CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PI VARIABILI 2

CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2.

Argomenti della lezione è Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Differenziali successivi. è Massimi e minimi liberi.

FORMULA DI TAYLOR PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

Ricordiamo la formula di Taylor, con il resto alla Lagrange, per le funzioni di una variabile: Se f : U R R, è una funzione n+1 volte derivabile in un intorno U del punto x 0 , allora esiste un solo polinomio Tn(x), detto di Taylor, di grado ≤ n, tale che f(x)= Tn(x)+ rn(x) con rn(x)= ((Dn+1 f)( )/(n+1)! ) (x-x 0)n+1 , compreso tra x e x 0.

rn(x)= (x) (x-x 0)n , con (x) 0 per x x 0 , ossia rn(x)= o((x-x 0)n) Tn(x)= kf)(x 0) (D _______(x-x 0)k k=0 k! n Vediamo come questa formula ci permetta di ottenerne una simile per le funzioni di più variabili. Iniziamo dal caso di due variabili.

Teorema (di Taylor, per funzioni R 2 R ) Se f : A R 2 R, ha derivate continue fino all’ordine n+1, allora f(x, y)= Tn(x, y)+ rn(x, y), con rn(x, y)= o(|(x, y)T-(x 0, y 0 )T|n)

Siano h e k, le due componenti di un vettore “incremento” di (x 0, y 0)T in R 2. v = (h, k)T, (x, y)T = (x 0, y 0)T + v. L’equazione del segmento che va da (x 0, y 0)T a (x, y)T è: (x(t), y(t))T = (x 0 + t h, y 0 + t k)T, 0 ≤ t ≤ 1. Prendendo come punto base t 0=0, si trova: F(t) = f (x 0 + t h, y 0 + t k) = F(0) + F’(0) t + F’’(0) _____ 2 + … + + t 2! (n)(0) (n+1)( ) F______ F tn + ____ tn+1 n! (n+1)!

Con compreso tra 0 e t. In particolare, prendendo t=1 : F(1) = f(x 0 + h, y 0 + k) = F(0) + F’’(0) _____ + + … + 2! (n)(0) (n+1)( ) F F ______ + ____, (0< <1) n! (n+1)! Si tratta ora di calcolare, utilizzando la formula di derivazione di funzione composta, i vari contributi presenti nella formula di Taylor-Lagrange.

F(0) = f(x 0, y 0), F’(0) = Dt(f x(t), y(t))(0) = (D 1 f)(x 0)h+(D 2 f)(x 0)k, F’’(0)= Dt 2 (f x(t), y(t))(0)=( D 11 f)(x 0)h 2+ +(D 21 f)(x 0) kh +(D 12 f)(x 0)hk +(D 22 f)(x 0)k 2= =(D 11 f)(x 0)h 2 +2(D 21 f)(x 0) kh +(D 22 f)(x 0)k 2 Nell’ultima formula abbiamo utilizzato il Teorema di Schwarz.

In generale se, v 1=h e v 2=k: 2 F(p)(0) = (Di 1 i 2…ip f)(x 0, y 0) vi 1 vi 2 vip i 1, i 2, …, ip = 1 Sappiamo che F’(0) = df (x 0, y 0) (v). Definiamo d 2 f(x 0, y 0)(v, v) = F’’(0) = 2 = (Di 1 i 2 f )(x 0, y 0) vi 1 vi 2. i 1, i 2= 1

Definiamo in generale dpf(x 0, y 0)(v, v, …, v) = 2 F(p)(0) = (Di 1 i 2…ip f)(x 0, y 0) vi 1 vi 2 vip i 1, i 2, …, ip = 1 Usando la notazione dei differenziali successivi, la formula di Taylor. Lagrange diviene

f(x 0 + v) = f (x 0) + df(x 0, y 0)( v) +(1/2!) d 2 f(x 0, y 0)(v, v) + … + (1/n!)dnf(x 0, y 0)(v, v, . . , v) + + (1/(n+1)!)dn+1 f(x 0, y 0)+ v. T (v, v, . . , v, v) Osserviamo che dn+1 f(x 0, y 0)+ v. T(v, v, …, v, v) = 2 0+ h, y 0+ k) vi vi f)(x (D i i … i , i 1 2 = 1 2 n n+1 i 1, i 2, …, in+1= 1 vin+1

Ma su una sfera chiusa e limitata di centro (x 0, y 0) e raggio |v|le derivate d’ordine n+1 sono tutte limitate da una costante M e v = |v| , con versore. 2 0+ h, y 0+ k) vi vi f)(x (D i i … i , i 1 2 n n+1 = 1 2 n n+1 i 1, i 2, …, in+1= 1 2 i , …, i =|v|n+1 1 2 (Di 1 i 2… in , in+1 f)((x 0, y 0)+ v. T) i 1 i 2 in in+1 n , in+1= 1

Perciò |dn+ 1 fx 0+ v. T (v, v, …, v, v)|≤ 2 ≤|v|n+1 | M i 1 i 2 in in+1 |≤ i 1, i 2, …, in+1= 1 ≤ M 2(n+1) |v|n+1 = o(|(x, y)T-(x 0, y 0)T|n). Infatti v = (x, y)T-(x 0, y 0)T.

Se f : A Rm R, è una funzione di classe Cn+1(A), allora vale un teorema analogo al precedente per funzioni delle m variabili x 1, x 2, … , xm. Non lo enunciamo per brevità.

Abbiamo definito il differenziale p-esimo in (x 0, y 0)T valutato sull’incremento v= (h, k)T di (x 0, y 0)T: dpf(x 0, y 0)(v, v, …, v) = 2 F(p)(0) = (Di 1 i 2…ip f)(x 0 , y 0) vi 1 vi 2 vip i 1, i 2, …, ip = 1

Se la derivazione è fatta r volte rispetto a x e s volte rispetto a y, (r+ s = p), tenendo presente che dx(h, k) = h e dy(h, k) = k e ricordando il Teorema di Schwarz, si può verificare che: d pf pf p! ∂ 0, y 0) dxr dys ______ (x 0 0 = (x , y ) r! s! ∂xr ∂ys r+s=p

In particolare, per il differenziale secondo si ha: 2 f 2 f ∂ ∂ 0, y 0) dx 2 + 2 ____ (x 0, y 0) dx dy (x d 2 f(x 0, y 0) = ____ ∂x 2 ∂x ∂y 2 f ∂ 0, y 0) dy 2 ____ (x + ∂y 2

Per funzioni di m variabili: 2 f ∂ 0, x 0, . . , x 0) dx dx ______ 2 (x d fx 0 = 1 2 m i j ∂x ∂ x i j i, j =1 m

MASSIMI E MINIMI LIBERI

Ricordiamo che, data una funzione f : A Rm R , A aperto, un punto x 0 A si dice che x 0 è punto di massimo relativo per f se esiste un intorno U del punto (per es. una sfera aperta di centro x 0) tale che per ogni x U vale f(x) ≤ f(x 0) Se per ogni x U vale invece f(x) ≥ f(x 0) x 0 si dice punto di minimo relativo per f

Si dice che x 0 è punto di massimo (minimo) assoluto per f : A Rm R , se per ogni x A vale f(x) ≤ f(x 0) ( rispettivamente f(x) ≥ f(x 0) ) Vale il seguente

Teorema (di Fermat) Sia f : A Rm R, A aperto. Sia x 0 A punto di massimo o di minimo relativo e sia f derivabile in x 0. Allora f(x 0)= 0.

Basta ricordare che la funzione g 1(t) = f(t, x 20, . . , xm 0) ha max o min relativo in x 10 e quindi g 1’ (x 10) = 0 = D 1 f (x 10, x 20, . . , xm 0). Analogamente g 2(t)=f(x 10, t, . . , xm 0), … , gm(t)=f(x 10, x 20, . . , t) hanno max o min relativo in x 20 , . . , xm 0

e quindi g 2’ (x 20) = 0 = D 2 f (x 10, x 20, . . , xm 0) …. . . gm’ (xm 0) = 0 = Dmf (x 10, x 20, . . , xm 0) Dunque f(x 0)= 0.

I punti x 0 A , nei quali f(x 0)= 0 si dicono punti critici o stazionari di A. I punti di massimo o minimo relativo di una funzione definita su un aperto A Rm sono da ricercarsi, se f è differenziabile in A, per esempio se f C 1(A), tra quelli che soddisfano le m equazioni Dkf (x 1, x 2, . . , xm)=0, k = 1, …, m.