CALCOLO COMBINATORIO Prof Sandro Pistori STAGE OLIMPICO 2009

CALCOLO COMBINATORIO Prof Sandro Pistori STAGE OLIMPICO 2009 -2010 CALCOLO COMBIANTORIO

Qualche problema introduttivo 1. In quanti modi diversi 3 ragazzi di una compagnia di 5 amici si possono sedere su 3 poltrone libere di un cinema? 2. Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6? 3. Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della parola ROMA? E con la parola ALA? 4. Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto? 5. In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere distribuite tra 4 bambini? E se le caramelle fossero diverse? 6. STAGE OLIMPICO 2009 -2010 CALCOLO COMBIANTORIO

Il calcolo combinatorio il Calcolo combinatorio fornisce quegli strumenti di calcolo per determinare il numero di raggruppamenti che si possono formare con un numero k di oggetti presi da un insieme contenente n oggetti ( n k ) secondo le modalità seguenti: se k = n otterremo dei gruppi ordinati permutazioni. k oggetti possono formare gruppi ordinati: disposizioni; k oggetti possono formare gruppi non ordinati: combinazioni; STAGE OLIMPICO 2009 -2010 CALCOLO COMBIANTORIO

Problema 1 Raggruppare gli elementi a, b, c a gruppi di 2 con elementi che non possono ripetersi 1° modo COPPIE ORDINATE: ab ac ba bc ca cb 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: ab ac bc DISPOSIZIONI semplici (D 3, 2) STAGE OLIMPICO 2009 -2010 COMBINAZIONI semplici (C 3, 2) CALCOLO COMBIANTORIO

Problema 2 Raggruppare gli elementi a, b, c a gruppi di 2 con elementi che possono ripetersi 1° modo COPPIE ORDINATE: aa ab ac bb ba bc cc ca cb 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: aa ab ac bb bc cc DISPOSIZIONI con ripetizione (D’ 3, 2) STAGE OLIMPICO 2009 -2010 COMBINAZIONI con ripetizione (C’ 3, 2) CALCOLO COMBIANTORIO

Quindi… I RAGGRUPPAMENTI POSSONO ESSERE: SEMPLICI: CON RIPETIZIONE: quando gli oggetti sono tutti diversi quando gli oggetti vi figurano una o più volte E riassumendo: Permutazioni semplici o con ripetizione Disposizioni semplici o con ripetizione Combinazioni semplici o con ripetizione STAGE OLIMPICO 2009 -2010 CALCOLO COMBIANTORIO

Fattoriale Il FATTORIALE di un numero intero positivo n è il prodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali ad n In simboli: n! = n(n -1)(n -2)(n -3)… 1 Si può quindi scrivere in modo ricorsivo n! = n(n -1)! Da cui nasce l’esigenza di definire 0!=1 infatti 1!=1(1 -1)!=1 0!=1 Esempi: 5!=5 4 3 2 1 = 120 6!=6 5!= 6 120=720 10!=3. 628. 800 17!=35. 568. 7428. 100. 000 STAGE OLIMPICO 2009 -2010 CALCOLO COMBIANTORIO

Gli anagrammi (PERMUTAZIONI) Quanti sono gli anagrammi anche privi di senso della parola MARE? 4 3 2 1 Corrisponde ai modi diversi di ordinare tutte e quattro le lettere che in questo caso sono diverse: permutazione semplice di n oggetti Quanti sono gli anagrammi della parola MAMMA? Ad esempio MAMAM rappresentano sempre la stessa “parola” MAMAM Faccio finta che siano tutti diversi e poi li divido per tutti i possibili scambi che mi producono la stessa parola STAGE OLIMPICO 2009 -2010 CALCOLO COMBIANTORIO

DISPOSIZIONI Le disposizioni semplici di k oggetti presi da un gruppo di n oggetti sono Dn, k= n(n-1)…(n-(k-1))= n(n-1)…(n-k+1)= n(n-1)…(n. -k+1)(n-k-1)… 1/(n-k)! Dn, k = n!/(n-k)! Le disposizioni con ripetizione di k oggetti presi da un gruppo di n oggetti sono D’n, k=n k STAGE OLIMPICO 2009 -2010 CALCOLO COMBIANTORIO

Esempi Quanti sono numeri di 4 cifre tutte distinte e non nulle nel sistema decimale? 9 8 7 6 Disposizione semplice D 9, 4 = 9!/(9 -4)! = 9!/5!=3024 Quante sono le combinazioni possibile per un lucchetto a 5 cifre? Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme con n elementi? A B 0 0 1 1 … C 1 0 1 D 0 0 1 E 1 0 1 F 1 0 1 G 0 0 1 H 1 0 1 STAGE OLIMPICO 2009 -2010 = 2 n = D’ 2, n CALCOLO COMBIANTORIO

COMBINAZIONI Combinazioni semplici Facciamo finta che sia una disposizione e poi dividiamo per il numero di scambi che danno origine allo stesso gruppo di k oggetti ABCDEF: ABCD ACBD ADBC… sono le permutazioni di 4 elementi Cn, k=Dn, k/ k! = COEFFICIENTE BINOMIALE Combinazioni con ripetizione STAGE OLIMPICO 2009 -2010 CALCOLO COMBIANTORIO

Esercizi In quanti modi diversi si possono sedere 4 amici in un scompartimento da sei posti di un treno? In quanti modi diversi possono venire occupati 6 posti di uno scompartimento di un treno da quattro persone? Quante sono le diagonali di un poligono di n lati? Quanti sono i punti che vengono individuati da 20 rette complanari a due non parallele? Quanti sono i punti di intersezione che vengono individuati da 20 rette se 7 di esse sono parallele e le restanti no? STAGE OLIMPICO 2009 -2010 CALCOLO COMBIANTORIO

Il binomio di Newton STAGE OLIMPICO 2009 -2010 CALCOLO COMBIANTORIO

Ancora sui coefficienti binomiali STAGE OLIMPICO 2009 -2010 CALCOLO COMBIANTORIO

Ancora sui coefficienti binomiali STAGE OLIMPICO 2009 -2010 CALCOLO COMBIANTORIO

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Un problema già visto… Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme A di n elementi? Siano k 0 tutti gli insiemi con nessun elemento k 1 numero degli insiemi con un elemento k 2 numero degli insiemi con due elementi … kn numero degli insiemi con n elementi Allora | P(A) | = k 0+k 1+k 2+…+kn= STAGE OLIMPICO 2009 -2010 CALCOLO COMBIANTORIO