafico di una funzione.
È chiaro infatti che, in molti casi, una curva piana non sarà grafico di una funzione. La curva data da x 2 + y 2 - 2 y = 3 può essere rappresentata come grafico di due funzioni in cui x è funzione di y: x = g 1(y) = (3 - y 2 + 2 y)1/2 e x = g 2(y) = - (3 - y 2 + 2 y)1/2
Teorema (di U. Dini ) Sia f : A R 2 R, A aperto, C 1(A), sia (x 0, y 0) in A tale che f(x 0, y 0)= 0 e ∂y f (x 0, y 0)≠ 0, allora esiste un rettangolo aperto I J intorno di (x 0, y 0)T tale che f -1(0) (I J) sia il grafico di g : I R R
funzione di classe C 1(I); quindi per ogni x I, f(x, g(x)) = 0. Vale g’(x) = - fx(x, g(x)) _____��. fy(x, g(x)) Il teorema qui enunciato, può essere generalizzato in molti modi. .
Una generalizzazione tra le più semplici: Se f(x 1, x 2, … , xm, z) è di classe C 1( ), se (x 10, x 20, … , xm 0, z 0) in Rm+1 è tale che f(x 10, x 20, … , xm 0, z 0) = 0 e fz(x 10, x 20, … , xm 0, z 0) ≠ 0 allora esistono un intorno U Rm di (x 10, x 20, … , xm 0) e una funzione g : U Rm R che è di classe C 1(U), è tale che f(x 1, x 2, … , xm, g(x)) = 0 per ogni (x 1, x 2, … , xm) U. Le sue derivate sono date da
fk(x, g(x)) _____�� Dk g(x) =. fz(x, g(x)) Un esempio. . . f(x, y, z) = sen(z) + xy 2 + y 3 -8 = 0 nel punto (0, 2, 0)T.
Una proprietà del gradiente. Si supponga che l’equazione f(x, y)= costante definisca una curva di livello dotata di derivate continue in (x 0, y 0). Se x(t), y(t) sono le equazioni parametriche della curva, lungo la curva stessa
F(t) = f(x(t), y(t)) = costante. Perciò F’(t) = 0. Ma F’(t) = f (x(t), y(t)), (x’(t), y’(t))T = 0 Conclusione Il gradiente è ortogonale alle linee di livello di una funzione.
Superficie date in forma implicita in R 3. f(x, y, z)= costante
INVERTIBILITÀ LOCALE
Sia f : A Rm , A aperto, una funzione. Diremo che f è localmente invertibile in x 0 A se esistono un intorno U di x 0 e V di f(x 0) = y 0 tra i quali f è biiettiva. Se f stabilisce una corrispondenza biunivoca tra A e f(A), diremo che f è globalmente invertibile su A.
Se f : A Rm , A aperto, è differenziabile in x 0 A, la matrice m m che rappresenta il suo differenziale è detta anche la derivata o la matrice jacobiana o il jacobiano di f in x 0. f’(x 0) = J( xf)(x 0) = J( f 1, f 2, . . , fm 0 )(x ) x 1, x 2, . . , xm
Teorema (di invertibilità locale ) Se f : A Rm, A aperto, è C 1(A), e det J(xf )(x 0) ≠ 0 allora f è localmente invertibile in x 0 A. L’inversa locale è funzione di classe C 1(f(A)).
Si noti che una funzione può essere localmente invertibile senza esserlo globalmente. La funzione f : R 2 data da u = exp(x) cos y v = exp(x) sen y ha il det. jacobiano det J = exp(2 x) ≠ 0 ed è in ogni punto localmente invertibile tra il piano (x, y) e il piano (u, v). Ma non è invertibile globalmente poiché u e v sono periodiche di periodo 2 .
Omeomorfismi e Diffeomeorfismi. . .
CAMBIAMENTO DI VARIABILI
Un’applicazione f : A Rm, A aperto, si dice regolare se è di classe C 1(A) e se det f J(x )(x) ≠ 0 per ogni x A. Una tale applicazione individua un cambiamento di variabili in Rm. Se le condizioni dette non sono soddisfatte in alcuni punti isolati, tali punti si dicono singolari per la trasformazione.
Esempi: Trasformazioni lineari in Rm. Coordinate polari in R 2. Coordinate cilindriche in R 3. Coordinate sferiche in R 3.
Un esempio: Cambiamento di variabili nell’ equazione delle onde 2 z 2 z ∂ ∂ 2 c ____ - ____ =0 2 2 ∂t ∂x u=x+ct v=x-ct
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