Calcolo combinatorio elementare mediante immagini e poche formule

Calcolo combinatorio elementare mediante immagini e poche formule… Nota per fattoriale ! 0! = 1 1! = 1 2! = 1*2 =2 3! = 1*2*3 =6 4! = 1*2*3*4 = 24 5! = 1*2*3*4*5 = 120

Sia n il numero di oggetti tra loro distinguibili A, B C D. . Sia K un numero intero positivo minore o uguale a n Disposizione semplice : gruppi di oggetti contenente k oggetti in modo che ogni gruppo differisca dagli altri o per qualche oggetto o per l’ordine secondo il quale vengono considerati N = 4 : A, B, C , D n ! / (n-1)! = 4! / (4 -1)! = 1*2*3*4 / 1*2*3 = 24/6 = 4 Gruppi(1: 1) : 4 A, B, AB D Calcolo delle disposizioni in funzione di n, k Varia ordine AB C, Gruppi(2: 2) : 3 * 4 = 12 BA CA Variano oggetti AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC n ! /(n-2)! = 4! / (4 -2)! = 1*2*3*4 / 1*2 = 24/2 = 12 Combinazioni = n! (n-k)!k! = 4! /(4 -2)!2! = 1*2*3*4 /2!*2! = 24/4 = 6 AB AC AD BC BD CD

N = 4 : A, B, C , D Gruppi(3: 3) : = 24 Combinazioni n! /(n-x)!x! = 4! /(4 -3)!3! = 1*2*3*4 /1! *3!= 24/6 = 4 ABC ABD ACD BCD ABC ABD permutazioni ABC ACB BAC BCA CAB CBA ACD ADC CAD CDA DAC DCA ABD ADB BAD BDA DAB DBA BCD BDC CBD CDB DBC DCB ACD BCD n ! / (n-3)! = 4! / (4 -3)! = 1*2*3*4 / 1 = 24 =2 4

N = 4 : A, B, C , D Gruppi(4: 4) : = 24 Combinazioni = n! /(n-k)!k! = 4! / (4 -4)!4! = 24 / 0!24 = 1 ABCD permutazioni n ! / (n-4)! = 4! / (4 -4)! = 1*2*3*4 / 0! = 24/1 =2 4 ABCD ACBD BACD BCAD CABD CBAD ACDB ADCB CADB CDAB DACB DCAB ABDC ADBC BADC BDAC DABC DBAC BCDA BDCA CBDA CDBA DBCA DCBA

Combinazioni: gruppi di oggetti con lo stesso numero di elementi dello stesso tipo, con la stessa frequenza, indipendentemente dalla loro disposizione AAB BAA Combinazione unica ABA Permutazioni: gruppi di oggetti con lo stesso numero di elementi con tipo e frequenza variabile: se tipo e frequenza uguali, deve essere diversa la posizione AAB BAA ABB ABC Permutazioni quattro

n=4 ; k=3 quattro lettere prese 3 a 3 ABC A, B, C, D ABC CBA ACB BCA CAB BAC Permutazioni = k! = 3! = 6 AAB 1 combinazione > 6 permutazioni AAB BAA ABA BAB BBA ABB Combinazioni = n! /(n-k)!k! = 24 / 6 = 4 Numero totale permutazioni = 4 * 6 = 24 n ! / (n-k)! 4! /(4 -3)! = 24

Numero oggetti n = 4 ; k = 3 : quattro oggetti scelti 3 a 3 Numero combinazioni = n ! / (n-k)!k! = 1*2*3*4 / 1!*1*2*3 = 24/6 = 4 Numero permutazione per data combinazione = k! = 3! = 1*2*3 = 6 Numero permutazioni totale = n! / (n-k)! = 1*2*3*4 / (1!) = 24 Numero permutazioni totale = numero combinazioni * k! = 4 * 1*2*3 = 24 ABCD ABC ABD ACD BCD 6 permutazioni 24 permutazioni

Permutazione semplice di n oggetti: ogni gruppo contiene tutti gli elementi : cambia solo la disposizione tra gli oggetti numero permutazioni semplici = n ! n=3 k=n Pn = n! /(n-k)! = 1*2*3 /(0!) = 6/1 = 6 Pn = n! = 3! = 1*2*3 = 6 ABC CBA ACB BCA CAB BAC 1, 2, 3 123 321 132 231 312 213 ROMA AMOR RAMO OMAR RAOM MOAR ecc. Anagrammi… P 4= 4! = 1*2*3*4 = 24

Combinazioni semplici : gruppi contenenti lo stesso numero di oggetti con almeno uno diverso rispetto ad ogni altro gruppo N oggetti : A, B, C, D , k=2 AB AC AD BC BD CD n=4 ; k=2 (4 su 2)= 4(4 -2+1)/2! = 4*3/2 = 6 6 combinazioni Numero di combinazioni semplici di n oggetti distinti di classe k ( n su k) = n * k / k! (n su k) = n (n-1)(n-2)(n-3). . (n-k+1 ) / k! n = 5; k = 2 n=9 ; k=3 n=7 ; k=5 (5 su 2)= 5(5 -2+1) / 2! = 10 (9 su 3)= 9(9 -1)(9 -3+1) / 3! = 9*8*7/6 = 84 (7 su 5)= 7(7 -1)(7 -2)(7 -3)(7 -5+1) / 5! = 7*6*5*4*3 / 120 = 21

Riposo…

Composizione : stessi oggetti senza ordine preciso di uscita: sono equivalenti

permutazioni : stessi oggetti con ordine preciso di uscita: non sono equivalenti

Uscita senza precedenze, ordine. combinazione Uscita secondo precedenza, ordine: permutazione

6 cifre (1, 2, 3, 4, 5, 6) : quanti numeri interi con tre cifre sono possibili ? n=6 ; k=3 P(n, k) = (n su k) = (6 su 3) = n(n-1)(n-2)(n-k+1)= 6*5*4=120 Con colori rosso, verde, bianco, giallo, quante bandiere tricolori possibili? n =4 ; k=3 P(n, k)=(n su k) = (4 su 3) = n(n-1)(n-k+1)=4*3*2= 24 In quanti modi 4 persone possono occupare 5 posti numerati ? n=5 ; k= 4 P(n, k)= (n su k) = (5 su 4) = n(n-1)(n-2)(n-k+1)= 5*4*3*2=120 Numero di anagrammi possibile con parola napoli ? n= 6 Pn = n! 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720 In quanti modi possibile coprire 3 teste con 5 cappelli ? n=5 ; k =3 P(n, k)= (n su k) = (5 su 3) = 5(n-1)(n-k+1)=5*4*3 = 60

Con 90 numeri, quanti ambi, quanti terni sono possibili? n =90 ; k 1= 2 ; k 2 =3 P(n, k 1)=(n su k 1)=(90 su 2)=n(n-k 1+1)/k 1! =90*89/2 = 4005 P(n, k 2)=(n su k 2)=(90 su 3)=n(n-1)(n-k 2+1)/k 2! = 90*89*88/6 = 117480 Dati i numeri 1, 3, 4 quanti numeri ( di 3 cifre) cominciano con 3? n = 3 ; Pn = n! = 3! = 6 134, 143, 431, 413, 314, 341 In quanti modi diversi 3 persone possono occupare 3 su 4 posti ? n=4 ; k=3 P(n. k)=(n su k)= (4 su 3) = n(n-1)(n-k+1)=4*3*2=24 Con 7 giocatori disponibili, quante linee di attacco con 5 sono possibili? n=7 ; k =5 P(n, k)=(n su k)=(7 su 5)= n(n-1)(n-2)(n-3)(n-k+1)=7*6*5*4*3=2520 Quanti sono i numeri di 5 cifre diverse (esclusi 0, 3, 6 )? n=7; k=5 p(n, k)=(n su k)=(7 su 5) = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-k+1)=7*6*5*4*3=2520

5 punti su un piano, e mai 3 allineati: quanti triangoli sono possibili? n = 5; k=2 P(n, k)=(n su k)=n(n-k+1)/k! = 5*4/2 = 10 A B E C D ACB ADC ABD BCD AED BED CED BEA CEB CEA

4 palline distinte come possono occupare i vertici di un quadrato? n=4; k=4 Pn = n! = 4! = 1*2*3*4 =24 ABCD ACBD BACD BCAD CABD CBAD ABDC ADBC BADC BDAC DABC DBAC ACDB ADCD CADB CDAB DACB DCAB BCDA BDCA CBDA CDBA DBCA DCBA ABCD BCAD ACBD BACD

Esempi con immagini per descrivere associazioni varie combinazioni, permutazioni con numero oggetti e classi variabili

Permutazione: insieme di x oggetti ordinati estratti da n oggetti combinazione: insieme di x oggetti , non ordinati, estratti da n oggetti Numero di permutazioni Px = n ! / (n-x)! Numero di combinazioni Cx = n! /(n-x)!x! Dati n oggetti (A, B, C) determinare le possibili associazioni permutazioni e combinazioni, prendendo due oggetti per volta n=3 ; x = 2 P 2 = 3 ! / (3 -2)! = 1*2*3 /1 ! = 6 C 2 = 3 ! / (3 -2)!2! = 1*2*3 /1! 2! = 6 /1*1*2 = 6 / 2 = 3 A, B, C AB AB BA AC AC CA BC CB BC 6 permutazioni 3 combinazioni

Numero di permutazioni Px = n ! / (n-x)! Numero di combinazioni Cx = n! /(n-x)!x! Oggetti n = 4; presi 3 per volta x=3 P 3= 4 ! / (4 -3) ! =1*2*3*4 / (1 !) = 24 C 3= 4 ! /(4 -3)!3!=1*2*3*4 / (1 !)*1*2*3 = 24 /6 = 4 A, B, C, D A B C A C B B B A C C A ABC C C A B B A A A B D D B B B A D D A ABD A A D D C D A B D C B A C C A D D A ACD 4 combinazioni 24 permutazioni D A C D C A B C D B C C D D B C BCD D C B

numero oggetti = n numero oggetti per combinazione = x numero di combinazioni = n. Cx numero permutazioni per ogni combinazione = x ! Numero totale permutazioni = n. Cx * x ! Oggetti n = 4; presi 3 per volta x=3 A, B, C, D A B C A C B B B A C C A ABC C C A B B A A A B D D B B B A D D A ABD 4 combinazioni A A D D C D A B D C B A C C A D D A C D C A ACD 24 permutazioni B C D B C C D D B C BCD n=4 x=3 n. Cx = n ! / (n-x)!x! = 1*2*3*4 / (4 -3)!3! = 24 / 1! * 1*2*3 =24/6 = 4 n. Px = x ! = 3 ! = 1*2*3 = 6 n. P = n. Cx * x! = 4 * 3! = 4*(1*2*3) = 24 D C B

Oggetti n = 4; presi 3 per volta x=3 Disegnare diagramma ad albero Contare le combinazioni : 4 Contare permutazioni per ogni combinazione : 6 Contare permutazioni totali : 4 * 6 = 24 n ! / ( n – k)! = 4 ! / (4 -3)! = 1*2*3*4 / 1 = 24 A, B, C, D 4 combinazioni A B C A C B B B A C C A ABC C C A B B A 24 permutazioni A A B D D B B B A D D A ABD A A D D C D A B D C B A C C A D D A C D C A ACD B C C D D B C BCD Numero combinazioni = n ! (n – x)!x! n. Cx = n ! / (n-x)!x! = 1*2*3*4 / (4 -3)!3! = 24 / 1! * 1*2*3 =24/6 = 4 con n oggetti e classe x; permutazioni per combinazione = x! n. Px = x ! = 3 ! = 1*2*3 = 6 numero permutazioni totali = numero combinazioni * classe n. P = n. Cx * x! = 4 * 3! = 4*(1*2*3) = 24 D C B

Es. 5 oggetti (A, B, C, D, E) presi a 2 per volta : n=5; x =2 Numero combinazioni = n! (n-x)!x! = 5! (3!)*2! = 120 /12 = 10 AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE Numero permutazioni per classe = x ! = 1*2 =2 AB, BA AC, CA AD, DA AE, EA BC, CB BD, DB BE, EB CD, DC CE, EC DE, ED AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE Numero permutazioni totale = n. C * x ! = 10 *2! = 20 Nota : numero combinazioni (5 su 2) = (5 su 3) AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE 5! /(5 -2)!2! = 120 /3!*2! = 120 /12 = 10 5! /(5 -3)!3! = 120 /2!*3! = 120/12 =10

numero oggetti = n numero oggetti per combinazione = x numero di combinazioni = n. Cx numero permutazioni per ogni combinazione = x ! Numero totale permutazioni = n. Cx * x ! n=4 x=3 n. Cx = n ! / (n-x)!x! = 1*2*3*4 / (4 -3)!3! = 24 / 1! * 1*2*3 =24/6 = 4 n. Px = x ! = 3 ! = 1*2*3 = 6 n. P = n. Cx * x! = 4 * 3! = 4*(1*2*3) = 24 Alcune formule per facilitare i calcoli

Il codice genetico mette in relazione una sequenza formata da 3 nucleotidi (indicati dalle basi azotate A, C, G, U) con specifici amminoacidi UUA > leu AUU > ile GUU > val UUG > leu UCC > ser CCU > pro UUA leu AUU ile Si comprende la importanza che assume una associazione di tre basi considerata come combinazione UUA = AUU (contiene 2 U , 1 A) come permutazione UUA <> AUU GUU val UUG leu UCC ser CCU pro combinazione permutazione Nei ribosomi il DNA trasformato in m. RNA viene tradotto in proteina associando ad ogni tripletta (permutazione) il relativo amminoacido Se ogni tripletta fosse considerata come combinazione , la proteina tradotta sarebbe diversa da quella codificata nel DNA